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1、 2.3 2.3 变量间的相关关系变量间的相关关系2.3.1 2.3.1 变量之间的相关关系变量之间的相关关系2.3.2 2.3.2 两个变量的线性相关两个变量的线性相关小明小明,你数学成绩不太好你数学成绩不太好,物理怎么样物理怎么样?也不太好啊也不太好啊.学不好数学学不好数学,物理物理也是学不好的也是学不好的?.你认为老师的说法对吗你认为老师的说法对吗?事实上事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时,还还必须考虑到其他的因素必须考虑到其他的因素:爱好爱好,努力努力程度程度 如果单纯从数学对物理的影响来考虑如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑这
2、两者之就是考虑这两者之间的间的相关关系相关关系我们在生活中我们在生活中,碰到很多相关关系的问题碰到很多相关关系的问题:物理成绩物理成绩数学数学成绩成绩学习学习兴趣兴趣花费花费时间时间其他其他因素因素知识探究（一）：知识探究（一）：变量之间的相关关系变量之间的相关关系思考思考1 1：考察下列问题中两个变量之间的关系：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1 1）商品销售收入与广告支出经费；）商品销售收入与广告支出经费；（2 2）粮食产量与施肥量；）粮食产量与施肥量；（3 3）人体内的脂肪含量与年龄）人体内的脂肪含量与年龄. . 这些问题中两个变量之间的关系是函数关这些问题中两个变量之间的关系是函数
3、关系吗？系吗？ 均不是！均不是！上述两个变量之间的关系是一种非确定上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为性关系，称之为相关关系相关关系，那么相关关，那么相关关系的含义如何？系的含义如何？ 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系系. .一、相关关系的概念一、相关关系的概念2 2、相关关系与函数关系的异同点、相关关系与函数关系的异同点不同点不同点：函数关系是一种确定的关系，因果关系；而：函数关系是一种确定的关系，因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，也可能是伴随关系。相关
4、关系是一种非确定性关系，也可能是伴随关系。相同点相同点：均是指两个变量的关系：均是指两个变量的关系相关关系相关关系当自变量取值一定当自变量取值一定, ,因变量的取值带有一定的因变量的取值带有一定的随机性（随机性（ 非确定性关系非确定性关系) )函数关系函数关系-函数关系指的是自变量和因变量之间的关系函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是相互唯一确定的是相互唯一确定的. .1 1、对相关关系的理解、对相关关系的理解1 1、下列两变量中具有相关关系的是（、下列两变量中具有相关关系的是（ ）A A、角度和它的余弦值、角度和它的余弦值 B B、正方形的边长和面积、正方形的边长和面积C C、成人的身高
5、和视力、成人的身高和视力 D D 、身高和体重、身高和体重练习：练习：D 在现实生活中存在着大量的相关关系，如在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用，变量之间的相关关系带有不确重要的作用，变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过大量的数据，对数据进行定性，这需要通过大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断。统计分析，发现规律，才能作出科学的判断。 对具有相关关系的两个变量进行统计分对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫析的方法叫回归分析回归分析 相关关系是进行回归分析的基础，同时，相
6、关关系是进行回归分析的基础，同时，也是散点图的基础。也是散点图的基础。知识探究（二）：散点图知识探究（二）：散点图 【问题问题】在一次对人体脂肪含量和年龄在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：本数据： 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数人群脂肪含量的样本平均数. .年龄年龄 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄年龄 5353
7、545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6思考思考1 1：对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性可能表现出一定的规律性. .观察上表中的数据，大体上看，观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？年龄年龄 2323272739394
8、141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄年龄 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6思考思考2 2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象之间的关系有一个
9、直观的印象. .以以x x轴表示年龄，轴表示年龄，y y轴表示轴表示脂肪含量，脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？吗？ 在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为个变量的一组数据图形，称为散点图散点图. . 散点图散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系用来判断两个变量是否具有相关关系. .思考思考3 3：观察散点图的大致趋势，人的年龄与人观察散点图的大致趋势，人的年龄与人体脂肪含量具有什么相关关系？体脂肪含量具有什么相关关系？ 在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右在
10、上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为们将它称为正相关正相关. .一般地，如果两个变量成正一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？相关，那么这两个变量的变化趋势如何？ 思考思考4 4：如果两个变量成负相关，从整如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？散点图有什么特点？ 思考思考5 5：你能列举一些生活中的变量成正你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗相关或负相关的实例吗? ? 正相关的特点：正相关的
11、特点：一个变量随另一个变量的变大而一个变量随另一个变量的变大而变大，散点图中的点散布在变大，散点图中的点散布在从左下角到右上角从左下角到右上角的的区域区域负相关的特点：负相关的特点：一个变量随另一个变量的变大一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下左上角到右下角角的区域的区域 如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。作出平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。作出散点图发现，它们散点图发现，它们散散布在从左上角到右下布在从左上角到右下角的区域内角的区域内，称它们称它们成成负相关
12、负相关.例例1 1 以下是某地搜集到的新房屋的销以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：售价格和房屋的面积的数据：房屋面积房屋面积（平方米）（平方米） 616170701151151101108080135135105105销售价格销售价格（万元）（万元） 12.212.215.315.324.824.821.621.618.418.429.229.22222画出数据对应的散点图，并指出销售画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关还是负相关. . 售价随房屋面积的变大而增加，散点图中的点散布售价随房屋面积的变大而增
13、加，散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域在从左下角到右上角的区域. .一、选择题（每题一、选择题（每题5 5分，共分，共1515分）分）1.1.下列关系中为相关关系的有下列关系中为相关关系的有( )( )学生的学习态度和学习成绩之间的关系；学生的学习态度和学习成绩之间的关系；教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；学生的身高与学生的学习成绩之间的关系学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ;某个人的年龄与本人的知识水平之间的关系某个人的年龄与本人的知识水平之间的关系. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)【解析解析】选选A.A.据相
14、关性的定义可知据相关性的定义可知为相关关系，为相关关系，无相无相关关系关关系. .巩固练习巩固练习二、填空题（每题二、填空题（每题5 5分，共分，共1010分）分）3.3.（20102010广东高考）某市居民广东高考）某市居民2005200520092009年家庭平均收入年家庭平均收入x x（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）与年平均支出y y（单位：万元）的统计资料（单位：万元）的统计资料如表所示：如表所示：根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 _，家庭，家庭年平均收入与年平均支出有年平均收入与年平均支出有 _的线性相关关系的线性相关关系.
15、 .（填（填“正相正相关关”、“负相关负相关”）13 13 正相关正相关13正相关正相关三、解答题（三、解答题（6 6题题1212分，分，7 7题题1313分，共分，共2525分）分）4.4.某品牌服装的广告费支出某品牌服装的广告费支出x x（单位：万元）与销售额（单位：万元）与销售额y y（单位：（单位：万元）之间有如下的对应数据：万元）之间有如下的对应数据：试画出散点图，并判断广告费试画出散点图，并判断广告费x x与销售额与销售额y y是否具有线性相关关是否具有线性相关关系系. .【解析解析】根据题中数据画出散点图如下：根据题中数据画出散点图如下：观察散点图，可以发现观察散点图，可以发现5
16、 5个样本点从整体上看大致在一条直线个样本点从整体上看大致在一条直线附近，所以变量附近，所以变量x x、y y之间具有线性相关关系之间具有线性相关关系. .思考：当人的年龄增加时，体内脂肪含量思考：当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？到底是以什么方式增加的呢？0202530354550 5560x年龄年龄510152025303540y脂脂肪肪含含量量4065 这些点大致分这些点大致分布在一条直线附近布在一条直线附近, 像这样如果散点图像这样如果散点图中的点中的点的的分布从整分布从整体上看大致在一条体上看大致在一条直线附近我们就称直线附近我们就称这两个变量之间具这两个变量之
17、间具有有线性相关线性相关关系关系, 这这条直线叫做条直线叫做回归直回归直线线, 这条直线的方程这条直线的方程叫做叫做回归方程回归方程0202530354550 5560x年龄年龄510152025303540y脂脂肪肪含含量量4065 人们经过长期的实践与研究人们经过长期的实践与研究,已经找到了已经找到了计算回归方程计算回归方程的较为科学的方法的较为科学的方法: 0202530354550 5560x年龄年龄510152025303540y脂脂肪肪含含量量4065 人们经过长期的实践与研究人们经过长期的实践与研究,已经找到了已经找到了计算回归方程计算回归方程的较为科学的方法的较为科学的方法:
18、以上公式的推导较复杂，故不作推导，以上公式的推导较复杂，故不作推导，这一方法叫这一方法叫最小二乘法最小二乘法。 回归方程为回归方程为 例例1、有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温摄氏温度度-504712 15 19 23 27 31 36热饮杯数15615013212813011610489 93 76 54二、求线性回归方程二、求线性回归方程1、从散点图中发现气温与热饮从散点图中发现气温与热饮销售杯数
19、之间关系的一般规律；销售杯数之间关系的一般规律；2、求回归方程；、求回归方程；（已知：（已知： ）3、如果某天的气温是、如果某天的气温是2摄氏度，摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。预测这天卖出的热饮杯数。摄氏温摄氏温度度-504712 15 19 23 27 31 36热饮杯数15615013212813011610489 93 76 54xy解：解：1、各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，、各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。卖出去的热饮杯数越少。2、回归方程为：、回归方程
20、为：3、当、当x=2时，时， 因此，某天的因此，某天的气温为气温为2摄氏度时，这天大约可以卖出摄氏度时，这天大约可以卖出143杯杯热饮。热饮。 小结小结1.1.求样本数据的线性回归方程，可按求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：下列步骤进行：第一步，列表计算平均数第一步，列表计算平均数 , 第二步，求和第二步，求和 , 第三步，计算第三步，计算 第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程 例例2：观察两相关变量得如下表：观察两相关变量得如下表：x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程解解1： 列表：列表：i1234567891
21、0-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-1153799141512551512149计算得计算得:练习：练习：实验测得四组（实验测得四组（x,y）的值如下表所示）的值如下表所示：x1234y2345则则y与与x之间的回归直线方程为（之间的回归直线方程为（ ）A总结提升总结提升：基础知识框图表解基础知识框图表解变量间关系变量间关系函数关系函数关系相关关系相关关系 散点图散点图线性线性相关相关线性回归方程线性回归方程课堂检测：课堂检测：1、（、（09.宁夏海南理）对变量宁夏海南理）对变量x,y观测数据观测数据（xi,yi)(i=1,2,.,10),得散点图得散点图1；对变量；对变量u,v
22、有观测数据有观测数据(ui,vi)(i=1,2,.,10),得散点图得散点图2，由这两个散点图可判断（，由这两个散点图可判断（ ）yxovou图1图2A、变量、变量x与与y 正相关，正相关，u与与v正相关；正相关；B、变量、变量x与与y 正相关，正相关，u与与v负相关；负相关；C、变量、变量x与与y 负相关，负相关，u与与v正相关；正相关；D、变量、变量x与与y 负相关，负相关，u与与v负相关；负相关；C2、已知变量、已知变量x与变量与变量y有下列对应数据：有下列对应数据：x1234y0.51.523则则y对对x的回归直线方程为的回归直线方程为1 1对于两个变量之间的关系，有函数关系对于两个变量之间的关系，有函数关系和相关关系两种，其中函数关系是一种确和相关关系两种，其中函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系定性关系，相关关系是一种非确定性关系. .3.3.一般情况下两个变量之间的相关关系一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关，类似于函数的单调成正相关或负相关，类似于函数的单调性性. .2 2散点图能直观反映两个相关变量之散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化趋势，利用计算机作散点间的大致变化趋势，利用计算机作散点图是简单可行的办法图是简单可行的办法. . 课堂小结课堂小结
