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1、八年级下册18.2.3.1 正方形的性质学习目标理解正方形的概念.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.2观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.你还能举出其他的例子吗？情景思考探究点一：正方形的性质矩形问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？正方形活动探究问题2菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？正方形活动探究邻边相等矩形正方形菱形一个角是直角正方形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.归纳总结活动探究已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形A
2、BCD四边相等,四个角都是直角.ABCD证明：四边形ABCD是正方形.A=90,AB=AC（正方形的定义）.又正方形是平行四边形.正方形是矩形（矩形的定义）,正方形是菱形(菱形的定义).A=B =C =D =90,AB= BC=CD=AD.证一证活动探究已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.ABCDO证明：正方形ABCD是矩形,AO=BO=CO=DO.正方形ABCD是菱形.ACBD.活动探究思考请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?对称性： .对称轴：.轴对称图形4
3、条ABCD活动探究矩形菱形正方形平行四边形正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.归纳总结活动探究例1求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.证明:四边形ABCD是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三
4、角形,并且ABOBCOCDODAO.典例精讲例2如图，在正方形ABCD中，BEC是等边三角形，求证：EADEDA15.证明：BEC是等边三角形，BE=CE=BC,EBC=ECB=60，四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD,ABC=DCB=90，AB=BE=CE=CD,ABE=DCE=30，ABE，DCE是等腰三角形，BAE=BEA=CDE=CED=75，EAD=EDA=90-75=15.典例精讲1.四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边ADE，求BEC的大小解：当等边ADE在正方形ABCD外部时，如图，ABAE，BAE9060150.AEB15.同理可得DEC15.BEC60
5、151530；举一反三当等边ADE在正方形ABCD内部时，如图，ABAE，BAE906030，AEB75.同理可得DEC75.BEC360757560150.综上所述，BEC的大小为30或150.易错提醒：因为等边ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等本题分两种情况：等边ADE在正方形的外部或在正方形的内部举一反三特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）2.如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD（1）求证：APBDPC；解：四边形ABCD是正方形，ABC=DCB=90PB=PC，PBC=PCBABC-PBC=D
6、CB-PCB，即ABP=DCP又AB=DC，PB=PC，APBDPC举一反三特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）证明：四边形ABCD是正方形，BAC=DAC=45APBDPC，AP=DP又AP=AB=AD，DP=AP=ADAPD是等边三角形DAP=60PAC=DAP-DAC=15BAP=BAC-PAC=30BAP=2PAC（2）求证：BAP=2PAC举一反三特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）例3如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PEBC于E， PFDC于F.试说明：AP=EF.ABCDPEF解:
7、连接PC，AC.又PEBC ，PFDC,四边形ABCD是正方形,FCE=90,AC垂直平分BD,四边形PECF是矩形,PC=EF.AP=PC.AP=EF.归纳：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.典例精讲特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等BD举一反三特
8、殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO2，求正方形的周长与面积解：四边形ABCD是正方形，ACBD，OAOD2.在RtAOD中，由勾股定理，得正方形的周长为4AD，面积为AD28.举一反三特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2A1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A对角线互相平分B对角线互相垂直C对角线相等D对角线互相垂直且相等A22.5随
9、堂检测特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）3在正方形ABC中,ADB=,DAC=,BOC=.ADBCOADBCOE459022.545随堂检测4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是.特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）课堂小结本节课都学到了什么？1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形的性质性质定义有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）1.如图，
10、正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分BAC，EFAC，求BE的长解：四边形ABCD为正方形，B90，ACB45，ABBC1cm.EFAC，EFAEFC90.又ECF45，EFC是等腰直角三角形，EFFC.BAEFAE，BEFA90，AEAE，ABEAFE，ABAF1cm，BEEF.FCBE.个性化作业在RtABC中，FCACAF(1)cm，BE(1)cm特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）2.如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BEDF.理由如下：四边形ABCD是正方形.BC=DC,BCE =90.DCF=180-BCE=90.BCE=DCF.又CE=CF.BCEDCF.BE=DF.ABDCFE个性化作业特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）延长BE交DE于点M,BCEDCF,CBE =CDF.DCF =90,CDF +F =90,CBE+F=90,BMF=90.BEDF.ABDFECM个性化作业特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）再见再见特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）特殊的平行四边形ppt（PPT优秀课件）
