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1、8.1 引言引言 1. 引起有限字长的误差源：引起有限字长的误差源： A/DA/D变换的量化误差；变换的量化误差； 用有限精度的数表示系统各系数引起的量化误差；用有限精度的数表示系统各系数引起的量化误差； 在运算时为限制数位扩展而进行的尾数处理在运算时为限制数位扩展而进行的尾数处理( (舍入或舍入或 截尾截尾) )及防止溢出而压缩信号电平所产生的量化误差；及防止溢出而压缩信号电平所产生的量化误差； 溢出振荡产生的误差；溢出振荡产生的误差； 固定信号输入时产生的极限环振荡带来的误差固定信号输入时产生的极限环振荡带来的误差；第第8章章 数字系统的有限字长效应数字系统的有限字长效应 2. 与误差有关
2、的因素：与误差有关的因素： 系统中数的表示方式系统中数的表示方式 原码 补码补码 反码 数的处理方式数的处理方式： 相加时的上溢 舍入 相乘时的下溢 截尾 滤波器的实现方式滤波器的实现方式：IIR、FIR、FFT的各种不同实现方式； 信号形式信号形式：规则信号、随机信号 3. 分析方法：分析方法： 非线性模型 统计分析模型统计分析模型 二进制表数浮点定点定点：快速、经济；常用于专用机8.2 二进制数的表示及量化误差二进制数的表示及量化误差 1. 定点及浮点表数定点及浮点表数 x=2cM 定点表数：c=常数 特点：运算方便，实现简单，快速，经济；动态范围小； 浮点表数：c随时调整，而且把尾数M的
3、最高位调整为1， 称为规格化表示， 1 特点：动态范围大，但运算复杂，设备量大，速度慢； IEEE 7541985标准定义的单精度浮点格式 31 30 23 22 0S c M 8 bit 23 bit 成组浮点：按运算要求把数分成若干组（例如FFT中，每 级作为一组），每组数中最大数的阶码c，作 为该组数的共同阶码，用这单一阶码做运算； 特点：运算简单，同时有一定的精度。 2. 补码表数：补码表数：又称“二的求补” 补码定义： 其真值为 b00 x0 b0 =1 x0 ， 0x11 x0Xmx Xm b0符号位bi为0或1Xm：确定x表数范围， 若系统用纯小数运算，则： Xm=1； 有限位寄
4、存储器数的表示：寄存储器为 B+1 位,经量化 3. 补码相加运算及其特性补码相加运算及其特性 补码加法：f(x)= x1+x2=x12+ x22= x1+ x2 2 若符号位有进位，则舍弃12B，其中最小量化间隔：q= 2B 1 补码加法的两个重要特性： f(x)是x的周期性函数，周期为2； 如果补码运算总和不溢出，则中间结果有溢出，不会影 响结果的正确性； 表示为：fffffx1+x2 +xN=fx1+x2 +xN 相加溢出处理（上溢，overflow） 饱和(saturation)处理 环绕（wrap）处理 4. 补码相乘运算补码相乘运算 相乘由于字长加长引起下溢，处理方法截尾(Trun
5、cation)舍入(Round-off) 5. 定点补码表数下溢处理量化误差分析：定点补码表数下溢处理量化误差分析： 量化误差定义： e=xQ-x 1)定点表数、截尾处理量化误差： eT= xQ-x 正数x0情况： x=0b1 b2 bB bB+1 bB+2 bB1 若： bB+1 =bB+2 =bB+3= =0，则有 xQ=x ， eT= eTmin=xQ-x =0 bB+1 =bB+2 =bB+3= =1，则有 eT=eTmax =xQ-x 0 eTmax =xQ-x= -2-B=q0 -2-B=q eT0 负数x 0补码情况： x=1b1 b2 bB bB+1 bB+2 bB1 若： b
6、B+1 =bB+2 =bB+3= =0，则有 xQ=x ， eT= eTmin=xQ-x =0 bB+1 =bB+2 =bB+3= =1，则有 eT=eTmax =xQ-x 0 eTmax =xQ-x = -2-B=q0 -2-B=q eT0q2q-q-2qq2q-q-2q截尾处理量化的非线性关系：eTP(eT)1/q0-qxQx 2)定点表数、舍入处理量化误差： eR= xQ-x 正数x0情况： x=0b1 b2 bB bB+1 bB+2 bB1 若 bB+1=0, bB+2=bB+2 = bB1=1, 产生最大误差 eR=xQx= = = 同样： 若 bB+1=1, bB+2=bB+2 =
7、 bB1=0, 产生最大误差 eR=xQx= 舍入量化误差范围： eR 负数x 0补码情况： x=1b1 b2 bB bB+1 bB+2 bB1 xQ=同样可以证明 ：舍入处理量化误差范围： eR= xQ-x 舍入处理量化的非线性关系：xQxq2q-q-2q2qq-q-2qeRPeR0 q q1/q 6. 量化误差的统计分析模型： x(n)Q=x(n)+e(n) 1) 对e(n)统计特性的假设 2)e(n)的统计量表征： 平均值： 截尾处理： =Ee(n)= 舍入处理： 方差：两者相同 = 舍入处理的自协方差序列 8.3 A/D变换中的量化误差变换中的量化误差 1. A/D变换的物理模型变换的
8、物理模型 非线性分析模型： 统计分析模型： 取样器取样器量化器量化器xa(t)xa(nT)=x(n)限带信号取样器取样器xa(t)x(n) x(n)Q=x(n)+e(n)e(n) e(n)经常被看作量化误差，又被称为量化噪声，它的性质 如前面所述，对定点运算e(n)具有加性噪声性质； A/D统计分析模型经常用来估计A/D所需的位数； 2. A/D变换输出（变换输出（S/N）的计算）的计算 上式表明：字长每增加一位， 提高6dB 3. A/D量化噪声通过线性系统量化噪声通过线性系统h(n)x(n)e(n)x(n)Qy(n)Q=y(n)+f(n) 设线性系统具有无限精度， h(n) =x(n)+e
9、(n) h(n) = f(n)均值：mf=Ef(n)=E = =me 对舍入处理：me=0 , mf=0 f(n)方差： =E(f(n)-mf)2 = Ef2(n)= mf=0= f(n)的自相关函数： ff(m)=Ef(n)f(n+m) =E 8.4 数字系统运算量化噪声的直观分析数字系统运算量化噪声的直观分析 数字系统的量化效应： 系数量化效应：造成零、极点位置移动和频响变化； 运算过程中的量化效应：相加形成溢出； 相乘位数增加，尾数处理 形成量化噪声； h(n)的自相关函数1. 定点补码运算、舍入处理运算量化噪声的模型ooy(n)x(n)z-1ooy(n)x(n)z-1ooy(n)+f(
10、n)x(n)z-1Qe(n)理想线性系统模型 非线性系统模型 统计分析模型 2. IIR滤波器运算量化噪声举例： oooooABCx(n)y(n)2z-1z-1e1(n)e2(n)e3(n)e4(n)e5(n)gi(n)ei(n)fi(n)3.并联系统运算量化噪声概述： 并联系统运算量化噪声模型； 从系数量化误差角度，由于零点无法控制，因而系数 量化后零点变化大，导至滤波器阻带性能变环；4 .串联系统运算量化噪声概述： .串联系统运算量化噪声和组成系统的二阶子系统本身的 零 、极点组合及二阶子系统前后组合有关； 串联系统运算量化噪声模型； 构成二阶子系统本身的零、极点组合以就近搭配为原则，使频
11、响比较平坦； 从运算量化噪声角度。把临近 单位的高增益子系统，放在最 前面，以后按增益逐步递减排 列，这样高增益级不会频频放 大各噪声分量； 从信号角度，为防止溢出把低增益级放在前面，以提高 ； 12阶IIR滤波器的（椭圆）频率响应的幅度未量化时通带带内频率响应16位整数定点表示滤波器系数的直接实现幅度响应16位整数定点表示滤波器系数的2阶并联实现幅度响应16位整数定点表示滤波器系数的2阶级（串）联实现幅度响应5. FIR滤波器运算量化噪声： 对线性相位FIR滤波器的运算量化噪声； 如果用级联形式实现，则希望是每个噪声源到输出端的 转移函数的频率特性比较平坦，没有很高的峰值增益；28点冲激响应
12、FIR滤波器频率响应的幅度28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度未量化时通带和组带衰减（通带逼近1的误差，阻带逼近0的误差）28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度16位量化时通带和组带衰减（直接实现）28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度14位量化时通带和组带衰减（直接实现）28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度13位量化时通带和组带衰减（直接实现）28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度8位量化时通带和组带衰减（直接实现）8.5 数字滤波器量化噪声的统计分析数字滤波器量化噪声的统计分析gi(n)ei(n)fi(n)对每一个噪声源，其到输出的传输函数为gi(n)输出方差为：输出总输出方
13、差例：直接II型实现等价结构直接II型实现的总方差一种改进的实现方式：增加双倍字长累加器结构总方差8.6 防止溢出的压缩比例因子防止溢出的压缩比例因子 1. 问题的提出压缩比例概念 例：如图一阶系统，求输出端不溢出，输入信号的动 态范围oox(n)y(n)w(n)z12. 对应不同输入x(n), 节点变量w(n)的动态范围压缩比例准则 对定点表数，节点变量不溢出： 1) 有界输入情况有界输入情况压缩比例因子： 准则2) x(n)=cos(0n) 为窄带信号窄带信号压缩比例因子：3) 能量有限信号能量有限信号利用能量定理和Schwartz不等式，有：压缩比例因子：根据能量有限加的压缩比例因子称为
14、 准则； 准则过于宽松，在使用时乘以，即 其中与输入信号有关，一般可以取=5； 试证明：3.压缩比例因子的加入方式压缩比例规则 输入一次性加入： H(z)1, 2 Nx(n)y(n) max=max(1, 2 N)max保持H(z)不变缺点：对信号损失过大，导至输出端 变坏； 每一节点分别加入，而且使H(z)保持不变：oooD(z)F(z)/G(z)w(n)x(n)y(n)进入节点wi(n)各支路乘以 离开节点wi(n)各支路乘以H(z)=D(z)+F(z)G(z) 采用 准则，计算方便，而且是最小量化噪声网络实 现的依据；14. 计算举例：图ooooox(n)2z-1z-1相加节点传输系数大于1的节点相加节点相加节点注：ooooo11211212323223z-1z-1x(n)y(n) 压缩比例因子尽量被已有的乘法因子所吸收； 加入压缩比例因子后的运算量化噪声：oooooABCx(n)y(n)2z-1z-1max1max若一次性加入： max=max =
