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1、第三章第三章微分中值定理微分中值定理 与与导数的应用导数的应用 第一节第一节中值定理中值定理 费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理且且 存在存在证证: 设设则则证毕证毕由保号性由保号性罗尔（罗尔（ Rolle ）定理定理满足满足:(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续(2) 在区间在区间 (a , b) 内可导内可导(3) f ( a ) = f ( b )使使在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点若若 M m , 则则 M 和和 m 中中至少有一个与端点值不等至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 则至少存在一点则至少存在一点使使则由
2、则由费马引理得费马引理得 证证:故在故在 a , b 上取得上取得最大值最大值 M 和和最小值最小值 m .若若 M = m , 则则因此因此几何解释几何解释: :注意注意:1) 定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如,例例1. 证明方程证明方程有且仅有有且仅有一个小于一个小于1 的的正实根正实根 .证证: 1) 存在性存在性 .则则在在 0 , 1 连续连续 , 且且由介值定理知存在由介值定理知存在使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根2) 唯一性唯一性 .假设另有假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存
3、在一点至少存在一点但但矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真!设设二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续满足满足:(2) 在区间在区间 ( a , b ) 内可导内可导至少存在一点至少存在一点使使几何解释几何解释:设设: -连接两端点弦的斜率连接两端点弦的斜率AB思路思路: 利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数作辅助函数显然显然 ,在在 a , b 上连续上连续 , 在在 ( a , b ) 内可导内可导, 且且证证: 问题转化为证问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点即即
4、定理结论成立定理结论成立 .即要证即要证: : 拉格朗日中值定理的其它形式拉格朗日中值定理的其它形式:(1)比如比如:(2)令令则则(3)介于介于之间之间.介于介于之间之间, 必有必有 , 使使 拉格朗日中值定拉格朗日中值定理的理的有限增量公有限增量公式形式式形式:推论推论: (1)若函数若函数在区间在区间 I 上满足上满足则则在在 I 上必为常数上必为常数.证证: 在在 I 上任取两点上任取两点日中值公式日中值公式 , 得得由由 的任意性知的任意性知, 在在 I 上为常数上为常数 .(2)若若,则则证证: 令令 而而 所以所以即即(3)若若,则则例例2. 证明等式证明等式证证: 设设由推论可
5、知由推论可知 (常数常数) 令令 x = 0 , 得得又又故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立.经验经验: 欲证欲证时时只需证在只需证在 I 上上例例3. 证明不等式证明不等式证证: 设设中值定理条件中值定理条件,即即因为因为故故因此应有因此应有三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理及及(1) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续上连续(2) 在开区间在开区间 ( a , b ) 内可导内可导(3)在开区间在开区间 ( a , b ) 内内至少存在一点至少存在一点使使满足满足 :思考思考: 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ?两个两个 不不一定相同一定相同错
6、错! !上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论. 要证要证令令即证即证即即证证: 作辅助函数作辅助函数且且使使即即由罗尔定理知由罗尔定理知, 至少存在一点至少存在一点即即柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:注意注意:弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率例例5. 设设至少存在一点至少存在一点使使证证: 结论可变形为结论可变形为设设则则在在 0, 1 上满足柯西中值上满足柯西中值定理条件定理条件, 因此在因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点内至少存在一点 , 使使即即证明证明小结小结思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数函数在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值2) 设设有有个根个根 , 它们分别在区间它们分别在区间上上.方程方程提示提示:题题13. 题题15.费马费马(1601 1665)Fermats Last Theory:费马大定理的终结者费马大定理的终结者-安德鲁安德鲁怀尔斯怀尔斯 1953年出生在英国剑桥 , 现任普林斯顿大学教授.1993年6月23日, 宣布费马大定理被证明.怀尔斯说怀尔斯说: “我的心归于平静我的心归于平静!”
