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1、使用教材 拉氏拉氏变换法是一种数学法是一种数学积分分变换，其核心是把，其核心是把时间函函数数f(t)f(t)与复与复变函数函数F(s)F(s)联系起来，把系起来，把时域域问题通通过数学数学变换为复复频域域问题，把，把时间域的高域的高阶微分方程微分方程变换为复复频域域的代数方程以便求解。的代数方程以便求解。一、一、 拉普拉斯拉普拉斯变换的的定定义1. 拉氏拉氏变换法法例例熟悉的熟悉的变换1 1 对数数变换把乘法运算把乘法运算变换为加法运算加法运算2. 拉氏拉氏变换的定的定义正正变换反反变换t 0 , f(t)=0积分下限从积分下限从0 0 开场，称为开场，称为0 0 拉氏变换拉氏变换 。积分下限
2、从积分下限从0+ 0+ 开场，称为开场，称为0+ 0+ 拉氏变换拉氏变换 。 今后今后讨论的拉氏的拉氏变换均均为 0 0 拉氏拉氏变换, ,计及及t=0t=0时f(t)f(t)包含的冲包含的冲击。3.3.典型函数的拉氏典型函数的拉氏变换 (1)(1)单位位阶跃函数的象函数函数的象函数(3)(3)指数函数的象函数指数函数的象函数(2)(2)单位冲激函数的象函数位冲激函数的象函数 7-2 7-2 拉普拉斯拉普拉斯变换变换的基本性的基本性质质一、一、线性性例例7-2 假假设设：上述函数的定上述函数的定义域域为0， ，求其象函数。，求其象函数。二二 、导数性质、导数性质1. 时域域导数性数性质例例例例
3、7-3 7-3 应应应应用用用用导导导导数性数性数性数性质质质质求下列函数的象函数：求下列函数的象函数：求下列函数的象函数：求下列函数的象函数：推行：推行：三、积分性质三、积分性质四、延迟性质四、延迟性质1.时域延迟时域延迟f(t)(t)ttf(t-t0)(t-t0)t0f(t)(t-t0)tt0例例13-5 求图示矩形脉冲的象函数求图示矩形脉冲的象函数1Ttf(t)TTf(t)2、频域平移性域平移性质积分积分小小结：微分微分积分变换积分变换Fourier变换Recall:周期函数在一定条件下可以展开周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数；数；但全直但全直线上的非周期函数不能用上的非
4、周期函数不能用Fourier表示；表示；引引进类似于似于Fourier级数的数的Fourier积分分(周期周期趋于无于无穷时的极限形式的极限形式) 最常用的一种周期函数是三角函数。人最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, , 一切一切的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性性组合来逼近合来逼近. Fourier. Fourier级数数方波方波4个正弦波的逼近个正弦波的逼近100个正弦波的逼近二、 傅里叶变换的概念和性质傅里叶积分定理傅里叶积分定理若在若在 上满足下列条件：上满足下列条件：（1在任一有限区间上满足狄利克莱条件；在任一
5、有限区间上满足狄利克莱条件；（2在在 无限区间绝对可积，即无限区间绝对可积，即 收敛收敛.则有则有 （1）成立成立.而而 在它的间断点在它的间断点t处应以处应以 来代替来代替.（1式称为函数的傅里叶积分公式，简称傅氏积分式称为函数的傅里叶积分公式，简称傅氏积分公式公式.1.21.2FourierFourier积分公式与分公式与FourierFourier积分存在定理分存在定理O w1 w2 w3 wn-1wnw2Fourier变换2.1Fourier变换的定的定义 Fourier Fourier积分存在定理的条件是分存在定理的条件是FourierFourier变换存在的存在的一种充分条件一种充
6、分条件. . 在在频谱分析中分析中, , 傅氏傅氏变换F(F( ) )又称又称为f(t)f(t)的的频谱函函数数, , 而它的模而它的模|F(|F( )|)|称称为f (t)f (t)的振幅的振幅频谱( (亦亦简称称为频谱).).由于由于 是是连续变化的化的, , 我我们称之称之为连续频谱, , 对一个一个时间函数函数f (t)f (t)作傅氏作傅氏变换, , 就是求就是求这个个时间函数函数f (t)f (t)的的频谱. .例例 1 1 求矩形脉冲函数求矩形脉冲函数 的付氏变换及其的付氏变换及其 积分表达式。积分表达式。tf (t)例例4 4 求正弦函数求正弦函数f (t)=sinw0tf (
7、t)=sinw0t的傅氏的傅氏变换。pp-w0w0Ow|F(w)|t3Fourier变换与逆与逆变换的性的性质 这一一讲介介绍傅氏傅氏变换的几个重要性的几个重要性质, , 为了叙述方了叙述方便起便起见, , 假定在假定在这些性些性质中中, , 凡是需要求傅氏凡是需要求傅氏变换的函的函数都数都满足傅氏足傅氏积分定理中的条件分定理中的条件, , 在在证明明这些性些性质时, , 不再重述不再重述这些条件些条件. .1.1.线性性性性质: :2. 位移性位移性质:证明：明： 为实常数，那么为实常数，那么3. 相似性相似性质：证明：明：例例1 1 计算计算 。 方法方法1 1：（先用相似性：（先用相似性
8、质，再用平移性，再用平移性质）方法方法2 2：（先用平移性：（先用平移性质，再用相似性，再用相似性质）4.微分性质： 像原函数的微分性像原函数的微分性质：那么那么5.积分性质： 6. 6. 帕塞瓦帕塞瓦尔(Parserval)(Parserval)等式等式 实际上上, , 只要只要记住下面五个傅里叶住下面五个傅里叶变换, , 则所有的所有的傅里叶傅里叶变换都无都无须用公式直接用公式直接计算而可由傅里叶算而可由傅里叶变换的的性性质导出出. .7.7.卷积与卷积定理卷积与卷积定理卷积定义：卷积定义：卷卷积的的简单性性质：例例1 1 求下列函数的卷求下列函数的卷积：由卷由卷积的定的定义有有卷积定理：卷积定理：例例2 2 求求 的傅氏变换。的傅氏变换。性质利用卷利用卷积公式来公式来证明明积分公式：分公式：证明：明：设设那那么么
