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1、数学模型与数学建模数学模型与数学建模“田忌赛马” 的故事一、展示材料战国时代，齐王与大将田忌赛马。规则如下：双方各出三匹战国时代，齐王与大将田忌赛马。规则如下：双方各出三匹马，一对一共比赛三场，每场的输者要给赢者铜一千斤。齐王的马，一对一共比赛三场，每场的输者要给赢者铜一千斤。齐王的三匹马和田忌的三匹马按实力强弱都可分为上、中、下三等。齐三匹马和田忌的三匹马按实力强弱都可分为上、中、下三等。齐王的上、中、下三匹马分别比田忌的上、中、下三匹马略强一些。王的上、中、下三匹马分别比田忌的上、中、下三匹马略强一些。每次比赛用同等级的马对抗每次比赛用同等级的马对抗3局，田忌就要输局，田忌就要输3局，输掉
2、三千斤铜。局，输掉三千斤铜。 后来，田忌手下的谋士、著名的军事家孙膑给田忌出了一个后来，田忌手下的谋士、著名的军事家孙膑给田忌出了一个主意：让田忌用他的下等马与齐威王的上等马比赛，他的上等马主意：让田忌用他的下等马与齐威王的上等马比赛，他的上等马与齐威王的中等马比赛，用中等马与齐威王的下等马比赛。这样与齐威王的中等马比赛，用中等马与齐威王的下等马比赛。这样虽然第一场田忌必输无疑，但是却可以赢后面两场，从而二胜一虽然第一场田忌必输无疑，但是却可以赢后面两场，从而二胜一负，田忌赢了齐威王铜一千斤。负，田忌赢了齐威王铜一千斤。二、材料初步分析齐威王将自己置于十分不公平的位置上，自恃强大，每次齐威王将
3、自己置于十分不公平的位置上，自恃强大，每次都先出马，才给了田忌可趁之机。公平的竞赛规则应该是这样都先出马，才给了田忌可趁之机。公平的竞赛规则应该是这样的：每个人都可以按照自己的意愿决定出马顺序，且每场比赛的：每个人都可以按照自己的意愿决定出马顺序，且每场比赛出马的决策应该是同时做出的。倘若这样比赛的话结果会是如出马的决策应该是同时做出的。倘若这样比赛的话结果会是如何呢？我们用学过的概率论的知识来分析一下这个问题何呢？我们用学过的概率论的知识来分析一下这个问题。 三、问题探究问题一问题一：若只进行一场比赛，也就是齐威王和田忌都只从自：若只进行一场比赛，也就是齐威王和田忌都只从自己的三匹马中随机选
4、择一匹进行比赛。那么齐威王获胜的机己的三匹马中随机选择一匹进行比赛。那么齐威王获胜的机会怎样？会怎样？当然，倘若齐威王一直只出上等马，那么田忌永远都当然，倘若齐威王一直只出上等马，那么田忌永远都没有机会。所以这里没有机会。所以这里“随机随机”很重要。为了研究方便，很重要。为了研究方便，我们必须先给出几个设定我们必须先给出几个设定 ：设定设定1：齐王和田忌选择哪一匹马是随机的，事先谁也不知：齐王和田忌选择哪一匹马是随机的，事先谁也不知道到底会出哪匹马；道到底会出哪匹马；设定设定2：上、中、下三种马分别用字母：上、中、下三种马分别用字母a、b、c表示；表示；设定设定3：齐王每场赢得齐王每场赢得1分
5、，输得分，输得0分。分。根据两人出马的各种情形我们可以列出下表：根据两人出马的各种情形我们可以列出下表：（表中数据是齐威王的得分）（表中数据是齐威王的得分）齐威王出的马齐威王出的马abc田田忌忌出出的的马马a100b110c111 上述上述33=9种情况是等可能的，每种情况出现的概率都是种情况是等可能的，每种情况出现的概率都是1/9.故齐威王获胜的概率为故齐威王获胜的概率为6/9=2/3.列出齐王的得分列出齐王的得分的分布列：01P1/32/3齐威王得分的数学期望：齐威王得分的数学期望：倘若这样的比赛进行倘若这样的比赛进行300场，齐威王大概可以获得场，齐威王大概可以获得200分。分。问题二问
6、题二：倘若进行三场上述的比赛，每场比赛也都是随机：倘若进行三场上述的比赛，每场比赛也都是随机选择马匹，但是采用三局两胜制，则这时齐威王获胜的概率选择马匹，但是采用三局两胜制，则这时齐威王获胜的概率有多大？有多大？由于三场比赛之间相互独立，每场比赛依上一研究结果可由于三场比赛之间相互独立，每场比赛依上一研究结果可知齐威王的获胜概率为知齐威王的获胜概率为2/3 .故三场比赛下来齐威王获胜的场数故三场比赛下来齐威王获胜的场数 服从二项分布服从二项分布，所以齐威王获胜的概率为所以齐威王获胜的概率为问题三：问题三：还是进行三场比赛，还是三局两胜。但是要求这三场还是进行三场比赛，还是三局两胜。但是要求这三
7、场比赛要分别出不同的马。也就是上、中、下三匹马都要而且只能出比赛要分别出不同的马。也就是上、中、下三匹马都要而且只能出场一场。这样的话，齐威王获胜的概率有多大？若这样的比赛进行场一场。这样的话，齐威王获胜的概率有多大？若这样的比赛进行多次，齐威王平均每次能胜多少场？多次，齐威王平均每次能胜多少场？ 在这个问题中，齐威王共有在这个问题中，齐威王共有 种选择种选择（即只能选择出马顺序，有（即只能选择出马顺序，有 六种选择），六种选择）， 田忌相应的也有田忌相应的也有6种选择。种选择。总共总共36种选择种选择并且这并且这36种情形的出现是等可能的，每种情形出现的概率都是种情形的出现是等可能的，每种情
8、形出现的概率都是1/36用表格列出如下（表中数据依然表示齐威王的得分）：用表格列出如下（表中数据依然表示齐威王的得分）：齐威王的出马顺序齐威王的出马顺序abcacbbacbcacabcba田田忌忌的的出出马马顺顺序序abc322122acb231222bac223221bca222312cab122232cba212223由上表可知，齐威王在这三场比赛中得三分即三场全胜的概率为由上表可知，齐威王在这三场比赛中得三分即三场全胜的概率为得2分的概率为得一分的概率为得0分的概率为0。所以齐威王在这三场比赛中的得分的分布列为所以齐威王在这三场比赛中的得分的分布列为 012301/62/31/6依上表依
9、上表, ,得到齐威王获胜的概率为得到齐威王获胜的概率为 问题四：问题四：若齐威王只出一种顺序，若齐威王只出一种顺序，而田忌对此一无所知，依然是而田忌对此一无所知，依然是6种顺序均等可能，那么齐威种顺序均等可能，那么齐威王获胜情况会不会产生变化？王获胜情况会不会产生变化？不妨认为就是不妨认为就是从上面的表格中第一列的数据来看，齐威王得三分的概率依然是得两分的概率依然是得两分的概率依然是得一分的概率依然是得一分的概率依然是三场下来的得分的数学期望还是而且不论从哪一列来看都是如此。而且不论从哪一列来看都是如此。 即：倘若齐威王只出一种顺序，但是田忌却对此一无所知，即：倘若齐威王只出一种顺序，但是田忌
10、却对此一无所知，那么齐威王获胜的概率和得分的数学期望都与齐威王随机选那么齐威王获胜的概率和得分的数学期望都与齐威王随机选择时是一样的。择时是一样的。 问题在于，田忌恐怕没这么笨，齐威王也不会冒问题在于，田忌恐怕没这么笨，齐威王也不会冒险做出这样的决定。于是便有了下面的问题五。险做出这样的决定。于是便有了下面的问题五。问题五：问题五：若齐威王偏好出其中一种顺序，比如说若齐威王偏好出其中一种顺序，比如说 假设齐威王出假设齐威王出 的概率为0.5，出其他顺序的概率都是0.1，并且这种偏好被田忌识破，那么情况会发生变化吗？倘若你是田忌并且这种偏好被田忌识破，那么情况会发生变化吗？倘若你是田忌，你该作出
11、怎样的对策？，你该作出怎样的对策？从计算齐威王的获胜概率来看，从计算齐威王的获胜概率来看， 若田忌选择顺序若田忌选择顺序 则齐威王的获胜概率为则齐威王的获胜概率为0.5+0.4=0.9，反倒比以前的反倒比以前的大。当然田忌不会这么笨，当然田忌不会这么笨， 其余其余四种情况也是如此。四种情况也是如此。只有选择只有选择,才能将齐威王的获胜概率降为才能将齐威王的获胜概率降为0.5。 因此从齐威王的获胜概率来看，为了有效降低齐威王的获因此从齐威王的获胜概率来看，为了有效降低齐威王的获胜概率，田忌应该选择顺序胜概率，田忌应该选择顺序。从计算齐威王每次得分的数学期望来看，从计算齐威王每次得分的数学期望来看
12、， 当田忌选择顺序当田忌选择顺序，齐威王每次的平均得分为齐威王每次的平均得分为当田忌选择顺序当田忌选择顺序 其它四种时其它四种时这样还是不能有效降低齐威王的平均得分。这样还是不能有效降低齐威王的平均得分。更好的是选择顺序因为这时齐威王每次的平均得分降为因为这时齐威王每次的平均得分降为 因此，不论从有效降低齐威王的获胜概率还是从有效降低因此，不论从有效降低齐威王的获胜概率还是从有效降低齐威王的平均得分来看，田忌的最佳选择是齐威王的平均得分来看，田忌的最佳选择是 正好与军事家孙膑的选择如出一辙正好与军事家孙膑的选择如出一辙。数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和数学建模（
13、数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. .甲
14、乙两地相距甲乙两地相距750千米，千米，船从甲到乙顺水航行船从甲到乙顺水航行需需30小时，从乙到甲小时，从乙到甲逆水航行需逆水航行需50小时小时,问船速、水速各若干问船速、水速各若干?x =20y =5解得解得“实际问题实际问题”目的：为预测到达时间提供依据目的：为预测到达时间提供依据“假设假设”“建模建模”“求解求解”“应用应用”航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀
15、速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。1.3 数学建模示例数学建模示例问题：问题：1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为
16、数学上的连续曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCODC B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个
17、距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函连续函数数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位
18、置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考评注和思考
19、建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本质假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f( ), g( )的确的确定定1. 巧分蛋糕：巧分蛋糕：试回答能否将一个不规则的蛋糕平均分试回答能否将一个不规则的蛋糕平均分成两部分？成两部分？思考练习题思考练习题2. 上山问题：上山问题：某甲早某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条时沿同一条路径下山，下午路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什
20、么？的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？所谓最爱,只有一个人.天涯海角,就只有这么一个人.你可以重复着后悔,却不可以重复着最爱有句话说:每个人一生当中都会有一次伤筋动骨的爱情,伤过这次之后,才知道什么叫爱.爱无法给它任何定义我问过很多人,也在问自己爱是什么呢?有人说爱就象两颗流星刹那间的交错瞬间却是永恒,也有人说爱和世间所有的事情一样,只是一个过程而不是一个结果.有结果的爱是完美的,没结果的爱同样是完美的,因为那个过程我们同样拥有过.曾经我们的心中都向往着一个海枯石烂的爱情,可在现实里那只是个不着边际的传说,快回到现实来吧!可什么才是现实如果可以谁不原让一切重来不再让那些匆匆的脚步,匆匆的
21、走过我门的人生.不再让别离与邂逅写满我们的期待与无奈.如果可以不要让爱的花朵在水晶瓶里枯萎不要让黑暗将明媚的春天黯然.如果可以不再让黑与白显得单调无奈不再让抉择的灵魂在忐忑间辗转徘徊如果可以不会让感情在任性中泛滥成灾不再用随意的转身将美丽怠慢如果可以不在让等待换成沉默的悲哀不要让守望在无声的叹息里走象溃烂如果可以不要在为遥远的距离莫名的伤感不要用一贯的悲喜左右着脆弱的情怀。如果只是如果,我门谁都回不到过去,谁都无法重新来过！虽然我们无法更改过,但我们可以掌握未来！从现在起！历经沧桑的我门不要在做漂浮的花瓣！不要用艳红的麻痹去撰写茫然的灰暗！不要在蹉跎我们已经流失的青春岁月！爱过痛过拥有过失去过
22、！能忘记的就去,忘记,忘不了就记着吧！爱一个人很难,想要不爱更难,不是吗?因为只有自己最清楚最爱的人是珍藏在心底的!我门不是不爱了,只是换一种方式而已!善待自己,叫自己开心一些快乐一些!这样我门会幸福,我们幸福了,最爱的人同样也幸福!即使容颜不在,请用我门纯洁的心灵将灿烂崇拜！让世界拥有它的脚步，让我保有我的茧。当溃烂已极的心灵再不想作一丝一毫的思索时，就让我静静的回到我的茧内，以回忆为睡榻，以悲哀为覆被。这是我唯一的美丽。曾经，每一度春光惊讶着我赤热的心肠。怎么回事呀？它们开得多美!我没有忘记自己睁在花前的喜悦。大自然一花一草生长的韵律，教给我再生的秘密。像花朵对于季节的忠实，我听到杜鹃颤微
23、微的倾诉。每一度春天之后，我更忠实于我所深爱的。如今，仿佛春已缺席。突然想起，只是一阵冷寒在心里，三月春风似剪刀啊！有时，把自己交给街道，交给电影院的椅子。那一晚，莫名其妙地去电影院，随便坐着，有人来赶，换了一张椅子，又有人来要，最后，乖乖掏票看个仔细，摸黑去最角落的座位，才是自己的。被注定了的，永远便是注定。突然了悟，一切要强都是徒然，自己的空间早已安排好了，一出生，便是千方百计往那个空间推去，不管愿不愿意，乖乖随着安排，回到那个空间，告别缤纷的世界，告别我所深爱的，回到那个一度逃脱，以为再也不会回去的角落。当铁栅的声音落下，我晓得，我再也出不去了。我含笑躺下，摊开偷回来的记忆，一一捡点。也
24、许，是知道自己的时间不多，也许，很宿命地直觉到终要被遣回，当我进入那缤纷的世界，便急着把人生的滋味一一尝遍。很认真，也很死心塌地。一衣一衫，都还有笑声，还有芳馨。我要仔细收藏的，毕竟得来不易。在最贴心的衣袋里，有我最珍惜的名字，我仍要每天唤几次，感觉那一丝温暖。它们全曾真心真意待着我。如今在这方黑暗的角落，怀抱着它们入睡，已是我唯一能做的报答。够了，我含笑地躺下，这些已够我做一个美丽的茧。每天，总有一些声音在拉扯我，拉我离开心狱，再去找一个新的世界，一切重新再来。她们比我还珍惜我，她们千方百计要找那把锁解我的手铐脚镣，那把锁早已被我遗失。我甘愿自裁，也甘愿遗失。对一个疲惫的人，所有的光明正大的
25、话就像一个个彩色的泡沫。对一个意志薄弱的生命，又怎能命它去铸坚强的字句？如果死亡是唯一能做的，那么就任它的性子吧！这是慷慨。强迫一只蛹去破茧，让它落在蜘蛛的网里，是否就是仁慈？所有的鸟儿都以为，把鱼举在空中是一种善举。有时很傻地暗示自己，去走同样的路，买一模一样的花，听熟悉的声音，遥望那扇窗，想象小小的灯还亮着，一衣一衫装扮自己，以为这样，便可以回到那已逝去的世界，至少现在，闭上眼睛，感觉自己真的在缤纷之中。如果，有醒不了的梦，我一定去做；如果，有走不完的路，我一定去走；如果，有变不了的爱，我一定去求；如果，如果什么都没有，那就让我回到宿命的泥土！这三十年的美好，都是善意的谎言，我带着最美丽的
26、那部分，一起化作春泥。可是，连死也不是卑微的人所能大胆妄求的。时间像一个无聊的守狱者，不停地对我玩着黑白牌理。空间像一座大石磨，慢慢地磨，非得把人身上的血脂榨压竭尽，连最后一滴血水也不剩下时，才肯利落的扔掉。世界能亘古地拥有不乱的步伐，自然有一套残忍的守则和过滤的方式。生活是一个刽子手，刀刃上没有明天。面对临暮的黄昏，想着过去。一张张可爱的脸孔，一朵朵的笑声.一分一秒的年华.一些黎明，一些黑夜.一次无限温柔生的奥妙，一次无限狠毒死的要挟。被深爱过，也深爱过。认真地哭过，也认真地求生，认真地在爱。如今呢？.人世一遭，不是要学认真地恨，而是要来领受我所该得的一份爱。在我活的第三十三个年头，我领受了这份赠礼，我多么兴奋地去解开漂亮的结，祈祷是美丽与高贵的礼物。当一对碰碎了的晶莹琉璃在我颤抖的手中，我能怎样，认真地流泪，然后呢？然后怎样？回到黑暗的空间，然后又怎样？认真地满足。当铁栅的声音落下，我知道，我再也无法出去。趁生命最后的余光，再仔仔细细检视一点一滴，把鲜明生动的日子装进，把熟悉的面孔，熟悉的一言一语装进，把生活的扉页，撕下那页最重最钟爱的，也一并装入，自己要一遍又一遍地再读。把自己也最后装入，甘心在二十岁，收拾一切灿烂的结束。把微笑还给昨天，把孤单留给自己。
