《空间曲面及其方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间曲面及其方程（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章第七章 第五节第五节空间曲面及其方程空间曲面及其方程本节主要内容本节主要内容一、空间曲面方程的概念一、空间曲面方程的概念二、几种常见曲面的方程二、几种常见曲面的方程1、球面、球面2、柱面、柱面3、旋转曲面、旋转曲面水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：xyzo.M.M11例例1 xOy坐标面的方程坐标面的方程 : z=0解析几何的两类基本问题解析几何的两类基本问题:(1)已知几何图形已知几何图形,求其方程求其方程;(2)已知方程分析图形的形
2、状及其位置已知方程分析图形的形状及其位置.下面再考察两例曲面方程下面再考察两例曲面方程与与 xOy坐标面平行的平面的坐标面平行的平面的方程方程 : z=c根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解下面再考察两例曲面方程下面再考察两例曲面方程解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为球面的方程球面的方程球面的方程球面的方程上、下半球面的方程分别是：上、下半球面的方程分别是：由上述方程可得球面的一般式方程为：由上述方程可得球面的一般式方程为： x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）反之，由一般式
3、方程（反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到），经过配方又可得到球心在原点的上、下球心在原点的上、下半球面的方程分别是：半球面的方程分别是：解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程柱面：柱面： 平行于定直线平行于定直线, ,并沿曲线并沿曲线
4、C移动的直线移动的直线L形成的轨迹形成的轨迹称为柱面，定曲线称为柱面，定曲线C称为柱面的准线，动直线称为柱面的准线，动直线L称为柱面称为柱面的母线。的母线。 本课程只研究母线平行于坐标轴，准线在坐标本课程只研究母线平行于坐标轴，准线在坐标 面上的柱面。面上的柱面。柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面设设柱面其准线为柱面其准线为xoy面上面上如图如图故故柱面方程柱面方程：例例3 方程方程 表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴双曲柱面双曲柱面 / 轴轴抛物柱面抛物柱面 / 轴轴椭圆柱面椭圆柱面：方程方程 称为母线平行
5、于称为母线平行于z轴的椭圆柱面。轴的椭圆柱面。方程方程 称为母线平行于称为母线平行于z轴的双曲柱面轴的双曲柱面; ;双曲柱面：双曲柱面：方程方程 x2=2py 称为母线平行于称为母线平行于z轴的抛物柱面。轴的抛物柱面。抛物柱面抛物柱面：例4 方程x+y-1=0在空间直角坐标系中表示怎样的曲面？解：方程方程x+y-1=0在空间直角坐标系中代表一个平面，这在空间直角坐标系中代表一个平面，这平面实际上也是一个柱面，是以平面实际上也是一个柱面，是以xoy平面上的直线平面上的直线x+y-1= =0为准线，而母线平行于为准线，而母线平行于oz轴的柱面。轴的柱面。例例5 方程方程 x2= = 4z 表示怎样
6、的柱面？表示怎样的柱面？解解： 方程中仅含方程中仅含x、z，故此柱面的母线平行于故此柱面的母线平行于y轴，它们轴，它们的准线为的准线为xoz平面上的抛物线平面上的抛物线x2=4z, ,这类柱面为抛物这类柱面为抛物柱面。柱面。旋转曲面旋转曲面： 一平面曲线一平面曲线C绕同一平面上的定直线绕同一平面上的定直线L旋转一周所成旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。曲线的曲面称为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，直称为旋转曲面的母线，直线线L称为旋转曲面的轴。称为旋转曲面的轴。旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入得方程得方程方程方程例例6 yoz坐标面上的直线坐标面上的直线 , ,绕绕
7、z轴旋转，轴旋转，试求所得旋转曲面方程。试求所得旋转曲面方程。因为是因为是yoz坐标面上的直线坐标面上的直线 绕绕z轴旋转，轴旋转，故将故将z保持不变，保持不变，y 换成换成 , ,则有则有: :例例6题解：题解：即所求旋转曲面方程:上式表示的曲面称为圆锥面，点上式表示的曲面称为圆锥面，点o称为圆锥的顶点称为圆锥的顶点。解解 圆锥面方程圆锥面方程例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面xyo旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面旋转椭球面旋转椭球面: :由方程 表示由表示由xoz平面上的椭圆平
8、面上的椭圆 绕绕z轴旋转而轴旋转而成的，叫做旋转椭球面成的，叫做旋转椭球面。旋转抛物面旋转抛物面: :它可以看作它可以看作xoy面上的抛面上的抛物线物线x2=2pz绕绕z轴旋转而轴旋转而成的旋转曲面，这曲面成的旋转曲面，这曲面叫做旋转叫做旋转抛物面。抛物面。p=q时时,椭圆抛物面方程：椭圆抛物面方程：变为：变为：曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及方程的求法旋转曲面的概念及方程的求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).小结思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程
