第十四章第十四章 超静定结构超静定结构§14–1 超静定结构超静定结构概述概述概述概述§14–2 用力法解超静定结构用力法解超静定结构§14–3 对称及反对称性质的应用对称及反对称性质的应用 用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为静不定结构静不定结构(或静不定系统)，也称为超静定结构超静定结构(或超静定系统) 在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多多余约束余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力多余约束反力，多余约束的数目为结构的静不定次数静不定次数§14-1 超静定结构概述 静不定问题分类静不定问题分类第一类：外力静不定：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的第二类：内力静不定：内力静不定：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的第三类：混合静不定：混合静不定：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内力是静不定的 第一类第一类 第二类第二类FFFF BFFACFDBCFD 第三类第三类 分析方法分析方法1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
一、力法的基本思路（举例说明）一、力法的基本思路（举例说明）解：①判定静不定次数（一次） [ 例例1] 如图所示，梁EI为常数试求支座反力，作弯矩图§14-2 用力法解超静定结构用力法解超静定结构②选取并去除多余约束，得到静定基，见图(b) CPAB(a)X1P(b)CAB⑤列出变形协调方程： ③加上原载荷,④加上多余约束反力， 应用叠加法：PBX1A1∴∴变形协调方程变形协调方程或：或：——力法正则方程力法正则方程 系数δ11和Δ1P可由莫尔定理(积分或图乘)求得(图c、d)AB1(d)(c)PBPl2l CPAB④求其它约束反力 由平衡方程可求得 A 端反力，其大小和方向⑤ 作弯矩图，见图(e)e)–+ 注意注意：对于同一静不定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同本题中若选固定段处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图所示的简支梁CPABX1 二、力法正则方程二、力法正则方程d11——在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用点沿 X1方向的位移；变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程X1——多余未知量；D1P——在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿 X1方向的位移； 力法解超静定的基本步骤：力法解超静定的基本步骤：①判定静不定次数②选取并去除多余约束，代以多余约束反力。
⑤建立力法正则方程：③画出两个图：原载荷图和单位力图 ④计算正则方程的系数： D1P和d11程，两图互乘得D1P ，单位力图自乘得d11 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数解：①刚架为一次超静定②选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统qABX1③建立力法正则方程④计算系数d11和自由项D1P[例例2]qaABa也可以应用莫尔积分计算自由项D1P和系数d11可以用莫尔图乘法计算自由项D1P和系数d11 qABx1x2AB1x1x2应用莫尔积分计算自由项D1P和系数d11 qABx1x2AB1⑤代入力法正则方程：x1x2得 ⑥画弯矩图qAB 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数解：①刚架有一个多余约束③建立力法正则方程[例例3]②选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统④计算系数d11和自由项D1PqaABaX1qAB AB1qAB ⑤代入力法正则方程：得X1qABX1qAB X1qAB 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数解：①刚架有一个多余约束③建立力法正则方程[例例4]②选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统④计算系数d11和自由项D1PaABaaFX1aABaaF ABF1Baa X1aABaaF 已知：F，a ，EA，求桁架各杆的内力。
[例14-2]FABaaDC432156X1X1ABDC432156F切口两侧截面的相对位移等于零： ABDC4321561ABDC4321561F计算计算 杆件编号FNiliFNi li li1－F1a－Faa2－F1a－Faa3 01 1a0a401a0a5 F a60 a0( P78) 表14.1 FABaa432156X1AB432156X1F求桁架各杆的内力应用叠加法求桁架各杆的内力 ABDC432156FABDC432156应用叠加法求桁架各杆的内力 杆件编号FNili1－F1a－F/22－F1a－F/23 01 1aF/2401aF/25 F aF/60 a －F/ ( P78) 表14.1 求三杆的轴力，各杆的EA相等解：[题题2-43]P132laaP132laaX1X1 P132laa1132laa1 FN3P132aaX1FN1A 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。
解：①刚架有三个多余约束[例例4]②选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统qaABaX1ABqBX2X3③列出变形协调方程：（X1方向上的位移）（X2方向上的位移）（X3方向上的位移） ABBX3ABqBX1ABBABBX2应用叠加法 对于有对于有n个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：由位移互等定理知： ij 影响系数，表示在基本静定系上由Xj取单位值时引起的 在Xi作用点沿Xi方向的位移；D DiP 自由项，表示在基本静定系上， 由原载荷引起的在Xi 作用点沿Xi 方向的位移 一、对称结构的对称变形与反对称变形一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构对称结构当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形对称变形若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形反对称变形E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴§14-3 对称及反对称性质的应用对称及反对称性质的应用 正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：大简化计算过程：对称变形对称截面上，反对称内力为零或已对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。
知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知 例如：例如：对称轴PPPX3X2X1PX3X2X1X3PX1X3PX1由于对称性，反对称内力为零： X2 =0 又如：对称轴PPX3X2X1PPX3X2X1PX2PX2由于载荷的反对称性，对称内力为零： X1 =0，， X3 =0 试求图示刚架的全部约束反力刚架EI为常数解：取左边一半计算[例例3]2aaaX1X1 则由平衡方程求得：q1MARAqAaa 试画图示刚架弯矩图刚架EI为常数解：[例例7]2aaaFF/2F/2X1X2X1X2图示刚架有两个多余未知力但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力X2为零，只有一个多余未知力X1，只需列出一个正则方程求解 试画图示刚架弯矩图刚架EI为常数解：[例例7]2aaaFF/2F/2X1X1图示刚架有两个多余未知力但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力X2为零，只有一个多余未知力X1，只需列出一个正则方程求解 X1F/2F/21X1F/22a F/2画刚架弯矩图2aaaF 试画图示刚架弯矩图刚架EI为常数[例例8]2aaaqX1X1解：图示刚架有两个多余未知力。
但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力为零，只有一个多余未知力，只需列出一个正则方程求解 则q1q2aq ABl/2l/2C[ [题题6-20a](P198)6-20a](P198) 求梁的支反力MeABl/2l/2CFCMC [ [单单题题6-20a](P198)6-20a](P198) 求梁的支反力MeABl/2l/2CMCMAABl/2l/2CMeMA= MC [ [刘刘题题14-3(a)](P94)14-3(a)](P94) 求梁的支反力FAABlqMBABlMA= MBMBMAFBqFB 试求AB 直径的长度变化圆环的EI为常数[例例14-5 ]ABCFFaDACFDBCFD由于结构是对称、载荷对称，故水平对称轴横截面上反对称内力为零 试求AB 直径的长度变化圆环的EI为常数[例例14-5 ]ABCFFaDACFDBCFD ACFDF/2F/2DAF/2X1X1X1 DA1DAF/2 DAF/2X1ABCFFDABC11D求AB 直径的长度变化 ABCFFDABC11D 试解图示超静定刚架EI为常数ABCPPaa解：图示刚架有三个多余未知力但由于结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解。
PPX1X1用莫尔定理求D1P和d11[题题14-15] 1支座反力：ABPPMBRBHBPPa则PMARAHAMARAHA x11则支座反力：ABPPMBRBHBMARAHAPx1x2x2 。