《工程矩阵理论东南周建》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程矩阵理论东南周建（349页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、工工 程程矩阵理论矩阵理论1教教 材材 工程矩阵理论工程矩阵理论，张明淳，东南大学出版社参参 考考 书书1.高等代数高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等教育出版社2.Matrix Analysis, R.A.Horn and C.R.Johnson, Cambridge University Press, 1985(中译本，杨奇译，天津大学出版社）2要要 求求1.重点是基本理论，基本方法；2.结合授课内容，熟悉课本；3.通过例题，掌握相关概念和理论；4.通过练习题，熟悉相关理论、方法；5.及时复习、总结，巩固所学内容。3本课程大致内容本课程大致内容第0章 复习与引深第1章 线
2、性空间与线性变换第2章 内积空间、等距变换第3章 矩阵的相似标准形第4章 Hermite二次型第5章 范数及矩阵函数第6章 矩阵的广义逆4矩阵理论矩阵理论5第第0章章 复习与引深复习与引深1.矩阵运算2.线性方程组3.向量组的极大无关组及秩4.矩阵的秩及等价标准形6矩阵的乘法中应注意的问题矩阵的乘法中应注意的问题1 存在非零零因子 例1 72 不可交换8由此导致的一些问题由此导致的一些问题乘法消去律不成立一些代数恒等式对矩阵不再成立9例310分块矩阵的乘法规则分块矩阵的乘法规则设在一定条件下，也可以写成分块矩阵将这两个矩阵分块：其中，11条件：上式有意义12一些特殊的分块形式一些特殊的分块形式
3、1.13（接上页）14（接上页）15（接上页）16非齐次线性方程组非齐次线性方程组1. 线性方程组2. 3. 17齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系对于齐次线性方程组1. 有非零解当且仅当18Gauss消元法消元法19例520简化阶梯形矩阵21例522例623例624向量组的极大无关组及秩向量组的极大无关组及秩25例例726矩阵的秩矩阵的秩矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数 =A的行（列）向量组的秩有关矩阵的秩的不等式：27例8若A是可逆矩阵，证明r(AB)=r(B).28例9设A是n阶幂等矩阵，证明：29矩阵的等价标准形30（满秩分解）31例11：32线性空间和线性变换线性空间
4、和线性变换第一章第一章 33第一节 线性空间的定义用F表示实数全体（R）或复数全体（C）.34如果满足下述公理，则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为是向量。35例136例1（续）37线性空间的性质38第二节 基、维数和坐标如： 在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。39一些重要结论40一些重要结论（续）41例142定义（基，维数）43注：44例245定理146定义（坐标）：47例448例549注注2.基的几何意义1.线性空间的基是有序的。 50定理251例652例例753形式记号54形式记号55形式记号的性质56例例857定义(过渡
5、矩阵)58过渡矩阵的性质59例960定理3(坐标变换公式)61例1062第三节 子空间, 交与和63定理164两类重要的子空间65命题：66例167例268例369例470定理271子空间的交与和72注：交与并的区别73定理4（维数定理）74例575例676例777直和78定理579例880例981多个子空间的直和82定理68384第四节 线性映射8586定义：87例188例189例290注91线性映射的性质：线性映射的性质：92例393例494线性变换的运算它们都是线性变换。95线性变换的运算的性质：证明：96线性映射（变换）的矩阵：97例98例599定理2100定理3101例6102定理4
6、其实，对线性映射的矩阵有类似的性质。103第五节 线性映射的值域及核子空间104值域的计算105核子空间的计算106定理2（线性变换的维数定理）107注：对无限维空间，推论不成立。（反例）108例1109定义（不变子空间）：110为何要讨论不变子空间？111为何要讨论不变子空间？112例2113线性空间的同构114115116117第二章内积空间、等距变换内积空间、等距变换118第一节 基本概念本章的目的：将内积推广到抽象的线性空间约定：数域F指实数域R或复数域C119例1120内积的性质121度量矩阵122向量的模（长度）123C-B不等式124三角不等式125正交性126标准正交基127标
7、准正交基下的内积128Schmidt正交化方法129例2130例3131酉矩阵132定理1133Schmidt正交化方法的应用正交化方法的应用134注135矩阵的UT分解136例137定理2138第二节 正交补空间139正交补空间140正交补空间的计算141正交补空间的计算142例1143一个几何问题空间中点到直线的距离：144空间中向量到子空间的距离：145146例2147例3148最小二乘解149第三节 等距变换150例1151定理1152关于直线的反射关于直线的反射153欧氏空间中的反射欧氏空间中的反射154镜像变换155156第三章 矩阵的相似标准形矩阵的相似标准形157矩阵与线性变换
8、本章的目的：对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。158第一节 特征值与特征向量159矩阵的相似对角化160线性变换的特征值、特征向量161线性变换的可对角化问题162例1163线性变换的特征值、特征向量的计算164例2165定理1166特征多项式的计算167主子式与子式168主子式与子式169特征多项式的计算170矩阵的迹171例3172化零多项式173第二节 Hamilton-Cayley定理174例1175例2176最小多项式177定理1178例1179例2180例3181第三节 可对角化的条件目的： 对给定的
9、矩阵，判断其是否相似于对角阵； 对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。182已知的判别方法183线性变换的可对角化问题184特征子空间185可对角化的条件186例1187定理1188定理2189例2190定理3191例3192例4193第四节 Jordan标准形问题：如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，如何找一最简单的矩阵与之相似。等价的问题：若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。194Jordan形矩阵195例1196Jordan标准形的存在性、唯一性197唯一性的证明思路198定理1199例2200例32
10、01例4202分块矩阵的最小多项式203Jordan标准形与最小多项式204例5205例6206例7207例8208例9209存在性的证明思路210存在性的证明思路211存在性的证明思路212存在性的证明思路213存在性的证明思路214存在性的证明思路215存在性的证明思路216存在性的证明思路217存在性的证明思路218第五节 特征值的分布219定理1220例1221K-区222例2223定理2224例3225谱半径的估计226例4227例5228 应用229对角占优矩阵230对角占优矩阵231第四章Hermite二次型二次型232第一节 H阵、正规阵Hermite二次型与Hermite矩阵
11、标准形惯性定理（唯一性）正定性233Hermite矩阵、 Hermite二次型234Hermite矩阵、 Hermite二次型235实对称矩阵的性质236H阵的性质237正规阵238上三角的正规阵定理：239定理240推 论241例1242例2243第二节 Hermite二次型244245标准形246标准形配方法（初等变换法）酉变换法：247惯性定理248惯性定理249惯性定理250规范形251共轭合同的充分必要条件252例1253正定性254如何建立判别方法255定理256例2257例3258例4259其它有定性260如何建立判别方法261定理262例5263奇值分解264奇值分解定理的证明
12、265奇值分解定理的证明266奇值分解定理的证明267奇值分解定理的证明268第三节 Rayleigh商269定理1270例271定理2272定理3（Courant极大极小原理）273第五章范数和矩阵函数范数和矩阵函数274本章的目的矩阵函数范数矩阵函数的应用275第一节 范数的概念和例子276内积与范数277Cn中范数的例子278更多的例子279更多的例子280范数与极限281范数的可比较性282第二节 矩阵范数283284范数的相容性285定理1286算子范数287算子范数288定理2289定理3290例1291例2292例3293第三节 收敛定理294矩阵序列的收敛性295幂序列296谱
13、半径与范数297矩阵幂级数298矩阵幂级数299第四节 矩阵函数300几个重要的矩阵函数301利用定义计算302例2303Jordan形矩阵的函数304Jordan形矩阵的函数305Jordan块的函数306Jordan块的函数307Jordan块的函数308例3309利用Jordan标准形计算310例4311定理1312例5313待定系数法314例6315例7316矩阵函数的性质317例8318例9319注320第四节 线性微分方程组321性质322常系数线性微分方程323常系数线性微分方程组324325定理326矩阵的广义逆矩阵的广义逆第六章第六章327本章目的将“逆矩阵”推广到一般情形广义逆矩阵的计算广义逆矩阵的性质应用：不相容线性方程组的求解328第一节 广义逆矩阵的概念1903年，Fredholm，积分算子的广义逆1920年，Moore，矩阵的广义逆1955年，Penrose，证明了唯一性 所以，在下面的矩阵的广义逆的定义中的四个方程也称为Moore- Penrose方程，简称M-P方程。329广义逆矩阵的定义330例1331定理1332例2333例3334例4335例5336例6337例6338例7339第二节 广义逆矩阵的性质340定理1341定理1（续）342例1343例2344定理2345第三节 广义逆矩阵的应用346最小二乘解347定理1348定理2349
