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1、第六章第六章二项分布二项分布 与与PoissonPoisson分布分布离散型随机变量概率分布: 二项分布、累积二项分布、超几何分布、负二项分布和泊松分布。最常用的概率分布，即二项分布项分布和泊泊松分布松分布二项分布与二项分布与PoissonPoisson分布及其分布及其应用应用 三种重要分布：正态分布三种重要分布：正态分布 二项分布二项分布 Poisson分布分布二 项 分 布 定义：在n次独立实验中，每次有两个对立的结果(如阳性或阴性，生存或死亡），其中某种阳性或阴性发生数X所服从的概率分布称为二项分布(binomial distrbution)。 成成败型试验败型试验：成功次数的概率分布呈
2、二项分布.故,构成Bernoulli Test序列中的n次试验中,事件A出现的次数的概率分布为：P(X=k)=(kn)k(1-)n-k其中k=0，1，n。上式是二项式 +（1- ）n 展开式的各项，所以此分布为二项分布。 n、 是二个参数。是二个参数。 若一个随机变量若一个随机变量X,X,其取值是其取值是0 0，1 1，n n。则相应取值概率为：则相应取值概率为： P(X=k)=(kn)k(1-)n-k 所以， X X服从以服从以n、 为参数的为参数的二项分布。记为：X XB(B(n、 ).).二项分布的均数与方差二项分布的均数与方差若若X XB(B(n n、) )，则则 X X的均数的均数
3、x x= =n n X X的方差的方差 2 2x x= = n n(1-(1-) ) X X的标准差的标准差 x x = = n n(1-(1-) ) 例：已知例：已知=0.6 3=0.6 3只鼠中死亡鼠数只鼠中死亡鼠数X X的的 总体均数总体均数 x x= =n n=3=3 0.6=1.8(0.6=1.8(只只) ) 总体方差总体方差 2 2x x= = n n(1-(1-)= )= 3 3 0.6(1-0.6)=0.72 (0.6(1-0.6)=0.72 (只只) ) 总体标准差总体标准差 x x = = n n(1-(1-) ) = = 3 3 0.6(1-0.6)0.6(1-0.6)=
4、 = 0.72 =0.85 (0.72 =0.85 (只只) ) 条件：条件：(1)(1)总总体体中中各各观观察察单单位位具具有有互互相相对对立立的的一一种结果种结果( (“成功成功”或或“失败失败”) ) (2)(2)已已知知发发生生某某一一结结果果的的概概率率为为，则则对对立立结结果果的的概概率率为为1-1-。出出现现“成成功功”的的概概率率p对对每每一一次次试试验验是是相相同同的的，“失失败败”的概率的概率q也不变，且也不变，且p+ql。 (3) (3) n个观察单位的观察结果相互独立，个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位结果不会影响其他观察即每个观察单位结果不会影响其他观察单位
5、的结果单位的结果 例例题题例：用淋菌培养方法，检查患者是否患有淋病。对于淋病患者，若用该方法检查一次的检出率为0.8，问：1)重复检查3次，检查结果均为阴性的概率是多少？ P= (1-0.8)3 =0.0082)重复检查3次，检查结果中最少是阳性的概率是多少？ P = 1-(1-0.8)3 =0.9923) 检查4个患者，每人检查一次，第一个患者和第二个患者为阳性且其他均为阴性的概率是多少？ P= 0.820.22 =0.0256如果研究背景满足下列条件如果研究背景满足下列条件：1)1)每每次次试试验验的的可可能能结结果果(Outcome)(Outcome)仅仅为为两两种种( (视视为为成成功
6、功或或失失败，在上例中阳性或阴性败，在上例中阳性或阴性) )。2)2)定定义义试试验验中中其其中中一一个个可可能能的的结结果果成成功功，另另一一种种可可能能的的结结果果为为失失败败( (在在上上例例中中把把检检查查结结果果为为阳阳性性可可视视为为成成功功，检检查查结果为阴性为失败结果为阴性为失败) )。3)3)每每次次试试验验的的条条件件相相同同。每每次次试试验验成成功功的的概概率率为为，失失败败的的概概率率为为1-(1-(在在上上例例中中把把检检出出阳阳性性的的概概率率为为0.80.8，检检查阴性的概率查阴性的概率1-1-为为=0.2)=0.2)4)4)试验次数为试验次数为n(n(上例中上例
7、中n=4)n=4)。 则在n次试验中，有X次成功的概率(在上例中，4个患者检查，即: n=4;有x个患者为阳性的)为：并记为XB(n,) 二项分布图形平均发生率P的均数和标准差:平均发生率对应的总体均数为标准误为对应的样本标准误为 例：某医院治疗了50个HP的患者，35个患者转阴，请计算样本转阴率和样本标准误(把治疗一个HP患者视为一次试验，治疗50个患者，视为50次试验，把患者通过治疗后转阴的结果视为试验成功)。转阴率 转阴率的标准误 二项分布的应用一、总体率可信区间估计一、总体率可信区间估计：1 1、大样本时、大样本时，二项分布的总体发生率的95%可信区间（设X服从二项分布B(n,)，n
8、5以及以及n(1- )5，当n充分大时 ）则的95可信区间(95%CI)为 例：调查了1000名男性，检查出10名男性是色盲的，试求色盲患病率的95可信区间。色盲样本患病率 ，n=1000。因此nP与n(1-P)均大于5以及n也充分大所 以 95 CI为 ： (0.01-1.960.003146，0.01+1.960.003146)=(0.003834，0.016166)2 2、样本量较小时，、样本量较小时，计算比较复杂，因此建议查本书计算比较复杂，因此建议查本书附表附表 6 (P709)(P709)例：治疗25个HP患者，12个患者转阴，求转阴率的95可信区间:解：n=25，X12，查附表查
9、附表6，95%CI=(0.28，0.69)例：某医院抢救20个AMI患者，14个抢救成功，求抢救成功率的95%CI。解：由于X仅列出n/2的可信区间，不能直接查表求95CI。本例n=20，6个抢救未成功，故可查未成功故可查未成功率率1- 的的95%CI为：为：0.121-1-0.54，所以0.88=1-0.121-0.54=0.46，即：95CI为为(0.46，0.88)。 二、二、分类资料的假设检验分类资料的假设检验 1、样本率与总体率的比较样本率与总体率的比较总体率（0）一般为标准值(或经过大量观察所得到的稳定值)，比较目的 是推断实验所得某个样本率所代表的总体率是否是来自0总体的一个样本
10、。(即检验假设为H0：=0是否成立) 1 1）X X服从二项分布，总体发生率为服从二项分布，总体发生率为 ，并且，并且 且且 ，且，且n40n40，则，则例例：用用传传统统的的治治疗疗方方案案治治疗疗HPHP患患者者的的治治愈愈率率为为0.80.8。某某研研究究用用一一种种新新的的治治疗疗方方案案治治疗疗了了100100个个HPHP患患者者，治治愈愈了了9090个个，问：用新的治疗方案的治愈率是否高于传统的治疗方案？问：用新的治疗方案的治愈率是否高于传统的治疗方案？ H H0 0：新的治疗方案的总体治愈率新的治疗方案的总体治愈率=0.8=0.8； H H1 1: : 0.8 0.8 =0.05
11、=0.05 （单侧）单侧） 且 且n=10040，故可用正态分布进行近似。U U0.05=1.64, =1.64, 差别有统计意义差别有统计意义，P0.05 结论：新的治疗方案的治愈率高于传统治疗方案的治愈率，结论：新的治疗方案的治愈率高于传统治疗方案的治愈率，差别有统计意义，差别有统计意义，P50时，可以用近似正态的方法计算可信区间: Poisson分布的样本均数与总体均数的比较分布的样本均数与总体均数的比较 1 1、直接计算、直接计算P值值 已知在培养液中，每毫升平均有3个细菌数，今采集放在5。C冰箱中的1毫升培养液测得细菌数5个，能否说培养液中细菌数有增长？ H0：3/ml vs H1：
12、3/ml样本值X5，对应的概率 P(X5)值=1 - P(4) - P(3) - P(2) - P(1) -P(0) =1 - 0.1494-0.2240-0.2240-0.1680 -0.0498 =0.18470.050.18470.05 2、正态近似法：正态近似法：当当 0 0 2020时，时，H H0 0成立时，成立时， 服从标准服从标准正态分布正态分布 例：已知人群的肝癌的患病率为例：已知人群的肝癌的患病率为0.03%0.03%，调查了，调查了1010万个饮用灌溉沟水的人，共有万个饮用灌溉沟水的人，共有5050人患肝癌，问：饮人患肝癌，问：饮用灌溉沟水的人的肝癌患病率是否高于用灌溉沟
13、水的人的肝癌患病率是否高于0.03%0.03%？ 0 0=n=n 0 0=1000000.0003=3020 =1000000.0003=3020 H H0 0: : =30 =30 vsvs H H1 1: : 30 30 =0.05=0.05 （单）单）1.65，故可以认为：饮用，故可以认为：饮用灌溉沟水的人肝癌患病率灌溉沟水的人肝癌患病率高于一般。高于一般。 Poisson分布的两个样本均数比较的分布的两个样本均数比较的U检验检验 若两个样本均数X1和X2均大于20 观察单位相等的情况下：观察动物不相等的情况下，用除法将化大单位为小单位 例：调查100000个饮用灌溉沟水的人，患肝癌50人，调查150000个饮用河水的人，患肝癌65人，问饮用河水与饮用灌溉沟水的人的肝癌患病率是否不同。因为单位不同，故选用5000人为单位，因此n1=2， ， n2=3， ，即：样本均数均大于20，可以正态近似进行检验：
