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1、第八章矩阵特征值数值解2021/5/231 在实际问题中，矩阵的模最大特征值往往在实际问题中，矩阵的模最大特征值往往起重要作用，例如矩阵的谱半径就是矩阵的模最起重要作用，例如矩阵的谱半径就是矩阵的模最大特征值，它决定了迭代矩阵是否收敛。因此矩阵大特征值，它决定了迭代矩阵是否收敛。因此矩阵的模最大特征值比其他特征值的地位更加重要的模最大特征值比其他特征值的地位更加重要. 幂法幂法就是计算矩阵的模最大特征值及特征向量就是计算矩阵的模最大特征值及特征向量的数值方法。的数值方法。 反幂法反幂法就是计算矩阵的模最小特征值及特就是计算矩阵的模最小特征值及特征向量的数值方法。征向量的数值方法。8.1 引言引
2、言2021/5/232如何计算矩阵的特征值和特征向量？在线性代数中如何计算矩阵的特征值和特征向量？在线性代数中（1）计算特征多项式）计算特征多项式（3）将所求的特征根逐个代入方组中，所有）将所求的特征根逐个代入方组中，所有引 言要历经要历经下列步骤：下列步骤：（2）计算特征多项式的根）计算特征多项式的根解的全体组成解的全体组成A的特征向量。的特征向量。2021/5/233（1）求）求A的全部特征值、特征向量的全部特征值、特征向量: EigensystemA（2）求）求A的特征值：的特征值： EigenvaluseA（3）求）求A的特征向量组的特征向量组: EigenvectorsA(4) 求求
3、A的的特征多项式：特征多项式：DetA-*IdentityMatrixn程 序2021/5/234 A=1,2,1,-1,2,1,0,4,2;Print特征多项式为：特征多项式为：DetA-*IdentityMatrix3Print特征值为：特征值为：SolveDetA-*IdentityMatrix3=0EigenvaluesA;Print特征向量为：特征向量为：EigenvectorsAPrint特征值和特征向量为：特征值和特征向量为：EigensystemA2021/5/235运行结果：运行结果：程序运行结果2021/5/236预备知识：预备知识：预备知识Eigen-valueEigen
4、-vector2021/5/237预备知识2021/5/2388.2 幂法运算及程序幂法运算及程序2021/5/239幂 方 法2021/5/2310幂 方 法此式说明了什么？此式说明了什么？当当k足够大时足够大时,X(k)近似等于主特征向量近似等于主特征向量2021/5/2311解题步骤：解题步骤：幂方法此式说明了什么？此式说明了什么？当当k充分大时，相邻两次迭代向量对应的非零充分大时，相邻两次迭代向量对应的非零分量的比值近似等于主特征值。分量的比值近似等于主特征值。2021/5/2312幂方法说明几点说明：几点说明：因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然因为计算过程中舍入误差的影
5、响，迭代若干次后，必然它在它在u1方向上的分量不为零，方向上的分量不为零，这样，以后的计算就满足所设条件。这样，以后的计算就满足所设条件。会产生一个向量会产生一个向量 ，1）如果如果 的选取恰恰使得的选取恰恰使得a10，幂法计算仍能进行。，幂法计算仍能进行。或或由初始向量的任意性，选取其它不为零的初始向量。由初始向量的任意性，选取其它不为零的初始向量。2021/5/2313幂方法说明2021/5/2314用规范幂法求矩阵用规范幂法求矩阵的最大特征值的最大特征值 1和对应的特征向量和对应的特征向量。解解:取初始向量取初始向量V0=(0.5,0.5,1.1)T ，根据程序：根据程序：例例1 运行结
6、果：运行结果： A=2,-1,0,0,2,-1,0,-1,2;v0=0.5,0.5,1.1;Dov1=A.v0;Printk, ,v,k,=,v1, ,v,k,与与v,k-1,的第的第1个分量比值是个分量比值是,v11/v01, ,v,k,与与v,k-1,的第的第2个分量比值是个分量比值是,v12/v02;v0=v1/MaxAbsv1,k,1,35Print“矩阵矩阵A的精确特征值及对应的特征向量为的精确特征值及对应的特征向量为”；EigensystemA2021/5/23152021/5/2316 反幂法反幂法就是计算矩阵就是计算矩阵A A的模最小特征值（即的模最小特征值（即求求A A的逆的
7、最大特征根）及特征向量的数值方法。的逆的最大特征根）及特征向量的数值方法。8.3 反幂法运算及程序反幂法运算及程序2021/5/2317反幂法及程序因为因为 的计算比较麻烦，而且往往不能保证矩阵的计算比较麻烦，而且往往不能保证矩阵A的一些好的性质，如稀疏性，因此反幂法在实际计算的一些好的性质，如稀疏性，因此反幂法在实际计算 时以求解方程组时以求解方程组:代替幂法迭代：代替幂法迭代：2021/5/2318反幂法及程序2021/5/2319例例2 2 A=2,-1,0,0,2,-1,0,-1,2;y0=0,0,1.;Dox1=LinearSolveA,y0; Printk, ,v,k,=,x1,
8、,v,k,与与v,k-1,的第的第1个个分量比值是分量比值是,y01/x11; y0=x1/MaxAbsx1,k,1,22Print最小特征值对应的特征向量是最小特征值对应的特征向量是,x1EigensystemA反幂法例题2021/5/2320运行结果为：运行结果为：反幂法程序运行结果2021/5/2321雅克比方法概述雅克比方法是求实对称矩阵的全部特征值及相应雅克比方法是求实对称矩阵的全部特征值及相应特征向量的一种方法。特征向量的一种方法。预备知识预备知识（1 1）任意实对称矩阵任意实对称矩阵A A 可通过正交相似变化成可通过正交相似变化成8.4 雅克比方法雅克比方法2021/5/2322
9、雅克比方法概述（2）在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。2021/5/2323基本思想基本思想雅克比法的基本思想下面以二阶实对称矩阵为例分析下面以二阶实对称矩阵为例分析2021/5/2324矩阵形式为矩阵形式为：雅克比方法的实例分析2021/5/2325过程如下：过程如下：雅克比方法的实例分析2021/5/2326则上式简写为：则上式简写为： 容易验证容易验证R是一个正交矩阵。正交变换是一个正交矩阵。正交变换R把对称把对称矩阵矩阵A变成为对角矩阵，变成为对角矩阵， 正交矩阵正交矩阵R R的两个列向量分别为对应于两个特征的两个列向量分别为对应于两个特征
10、值的单位特征向量。值的单位特征向量。上述结果可推广到一般情况。上述结果可推广到一般情况。雅克比方法的实例分析2021/5/2327矩阵的旋转变换矩阵的旋转变换雅克比方法的一般推广2021/5/2328雅克比方法的一般推广2021/5/2329雅克比方法的一般推广可证，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零可证，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零元素的个数增加，但是可以元素的个数增加，但是可以保证非对角元的平方和递减保证非对角元的平方和递减。2021/5/2330雅克比方法的一般推广上式表面上式表面，在旋转变换下，非对角元的平方和严格单调减。，在旋转变换下，非对角元的平方和严格单调减。因
11、而对角元的平方和单调增，利用此点，则导出了因而对角元的平方和单调增，利用此点，则导出了Jocobi方法。方法。2021/5/2331 Jacobi方法的理论基础方法的理论基础雅克比法的理论基础相似变换的过程中，每一步都选绝对值最大的非对角元素相似变换的过程中，每一步都选绝对值最大的非对角元素如果在对如果在对A做做定理定理2021/5/2332例例3 雅克比法 例题2021/5/2333雅克比法 例题2021/5/2334雅克比法 例题2021/5/2335雅克比法 例题2021/5/2336 QR QR算法是计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方算法是计算中小型矩阵的全部特征值与特征向
12、量的最有效方法。适用于求实、复非奇异矩阵的特征值，是一种变换迭代法。法。适用于求实、复非奇异矩阵的特征值，是一种变换迭代法。 理论依据：理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q Q和一和一个上三角矩阵个上三角矩阵R R的乘积，而且当的乘积，而且当R R的对角元符号取定时，分解是唯一的对角元符号取定时，分解是唯一的。的。基本QR方法8.5 QR分解法分解法2021/5/2337=2021/5/2338 可证，在一定条件下，基本可证，在一定条件下，基本QRQR方法产生的矩阵序列方法产生的矩阵序列A A(k)(k) 收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）
13、。收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。基本QR方法2021/5/2339 因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当k k充充分大时，分大时， A A(k)(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值）的主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为就可以作为A A的特征值的近似。的特征值的近似。 基本的基本的QRQR方法的主要运算是对矩阵方法的主要运算是对矩阵QRQR分解，分解的分解，分解的方法有多种。介绍一种方法有多种。介绍一种SchmitSchmit正交化方法
14、为例。正交化方法为例。基本QR方法2021/5/2340基本QR方法2021/5/2341基本QR方法2021/5/2342基本QR方法2021/5/2343例例42021/5/2344QR方法例题2021/5/2345 基本基本QR方法每次迭代都需作一次方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列相似变换将方法是先用一系列相似变换将A化成拟上三角矩阵化成拟上三角矩阵（称为上（称为上Hessenberg矩阵），然后对此矩阵用基本矩阵），然后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，故可减少方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，故可减少运算量。化运算量。化A为相似的拟上三角阵的方法有多种（略）。为相似的拟上三角阵的方法有多种（略）。QR方法分析2021/5/23462021/5/2348部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
