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1、(1)形如形如的方程称为的方程称为n阶线性微分方程阶线性微分方程, , 特别特别, , (2)称为称为n阶阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程. . 一、一、n 阶线性微分方程阶线性微分方程非齐次非齐次* *函数的线性相关与线性无关函数的线性相关与线性无关成立成立, ,则称称这 n 个函数在区个函数在区间I I上上线性相关线性相关；否否则称称线性线性无关无关. . 线性齐次微分方程的解的结构线性齐次微分方程的解的结构也是也是(2)的解的解. .定理定理1 1进一步，进一步，则则(3)就是就是(2)的的通解通解. .(1)(2)(3)线性非齐次微分方程的解的结构线性非齐次微分方程的解的结构定理定理
2、2 2(1)(2)二、二阶二、二阶常系数常系数线性微分方程线性微分方程二二阶常系数常系数线性微分方程性微分方程的标准形式的标准形式其中其中a, ,b是常数是常数. .(1)(2)称称为二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性微分方程线性微分方程. . 二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质回顾回顾一阶齐次线性一阶齐次线性方程方程A.A.方程方程(1)(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)(1)的解；的解；B.B.方程方程(1)(1)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(1)(1)的解的解. .二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质A
3、.A.方程方程(2)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(2)的解；的解；B.B.方程方程(2)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(2)的解的解. .也是也是(2)的解的解. .( (称称线性无关线性无关),),则上式为则上式为(2)的的通解通解. .定理定理3 3(2)1. 二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程的线性方程的解法解法 代数方程代数方程(3)称称为微分方程微分方程(2)的的特征方程特征方程, ,它的根称它的根称为特征根特征根( (或或特征值特征值).). (3)(2)(3)情形情形1 1 则特征方程特征方程(3)有两个相异的有两个相异的实根根 情形情形2 2 需
4、要求另一个特解需要求另一个特解则特征方程特征方程(3)有两个相等的有两个相等的实根根 于是于是(2)的通解的通解为 情形情形3 3 则特征方程特征方程(3)有一有一对共共轭复根复根 小结小结 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 实根实根实根实根复根复根解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例1 1例例2 2解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为特征根为特征根为解解特征方程为特征方程为故通解为故通解为例例3 3特征根为特征根为对应齐次方程对应齐次方程2. 二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法(1)(2)A.A
5、.方程方程(1)的任意一个解加上方程的任意一个解加上方程(2)的任意一个的任意一个解解 是是(1)的解；的解；B.B.方程方程(1)的任意两个解之差是的任意两个解之差是(2)的解的解 . .定理定理4 4那么方程那么方程(1)的通解为的通解为对应齐次方程对应齐次方程2. 二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法(1)(2)定理定理4 4那么方程那么方程(1)的通解为的通解为问题归结为求方程问题归结为求方程(1)的一个特解的一个特解. .只讨论只讨论 f (x) 的两种类型的两种类型. .用用待定系数法待定系数法求解求解. .则则情形情形1 1 若若 r
6、不是特征根不是特征根, , 即即情形情形2 2 若若 r 是特征方程的是特征方程的单根根, , 即即情形情形3 3 若若 r 是特征方程的是特征方程的二重二重根根, , 即即综上讨论综上讨论设特解为设特解为其中其中解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例4 4代入原方程代入原方程, ,得得 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程，代入方程，原方程通解为原方程通解为例例5 5得得解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例6 6代入方程代入方程, 得得注意：注意：现即现即即得即得这样比代入原方程要简便得多这样比
7、代入原方程要简便得多. .解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例6 6解解例例7 7对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根此此时原方程的通解原方程的通解为 可以证明可以证明, ,方程方程(1)具有如下形式的特解具有如下形式的特解: :解解例例8 8所求所求通解通解为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程, ,得得 解解例例9 9所求所求通解通解为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程, ,得得 定理定理5 (5 (非齐次线性方程的叠加原理非齐次线性方程的叠
8、加原理) ) 和和的特解的特解, ,的一个特解的一个特解. .例例1010解解代入得代入得代入得代入得原方程通解为原方程通解为例例1010解解解解是是对应齐次方程的通解次方程的通解, ,但没有原方程的特解但没有原方程的特解, , 故故( (B)B)也不也不对； 例例11 11 二二阶非非齐次次线性微分方程性微分方程 证证解解例例1212求导，求导，原方程改写为原方程改写为再求导，再求导，对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入得代入得 初始条件初始条件： *三、三、n 阶常系数线性方程阶常系数线性方程特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项特征根为特征根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为解解 特征方程为特征方程为例例1313代入原方程代入原方程, ,得得 所以原方程通解为所以原方程通解为*四、几类特殊的高阶微分方程四、几类特殊的高阶微分方程 解解例例1414通解为通解为解解代入原方程得代入原方程得分离变量并积分分离变量并积分,得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为例例1515一阶微分方程一阶微分方程解解例例1616解解例例1717解解例例1717解解例例1818这是原方程的一个解是原方程的一个解( (非通解非通解).). 解解例例1818练习：练习：P355 习题九习题九
