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1、3.1.1方程的根与函数的零点 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3 从上面的表格，你能发现方程的根与函数图象与X轴的交点具有什么样的关系吗？方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。探究探究活动活动 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x
2、叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。函数零点的定义：函数零点的定义：注意：零点指的是一个实数；零点指的是一个实数；方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点等价关系等价关系: :思考：零点是点吗？思考：零点是点吗？求零点的方法(1) 解方程：令f(x)=0,解x。（2）图像法：作y=f(x)的图像，看图像与x轴的交点的横坐标。练习练习求下列函数的零点：（1） （2）（3） 解:（1）1；（2）0；（3）2、0、2 如图所示，用几条连续不断的函数图象连接A、B两点。动一动手动一动手ABLABLOXyOyXOy
3、XabababABLABL 思考：思考：通过对图象的观察，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在着一定的关系呢？ ab有 ，但在区间(a，b)内无零点。是否只要满足 ，就一定存在零点呢？函数零点存在性定理函数零点存在性定理 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连上的图象是连续不断的一条曲线续不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0,则则y=f(x)在区间在区间(a,b)内内是否有零点？是否有零点？想一想想一想OyXab （2）若函数）若函数y=f(x)在区间在区间a,b上连续，且有上连续，且有f(a)f(b)0,则则y=f(x)在区间在区间(a,
4、b)内会只有一个内会只有一个零点吗？零点吗？OXyabABLABLOyXab （3）若函数）若函数y=f(x)在区间在区间a,b上连续，且上连续，且在区间在区间(a,b)内有零点时，一定有内有零点时，一定有f(a)f(b)0吗？吗？OyXab注意：注意：（1）只有同时满足上述两个条件，才能）只有同时满足上述两个条件，才能说明函数说明函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内存在零点。内存在零点。（2）定理不可逆。）定理不可逆。例例1、判断函数、判断函数 是否存在是否存在零点？零点？例例2、求函数、求函数 的零点的的零点的个数？个数？想一想想一想函数函数y=f(x)在什么条件下，在区间在什么条件下
5、，在区间(a,b)内只有一个零点？内只有一个零点？结论结论函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内单调时，函数在内单调时，函数在这个区间内有且只有一个零点。这个区间内有且只有一个零点。2(2)2(2)2(2)2(2)解：解：解：解：作出函数的图象如下：作出函数的图象如下：. . . . . . . . . . . . . 因为因为f(3)30,所以所以f(x)= 2x ln(x2)3在区间在区间(3,4)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x) =2x ln(x2)3是是(2，）上的增函数，）上的增函数，所以在区间所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。上有且只有一个零点。xy013211
6、25-3-242(2) f(x)=2x ln(x2)3 2(3)2(3)2(3)2(3)解：解：解：解：作出函数的图象如下：作出函数的图象如下： . . . . . . . . . . . . . 因为因为f(0)3.630,所以所以f(x)= ex1+4x4在区间在区间(0,1)上有零点。又因上有零点。又因为为f(x) = ex1+4x4是是( ，）上的增函数，所以在）上的增函数，所以在区间区间(0,1)上有且只有一个零上有且只有一个零点。点。2(3) f(x)=ex1+4x4xy01321121234242(4)2(4)2(4)2(4)解：解：解：解：作出函数的图象如下：作出函数的图象如下
7、：x080155y24012043604020432 因为因为f(4)40, f(2)20,f(2)700,所以所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间在区间(4,3 )、 (3，2,)、 (2,3 )上各有上各有一个零点。一个零点。2(4) f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .小结函数零点的定义函数零点的定义求零点的方法求零点的方法求零点的方法求零点的方法函数的零点存在的判定定理函数的零点存在的判定定理布置作业：布置作业：P92 习题习题3.1 第第2题题三维设计三维设计 课时训练十八课时训练十八
