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1、第第7课时立体几何中的向量方法课时立体几何中的向量方法2014高考导航高考导航考纲展示考纲展示备考指南备考指南1.理解直线的方向向量与平面的法向量理解直线的方向向量与平面的法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系平面与平面的垂直、平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理的一些定理(包括三垂线定理包括三垂线定理)4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法平面与平面的夹角的计算问题，了
2、解向量方法在研究立体几何问题中的应用在研究立体几何问题中的应用.从高考内容上来看从高考内容上来看,利用向利用向量法求空间角的大小是命量法求空间角的大小是命题的热点，题型多为解答题的热点，题型多为解答题，难度中档题，难度中档.着重考查学着重考查学生建立空间坐标系及空间生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力向量坐标运算的能力.本节目录本节目录教教材材回回顾顾夯夯实实双双基基考考点点探探究究讲讲练练互互动动名名师师讲讲坛坛精精彩彩呈呈现现知知能能演演练练轻轻松松闯闯关关教材回顾夯实双基教材回顾夯实双基基础梳理基础梳理非零非零思考探究思考探究直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？直线的方向向量和平
3、面的法向量是唯一的吗？提示：提示：不唯一凡是在直线不唯一凡是在直线l上的非零向量或与上的非零向量或与l平行的非平行的非零向量都可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直的非零向量都可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直的非零向量都可以作为平面的法向量零向量都可以作为平面的法向量cosn1，n2或或cosn1，n2课前热身课前热身1若若平平面面，的的法法向向量量分分别别为为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则，则()A BC，相交但不垂直相交但不垂直 D以上均不正确以上均不正确答案：答案：C2已已知知平平面面内内有有一一点点M(1，1,2)，平平面面的的一一个个法法向向量量为为n(6，3,6)
4、，则下列点，则下列点P中，在平面中，在平面内的是内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)3若若直直线线l的的方方向向向向量量与与平平面面的的法法向向量量的的夹夹角角等等于于120，则则直线直线l与平面与平面所成的角等于所成的角等于()A120 B60C30 D60或或30解解析析：选选C.由由题题意意得得直直线线l与与平平面面的的法法向向量量所所在在直直线线的的夹夹角角为为60，直线直线l与平面与平面所成的角为所成的角为906030.4从从空空间间一一点点P向向二二面面角角l的的两两个个面面，分分别别作作垂垂线线PE，PF，垂垂足足分分别别为为E,
5、F,若若二二面面角角l的的大大小小为为60，则则EPF的大小为的大小为_解解析析：EPF实实质质就就是是二二面面角角的的两两个个面面的的法法向向量量的的夹夹角角，它它与二面角的平面角相等或互补与二面角的平面角相等或互补答案：答案：60或或120考点探究讲练互动考点探究讲练互动例例1考点突破考点突破考点突破考点突破【答案答案】90例例2【方方法法感感悟悟】(1)利利用用向向量量法法证证明明空空间间的的平平行行或或垂垂直直问问题题，建建系系是是关关键键的的一一步步，通通常常借借助助于于几几何何图图形形中中的的垂垂直直关关系系选选择择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上坐标原点和坐标轴，并
6、让尽可能多的顶点在坐标轴上(2)用用向向量量法法证证线线面面平平行行时时，还还可可以以使使用用证证明明直直线线的的一一个个方方向向向向量量与与平平面面内内的的某某一一向向量量是是共共线线(平平行行)向向量量，也也可可以以证证明明直直线线的的方方向向向向量量与与平平面面的的某某个个法法向向量量垂垂直直，在在具具体体问问题题中中可可选选择择较简单的解法较简单的解法例例3例例4【题后感悟题后感悟】求二面角最常用的方法：求二面角最常用的方法：(1)分分别别求求出出二二面面角角的的两两个个面面所所在在平平面面的的法法向向量量，然然后后通通过过两两个个平平面面的的法法向向量量的的夹夹角角得得到到二二面面角
7、角的的大大小小，但但要要注注意意结结合合实实际图形判断所求角是锐角还是钝角际图形判断所求角是锐角还是钝角(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小跟踪训练跟踪训练4(2012高高考考广广东东卷卷)如如图图所所示示，在在四四棱棱锥锥PABCD中中，底底面面ABCD为为矩矩形形，PA平平面面ABCD，点点E在在线线段段PC上上，PC平平面面BDE.(1)证明：证明：BD平面平面PAC；(2)若若PA1，AD2，求二面角，求二面角BPCA
8、的正切值的正切值考点考点5求空间距离求空间距离 在在棱棱长长为为1的的正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，点点E为为BB1的的中点，则点中点，则点C1到平面到平面A1ED的距离是的距离是_例例5【答案答案】1方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟1用用向向量量知知识识证证明明立立体体几几何何问问题题的的基基本本思思路路：一一种种是是用用向向量量表表示示几几何何量量，利利用用向向量量的的运运算算进进行行判判断断；另另一一种种是是用用向向量量的的坐坐标标表表示示几几何何量量，共共分分三三步步：(1)建建立立立立体体图图形形与与空空间间向向量量的的联联系系，用用空空间间向向量量(或或坐坐标标)表表示
9、示问问题题中中所所涉涉及及的的点点、线线、面面，把把立立体体几几何何问问题题转转化化为为向向量量问问题题；(2)通通过过向向量量运运算算，研研究究点点、线线、面面之之间间的的位位置置关关系系；(3)根根据运算结果的几何意义来解释相关问题据运算结果的几何意义来解释相关问题2若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算.(1)求两异面直线求两异面直线a，b的夹角的夹角须求出它们的方向向量须求出它们的方向向量a，b的夹角，则的夹角，则cos |cosa，b|.(2)求直线求直线l与平面与平面所成的角所成的角可可先先求求出出平平面面的的法法向向量
10、量n与与直直线线l的的方方向向向向量量a的的夹夹角角，则则sin |cosn，a|.(3)求二面角求二面角l的大小的大小可可先先求求出出两两个个平平面面的的法法向向量量n1，n2所所成成的的角角，则则n1，n2或或n1，n2名师讲坛精彩呈现名师讲坛精彩呈现例例规范解答规范解答 用空间向量求空间角用空间向量求空间角1234抓关键促规范抓关键促规范 合理建系，正确写出坐标是解答此题的前提合理建系，正确写出坐标是解答此题的前提 正确求出法向量是重要的得分点正确求出法向量是重要的得分点 利用公式求出两法向量夹角的余弦值是求二面角利用公式求出两法向量夹角的余弦值是求二面角大小的关键大小的关键 易忽略易忽
11、略h的范围的范围1234【方方法法提提炼炼】利利用用向向量量法法求求两两异异面面直直线线a，b的的夹夹角角，须须求求出出它它们们的的方方向向向向量量a，b的的夹夹角角，则则cos |cosa，b|；求求二二面面角角l的的大大小小，可可先先求求出出两两个个平平面面的的法法向向量量n1，n2所所成成的的角角，则则n1，n2或或n1，n2本本题题易易错错点点是是：(1)建建系系时时不不能能明明确确指指出出坐坐标标原原点点和和坐坐标标轴轴，致致使使建建系系不不规规范范；(2)易易将将所所求求空空间间角角误误认认为为是是向向量量的的夹夹角角，故故要要注注意意角角的的概概念念和图形特征进行转化和图形特征进行转化
