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1、首页首页则称则称 设函数设函数 f 在某在某U (x0 )内有定义内有定义, , 1 1. .定义定义1 1 若若 例如例如, , 函数函数 在点在点 x = = 2 2 连续，连续， 因为因为 又如又如, , 函数函数连续连续, , 因为在点因为在点 x x = = 0 0， 注注1 1 函数函数 f 在点在点 x 0 连续，连续，则则 x 0 必属于必属于 f 的定义域的定义域 . . 一、函数在一点的连续性(1)例如：例如：这是因为这是因为又如：函数又如：函数连续的等价定义一、函数的增量注意注意为狄利克雷函数为狄利克雷函数.证证注意注意:上述极限式绝不能写成上述极限式绝不能写成例例1由上
2、面的定义和例题应该可以看出由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点函数在点 x0类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.要要求求这这个个极极限限值值只只能能是是函函数数在在该该点点的的函函数数值值.极极限限存存在在是是函函数数连连续续的的一一个个必必要要条条件件)，而而且且还还x0 连连续续，那那么么它它在在点点 x0 必必须须要要有有极极限限(这这就就是是说说,有有极极限限与与在在点点 x0 连连续续是是有有区区别别的的. 首首先先 f (x) 在在点点 f 在点在点 x0 连续连续定义定义2很明显很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函由
3、左、右极限与极限的关系以及连续函数数0既是左连续，又是右连续既是左连续，又是右连续. .点点x定理定理4.1f 在在有定义，若有定义，若的的定定义义可可得得： 从而它在从而它在 x = 0 不连续不连续( (见图见图4-1). 4-1). 讨论函数讨论函数在点在点 x = 0 的连续性的连续性. .解解 例例2 而而 所以所以 f 在点在点 x = 0 右连续右连续, , 但不左连续但不左连续, , 例例3 讨论函数讨论函数解解 因为因为综上所述综上所述, ,所以所以, ,二、间断点的分类定义定义4定义定义. .若若f 在点在点 x0 无定义无定义, ,或者在点或者在点 x0有定义但却有定义但
4、却由此由此, ,根据函数极限与连续之间的联系根据函数极限与连续之间的联系, 如果如果 f 在在点点 x0 不不连连续续, 则则必必出出现现下下面面两两种种情情况况之之一一:或或不不连连续续点点.在在该该点点不不连连续续, ,那那么么称称点点 x0 为为函函数数的的一一个个间间断断点点等于等于f (x0).根据上面的分析根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类：我们对间断点进行如下分类：1. 可去间断点可去间断点: 若若可去间断点可去间断点. .注注 x0 是是 f 的的跳跃间断点与函数跳跃间断点与函数 f 在点在点 x0 是是否有定否有定 点点. . 3.第二类间断点第二类间断点: : 若若
5、 f 在点在点 x0 的左、右极限至少的左、右极限至少 可可去去间间断断点点和和跳跳跃跃间间断断点点统统称称为为第第一一类类间间断断点点. .义义无无 关关 . .有一个不存在有一个不存在,证证 因为因为例例3 3 所以所以并且并且 是是 的一个可去间断点的一个可去间断点. .注注 1.例例4 讨论函数讨论函数在在 x = = 0 处处是否连续？若不连续，则是什么类型的是否连续？若不连续，则是什么类型的2. .若若点点x0是是 的的可可去去间间断断点点, ,那那么么只只要要重重新新定定 x0 连续连续.间断点？间断点？ 所以所以 f (x) 在在 x = = 0 处右连续而不处右连续而不左连续
6、左连续, ,从而不从而不解解 因为因为断断点点是是跳跳跃跃间间断断点点. 连连续续. 既既然然它它的的左左、右右极极限限都都存存在在，那那么么这这个个间间例例5解解 因为由因为由HeineHeine定理可知，定理可知，均不存在，均不存在，点？点？三、区间上的连续函数若函数若函数 f 在区间在区间I上的每一点都连续上的每一点都连续, ,则称则称 f 为为 I例如例如, , 以及以及都是都是R上的连续函数；而函数上的连续函数；而函数是区间是区间-1,1-1,1上的连续函数上的连续函数, ,在在处的连续分处的连续分别指右连续和左连续别指右连续和左连续. .数数在在该该点点连连续续是是指指相相应应的的
7、左左连连续续或或右右连连续续.上上的的连连续续函函数数.对对于于闭闭区区间间或或半半开开半半闭闭区区间间的的端端点点,函函如果函数如果函数 f 在在 a, ,b 上的不连续点都是第一类的上的不连续点都是第一类的, ,能能要要添添加加或或改改变变某某些些分分段段点点处处的的值值).是是由由若若干干个个小小区区间间上上的的连连续续曲曲线线合合并并而而成成(当当然然可可一一个个分分段段连连续续函函数数.从从几几何何上上看看,分分段段连连续续曲曲线线就就并并且且不不连连续续点点只只有有有有限限个个, ,那那么么称称 f 是是 a, ,b 上上的的在在 内任何无理点处都连续内任何无理点处都连续, , 试证明：黎曼函数试证明：黎曼函数 任何有理点处都不连续任何有理点处都不连续. .
