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1、 第五章 FIR数字滤波器的设计5.1 5.1 线性相位线性相位FIRFIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性主要内容主要内容一、一、一、一、线性相位系统的定义线性相位系统的定义线性相位系统的定义线性相位系统的定义二、二、二、二、线性相位系统的线性相位系统的线性相位系统的线性相位系统的时域特性时域特性时域特性时域特性三、线性相位系统的三、线性相位系统的三、线性相位系统的三、线性相位系统的频域特性频域特性频域特性频域特性四、线性相位系统的零点分布四、线性相位系统的零点分布四、线性相位系统的零点分布四、线性相位系统的零点分布重点与难点重点与难点重点重点1、线性相位系统的定义线性相位系统的定义线性相位
2、系统的定义线性相位系统的定义2、线性相位系统的线性相位系统的线性相位系统的线性相位系统的时域和频域特性时域和频域特性时域和频域特性时域和频域特性难点难点1、线性相位系统的零点线性相位系统的零点线性相位系统的零点线性相位系统的零点FIR数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 数字滤波器设计：数字滤波器设计：数字滤波器设计：数字滤波器设计： 由给定的系统频率特性由给定的系统频率特性由给定的系统频率特性由给定的系统频率特性, , 确定确定确定确定MM和和和和N N及系数及系数及系数及系数a ai i，b bj jLTI系统：系统： 若若若若a ai i等于零等于零等于零等于零，则系统为，则系统为，
3、则系统为，则系统为FIRFIR数字滤波器。数字滤波器。数字滤波器。数字滤波器。 若若若若a ai i至少有一个非零至少有一个非零至少有一个非零至少有一个非零，则系统为，则系统为，则系统为，则系统为IIRIIR 数字滤波器。数字滤波器。数字滤波器。数字滤波器。 FIR FIR滤波器的设计滤波器的设计滤波器的设计滤波器的设计M阶阶(长度长度M+1) FIR数字滤波器的系统函数为：数字滤波器的系统函数为： FIR FIR数字滤波器设计：数字滤波器设计：数字滤波器设计：数字滤波器设计： 由给定的系统频率特性由给定的系统频率特性由给定的系统频率特性由给定的系统频率特性, , 确定确定确定确定MM及系数及
4、系数及系数及系数b bk k或或或或h h k k FIR数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 FIR FIR低通数字低通数字低通数字低通数字滤波器设计指标滤波器设计指标滤波器设计指标滤波器设计指标W W p:通带截止频率通带截止频率W W s:阻带截止频率阻带截止频率d dp:通带波动通带波动d d s:阻带波动阻带波动通带衰减通带衰减(dB)阻带衰减阻带衰减(dB)FIR数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念(1) 容易设计成线性相位。容易设计成线性相位。(2) hk在有限范围内非零，系统总是稳定的。在有限范围内非零，系统总是稳定的。(3) 非因果非因果FIR系统都能经过延时变成因果
5、系统都能经过延时变成因果FIR系统。系统。 (4) 可利用可利用FFT实现。实现。 FIR FIR与与与与IIRIIR数字滤波器比较数字滤波器比较数字滤波器比较数字滤波器比较 IIR IIR数字滤波器特点数字滤波器特点数字滤波器特点数字滤波器特点： (1)能在较低的阶数下获得较好的幅度响应。能在较低的阶数下获得较好的幅度响应。 (2)相位响应无法设计成线性特性。相位响应无法设计成线性特性。 FIR FIR数字滤波器特点数字滤波器特点数字滤波器特点数字滤波器特点：FIR数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 (3)系统不一定稳定（因为有反馈）。系统不一定稳定（因为有反馈）。 线性相位系统的线性
6、相位系统的定义定义若若f f (W W )= - -a W, a W, 则称则称系统系统H(z)是严格线性相位的。是严格线性相位的。 严格线性相位系统定义严格线性相位系统定义严格线性相位系统定义严格线性相位系统定义 广义广义广义广义线性相位系统定义线性相位系统定义线性相位系统定义线性相位系统定义其中，其中，A (W W )是是W W 的实函数，的实函数，称为幅度函数。称为幅度函数。1、线性相位系统的、线性相位系统的时域时域特性特性线性相位系统的线性相位系统的线性相位系统的线性相位系统的单位脉冲响应单位脉冲响应单位脉冲响应单位脉冲响应h h k k 需需需需满足：满足：满足：满足：hk = hM
7、- -k可以证明上式是线性相位系统的可以证明上式是线性相位系统的可以证明上式是线性相位系统的可以证明上式是线性相位系统的充要条件充要条件。即，单位脉冲响应即，单位脉冲响应即，单位脉冲响应即，单位脉冲响应为为为为奇奇奇奇对称或对称或对称或对称或偶偶偶偶对称！对称！对称！对称！ I I I I型线性相位系统型线性相位系统型线性相位系统型线性相位系统hk偶对称，偶对称，M为偶数为偶数M=4 II II II II型线性相位系统型线性相位系统型线性相位系统型线性相位系统hk偶对称，偶对称，M为奇数为奇数M=3 III III III III型线性相位系统型线性相位系统型线性相位系统型线性相位系统hk奇
8、对称，奇对称，M为偶数为偶数M=4 IV IV IV IV型线性相位系统型线性相位系统型线性相位系统型线性相位系统hk奇对称，奇对称，M为奇数为奇数M=31、线性相位系统的、线性相位系统的时域时域特性特性 I I型型型型 ( (h h k k=h h MM- - - -k k, , MM为偶数为偶数为偶数为偶数) )其中其中 L=M/22、线性相位系统的、线性相位系统的频域频域特性特性 I I型型型型 ( (h h k k=h h MM- - - -k k ， MM为偶数为偶数为偶数为偶数) )2、线性相位系统的、线性相位系统的频域特性频域特性频域特性证明频域特性证明利用对称性利用对称性hk=
9、hM- -k利用欧拉公式利用欧拉公式改写改写 I I型型型型 2、线性相位系统的、线性相位系统的频域特性频域特性例例1：h k=1,2, 1, M=2 2 -40A(W W)- -2 A (W W)关于关于0和和 点偶对称点偶对称可设计可设计可设计可设计LPFLPF、HPFHPF、BPFBPF、BSFBSFA(W W)A (W W)的周期的周期= 2 其中其中: L=(M- -1)/2 II II型型型型 ( (h h k k=h h MM- - - -k k ， MM为奇数为奇数为奇数为奇数) )2、线性相位系统的、线性相位系统的频域特性频域特性例例2：h k=0.5,0.5, M=10 0
10、12p-2pA (W W)A (W)的周期的周期= 4pA (W W)A (p )=0只能设计只能设计只能设计只能设计LPFLPF和和和和BPFBPF，不能用于，不能用于，不能用于，不能用于HPFHPF、BSFBSF的设计的设计的设计的设计! !A(W W)关于关于W W = 点奇对称点奇对称IIII型型型型2、线性相位系统的、线性相位系统的频域特性频域特性其中其中 L=M/2 III III型型型型 ( (h h k k= = - - - -h h MM- - - -k k ， MM为偶数为偶数为偶数为偶数) )2、线性相位系统的、线性相位系统的频域特性频域特性例例3: h k=0.5,0,
11、- -0.5, M=20A (W W)12 2 A (W W)的周期的周期= 2 A (0 0 )= A ( ) =0只能设计只能设计只能设计只能设计BPFBPF和和和和BSFBSF，不能用于，不能用于，不能用于，不能用于LPFLPF、HPFHPF的设计的设计的设计的设计! !A(W W )关于关于W W =0, 点奇对称点奇对称 III III型型型型 2、线性相位系统的、线性相位系统的频域特性频域特性其中其中 L=(M- -1)/2 IV IV型型型型 ( (h h k k= = - - - -h h MM- - - -k k ， MM为奇数为奇数为奇数为奇数) )2、线性相位系统的、线性
12、相位系统的频域特性频域特性例例4：h k=0.5,- -0.5, M=10 0A (W W )122-2-2A (W)的周期的周期= 4pA (0 ) =0能设计能设计能设计能设计HPFHPF、 BPF BPF和和和和BSFBSF，不能用于，不能用于，不能用于，不能用于LPFLPF的设计的设计的设计的设计! !A(W W )关于关于W W =0点奇对称，点奇对称，关于关于W W =p点偶对称点偶对称IVIV型型型型 2、线性相位系统的、线性相位系统的频域特性频域特性A (W W)类型类型IIIIIIIV阶数阶数M偶偶奇奇偶偶奇奇hk的对称性的对称性偶对称偶对称偶对称偶对称奇对称奇对称奇对称奇对
13、称A(W W)关于关于W=0 W=0 的对称性的对称性偶对称偶对称偶对称偶对称奇对称奇对称奇对称奇对称A(W W)关于关于W=W= 的对称性的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称奇对称奇对称偶对称偶对称A(W W)的周期的周期2 4 2 4 b b000.5 0.5 A (0 0)任意任意任意任意00A( )任意任意00任意任意可适用的滤波器类型可适用的滤波器类型LP,HP,BP,BSLP, BP微分器微分器, ,Hilbert变换器变换器微分器微分器, ,Hilbert变换器，变换器，HP2、线性相位系统的、线性相位系统的频域特性频域特性通用公式：通用公式：3、线性相位系统的零点分布、线性相位系统
14、的零点分布1、z=0不可能是系统的零点；不可能是系统的零点；2、zk是系统的零点，则是系统的零点，则zk- -1也是系统的零点。也是系统的零点。若若hk是是实序列实序列，则，则H(z)的零点有：的零点有：偶多项式偶多项式奇多项式奇多项式和和型型和和型型由以上可由以上可以看出：以看出：Re(z)Im(z)是是是是不在不在不在不在单位圆上的单位圆上的单位圆上的单位圆上的复复复复零点零点零点零点(1)(1)3、线性相位系统的零点分布、线性相位系统的零点分布44阶阶阶阶偶偶偶偶对称多项式。对称多项式。对称多项式。对称多项式。Re(z)Im(z)是是是是在在在在单位圆上的单位圆上的单位圆上的单位圆上的复
15、复复复零点零点零点零点(2)(2)3、线性相位系统的零点分布、线性相位系统的零点分布22阶阶阶阶偶偶偶偶对称多项式。对称多项式。对称多项式。对称多项式。Re(z)Im(z)是是是是不在不在不在不在单位圆上的单位圆上的单位圆上的单位圆上的实实实实零点零点零点零点(3)(3)3、线性相位系统的零点分布、线性相位系统的零点分布22阶阶阶阶偶偶偶偶对称多项式。对称多项式。对称多项式。对称多项式。Re(z)Im(z) 任意线性相位系统是上述四种子系统的组合任意线性相位系统是上述四种子系统的组合任意线性相位系统是上述四种子系统的组合任意线性相位系统是上述四种子系统的组合 h h k k 奇对称时，奇对称时
16、，奇对称时，奇对称时，HH( (z z) )在在在在z z=1=1处一定有奇数阶零点。处一定有奇数阶零点。处一定有奇数阶零点。处一定有奇数阶零点。是是是是在在在在单位圆上的单位圆上的单位圆上的单位圆上的实实实实零点零点零点零点(4)(4)3、线性相位系统的零点分布、线性相位系统的零点分布11阶阶阶阶奇奇奇奇对称多项式。对称多项式。对称多项式。对称多项式。11阶阶阶阶偶偶偶偶对称多项式。对称多项式。对称多项式。对称多项式。 四种不同类型的线性相位系统在四种不同类型的线性相位系统在四种不同类型的线性相位系统在四种不同类型的线性相位系统在z zk k= = 1 1的零点的零点的零点的零点(1) I
17、型型FIR滤波器滤波器(H(z)为为偶对偶对称称多项式多项式多项式多项式，M为偶为偶数数) 在在zk=1和和zk= - -1无零点或者有偶数个零点无零点或者有偶数个零点。(2) II 型型FIR滤波器滤波器(H(z)为为偶对偶对称称多项式多项式多项式多项式，M为奇为奇数数) 在在zk=1无零点或有偶数个零点，无零点或有偶数个零点，zk= - -1有奇数个零点有奇数个零点。(3) III 型型FIR滤波器滤波器(H(z)为奇为奇对对称称多项式多项式多项式多项式，M为偶为偶数数) 在在zk=1和和zk= - -1有奇数个零点。有奇数个零点。(4) IV 型型FIR滤波器滤波器(H(z)为奇为奇对对
18、称称多项式多项式多项式多项式，M为奇为奇数数) 在在zk=1有奇数个零点，有奇数个零点，zk=- -1无零点或有偶数个零点无零点或有偶数个零点。3、线性相位系统的零点分布、线性相位系统的零点分布解：解：解：解：例例例例5 5：已知已知8阶阶III型线性相位型线性相位FIR滤波器的部分零点为：滤波器的部分零点为：z1= - -0.2，z2=j0.8 (1)试确定该滤波器的其他零点。试确定该滤波器的其他零点。 (2)设设h0=1, 求出该滤波器的系统函数求出该滤波器的系统函数H(z)。(1) z3=1/ z1=- -5; z4=1/ z2= - -j1.25，z5=z2*= - -j0.8，z6=
19、z4*= j1.25； z7= 1; z8= - - 1;(2) =1- - z- -8+5.2+5.2(z- -1- - z- -7)+ 2.2025 (z- -2- - z- -6)- - 6.253 (z- -3- - z- -5)III型型 在在zk=1和和zk= - -1有奇数个零点。有奇数个零点。 单位取样响应：单位取样响应：课堂小结课堂小结11 1、线性相位、线性相位、线性相位、线性相位FIRFIR数字滤波器的数字滤波器的数字滤波器的数字滤波器的时域时域时域时域特性特性特性特性hkhk= = hM-khM-k型型型型: : : :hk偶对称，偶对称，M为偶数为偶数型型型型: :
20、: :hk偶对称，偶对称，M为奇数为奇数型型型型: : : :hk奇对称，奇对称，M为偶数为偶数型型型型: : : :hk奇对称，奇对称，M为奇数为奇数课堂小结课堂小结22 2、线性相位、线性相位、线性相位、线性相位FIRFIR数字滤波器的数字滤波器的数字滤波器的数字滤波器的频域频域频域频域特性特性特性特性课堂小结课堂小结33 3、线性相位、线性相位、线性相位、线性相位FIRFIR数字滤波器的数字滤波器的数字滤波器的数字滤波器的零点分布零点分布零点分布零点分布特性特性特性特性是是是是不在不在不在不在单位圆上的单位圆上的单位圆上的单位圆上的复复复复零点零点零点零点(1)(1)是是是是在在在在单位圆上的单位圆上的单位圆上的单位圆上的复复复复零点零点零点零点(2)(2)是是是是不在不在不在不在单位圆上的单位圆上的单位圆上的单位圆上的实实实实零点零点零点零点(3)(3)是是是是在在在在单位圆上的单位圆上的单位圆上的单位圆上的实实实实零点零点零点零点(4)(4)Good-bye！
