十年热考题根何在

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1、十年热考十年热考 题根何在题根何在1【考题考题】 （0808，江苏，江苏，1313） 满足条件满足条件 的的 ABC的面积的最大的面积的最大值是值是 十年热考十年热考 题根何在题根何在这道题目，考了十年之久，这道题目，考了十年之久，20082008年又考了：年又考了：【说明说明】 有的解对了，有的解对了，有的解错了；有的一望而答，有的稿有的解错了；有的一望而答，有的稿纸连篇纸连篇综合评价是：有新意，此题出的很好！综合评价是：有新意，此题出的很好！【点评点评】新意很好，就是拿着新意很好，就是拿着“题根题根”推陈出新好推陈出新好2思路思路1 1 向向 三角形面积公式寻根三角形面积公式寻根 【考题考

2、题】满足条件满足条件 的的 ABC的面积的面积的最大值是的最大值是 则：则： ，所以，所以 所以所以所以所以显然当显然当 x2=12，即，即 时，三角形面积有最大值时，三角形面积有最大值 【解答解答】设设 BC =x，则，则 ，作，作CDAB于于D，设，设 DB= y， A B C x Dy【点评点评】 一道一道5 5分的填空题，寻得一个分的填空题，寻得一个“无理函数无理函数”，值吗？，值吗？3 在在ABC 中得中得 , 则当则当 时，时， 的最大值为的最大值为 . A B C x 思路思路2 2 向向正弦面积公式正弦面积公式寻根寻根又又所以所以 , ,【解答解答】 ABC ABC 的面积的面

3、积 ，设设BC=x，得，得 . .【点评点评】 殊途同归，寻得同一个殊途同归，寻得同一个“无理函数无理函数”！巧合吗？！巧合吗？4【解答解答】设设BC = x，得，得 ， 由海伦公式由海伦公式 （其中（其中 ），得），得当当 时，时， 的最在值为的最在值为 .思路思路3 3 向向三边面积公式三边面积公式寻根寻根 A B C x 【分析分析】为何还是寻得同一个为何还是寻得同一个“无理函数无理函数”？因为你设了同一个自变量因为你设了同一个自变量 BC = x ， 故寻得故寻得同一个函数！同一个函数！其结果与三种不同的其结果与三种不同的“思路思路”（中间过程）无关（中间过程）无关！5思路思路4 4：

4、从函数式转向轨迹方程从函数式转向轨迹方程【解答解答】建立如图的坐标系，设建立如图的坐标系，设C(x，y)，A(-1,0)、B（1，0），），由由 得得 .化得化得 ，方程显示：方程显示：C点的轨迹是为以（点的轨迹是为以（3，0） 为圆心，以为圆心，以 为半径的圆为半径的圆. . ABC 高的最大为高的最大为 圆的半径圆的半径 .【点评点评】转向方程，数形结合，运算量减少！转向方程，数形结合，运算量减少！题根何在？莫非就是这个圆？这是个什么圆？题根何在？莫非就是这个圆？这是个什么圆？6 教材寻根教材寻根 找到此圆找到此圆 【考题考题】满足条件满足条件 的的 ABC的面积的面积的最大值是的最大值是

5、 【题根题根】现行现行高中课本（必修）数学第二册（上）例题高中课本（必修）数学第二册（上）例题 ：已知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A（3，0）距离之比）距离之比为为 的点的轨迹，求此曲线的方程的点的轨迹，求此曲线的方程.点点 C 的轨迹方程是的轨迹方程是动点动点 的轨迹方程是的轨迹方程是7 圆兄圆弟圆兄圆弟 出自一家出自一家【追根追根】更换题根中的距离之比和线段长，即得考题轨迹方程更换题根中的距离之比和线段长，即得考题轨迹方程.【考题考题】满足条件满足条件 的的 ABC的面积的的面积的最大值是最大值是 点点 C 的轨迹方程是的轨迹方程是动点动点 的轨迹方程是的轨迹方程

6、是【请问请问】兄弟贵姓？兄弟贵姓？ 【答曰答曰】阿波罗！阿波罗！【题根题根】已知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A（3，0）距离之）距离之比比为为 的点的轨迹，求此曲线的方程的点的轨迹，求此曲线的方程.218有请阿波罗 全族集合【轨迹轨迹】动点动点 P(x、y) 到定点到定点F1(-c，0)、F2(c，0)的距离之比为的距离之比为.（c c，为正数）为正数） 求求 P (x、y) ) 的轨迹方程的轨迹方程 . .【讨论讨论】方程的图形是什么？方程的图形是什么？（1 1）=1=1时，得时，得 x = 0 , = 0 , 即阿波罗直线；即阿波罗直线；（2 2）11时，可以判定

7、方程的轨迹是圆：阿波罗圆时，可以判定方程的轨迹是圆：阿波罗圆. . 【探求探求】依题意，由距离公式得依题意，由距离公式得 化简后化简后9阿波罗轨迹的和谐美【阿波罗圆阿波罗圆】动点动点 P 到两定点到两定点F F 1 1、F F 2 2 距离之比为定值距离之比为定值（c c，为正数）为正数）. . 则动点则动点 P 的轨迹是阿波罗圆（线）的轨迹是阿波罗圆（线）. .【和谐之美和谐之美】 阿波罗圆（线）有四美：阿波罗圆（线）有四美：（3 3）两族曲线的对应美；）两族曲线的对应美；【圆锥曲线圆锥曲线】动点动点 P 到定点到定点F与定直线与定直线 L 的距离之比为定值的距离之比为定值. . 则动点则动

8、点 P 的轨迹是二次曲线线的轨迹是二次曲线线 . .（1 1）直线与圆的统一美；）直线与圆的统一美；（2 2）量变质变的运动美；）量变质变的运动美；（4 4）解几图形的完整美）解几图形的完整美 . .10阿波罗圆 小题小作【大作大作】 5 5分的填空题，搬动无理函数分的填空题，搬动无理函数 ：【考题考题】满足条件满足条件 的的 ABC的面积的面积的最大值是的最大值是 【中作中作】 5 5分的填空题，搬动轨迹方程：分的填空题，搬动轨迹方程：【小作小作】 阿波罗圆的圆心在直线阿波罗圆的圆心在直线 AB 上，上， 拿线段拿线段 AB 的内、外的内、外分点的连线段为直径分点的连线段为直径 . . 因此

9、，阿波罗圆的问题可以从平面退到轴上解决！因此，阿波罗圆的问题可以从平面退到轴上解决！11阿波罗圆的轴上解决【考题考题】满足条件满足条件 的的 ABC的面积的的面积的最大值是最大值是 【简解简解】动点动点C C 到定点到定点A A (- 1(- 1，0)0)和和B B（1 1，0 0）距离之比为）距离之比为 则有则有得得 为内分点，为内分点， 为外分点为外分点 . .圆半径为圆半径为 ，即为三角形高的最大值，即为三角形高的最大值. .ABC 高的最大值是高的最大值是 . .12【考题考题1 1】设设 A( -3，0)，B( 3，0) 为两定点，动点为两定点，动点P到到A点的距点的距离与到离与到B

10、点的距离为定点的距离为定比比1 ：2，则，则P点的轨迹图形所围得的面点的轨迹图形所围得的面积是积是 （ ） . （19991999年全国卷）年全国卷）【考题考题2 2】已知两定点已知两定点 A(-2，0)，B(1，0)，如果动点，如果动点P 满足满足|PA|=2|PB|，则点，则点P的轨迹所包围的面积等于（的轨迹所包围的面积等于（ ）A. B.4 C.8 D.9 （20062006年四川卷）年四川卷）阿波罗圆 考题展览【寻根寻根】定比定比1 ：2未变，但未变，但两定点间的距离由两定点间的距离由3 3变变6.6.【寻根寻根】定比定比1 ：2变成变成2，但，但两定点间的距离变两定点间的距离变. .

11、13【考题考题3 3】设设 A( -c，0)，B( c，0) ( c0)为两定点，动点为两定点，动点P到到A点点的距离与到的距离与到B点的距离的比为定值点的距离的比为定值a (a 0)，求，求P点的轨迹方程点的轨迹方程及图形及图形. （2003年北京卷）年北京卷）阿波罗圆 考题展览【寻根寻根】定比定比与定距已经一般化，图形要讨论与定距已经一般化，图形要讨论.【略解略解】（1 1）当）当 a=1 1时，得时，得 x =0.=0.图形是直线图形是直线. .（2 2）当）当 a1 1时，方程化为时，方程化为轨迹图形是以轨迹图形是以 为圆心，以为圆心，以 为半径的圆为半径的圆. .14阿波罗 伸向圆的

12、切割线【寻根寻根】两定点用两定圆替换，距离两定点用两定圆替换，距离之比用切线长之比替换之比用切线长之比替换. .【点评点评】至此，阿波罗圆与圆幂问题链接至此，阿波罗圆与圆幂问题链接. .【略解略解】轨迹是以（轨迹是以（6 6，0 0）为圆心，以）为圆心，以 为半径的圆为半径的圆. .【考题考题4 4】如图，圆如图，圆O1与圆与圆O2的半径都是的半径都是1，O1O2=4，过动点，过动点P分别作圆分别作圆O1、O2的切线的切线PM、PN（M、N分别为切点），使分别为切点），使得得 . 试建立适当的坐标系，试建立适当的坐标系，求动点求动点P的轨迹方程的轨迹方程.即即15阿波罗圆 伸向角的平分线【考题

13、考题5 5】ABC中中，角角C的平分线交的平分线交 AB于点于点 T，且，且 AT = 2， TB = 1. 若若AB上的高线长为上的高线长为2，求，求 ABC的周长的周长.【寻根寻根】定比定比 2 2 ：1 1，定距为，定距为3.【略解略解】按角分线的性质按角分线的性质 有有C A : C B = = AT ：T B = 2 = 2 ：1 1 点点C 的轨迹是直径为的轨迹是直径为4的圆的圆. 圆的半径圆的半径 2 为三角形的高线为三角形的高线.【点评点评】至此，阿波罗圆与角的平分线（内、外）链接至此，阿波罗圆与角的平分线（内、外）链接. .（再勾股定理求（再勾股定理求C A 、 C B的长度

14、的长度) )ATBCOD216阿波罗圆 伸向定比分点【考题考题6 6】已知定点已知定点 B(3，0)，点，点 A 在圆在圆 x2+y2=1 上运动，上运动，AOB的平分线交的平分线交 AB于点于点 M，则点，则点 M 的轨迹方程是的轨迹方程是 .【点评点评】与定比分点链接，完成了与定比分点链接，完成了阿波罗圆阿波罗圆“身与魂的合一身与魂的合一”. .【略解略解】BM : MA = OB : OA = 3 : 1 设设 M (x,y)，解得，解得A点的坐标：点的坐标： 代入代入 x2 + y2 =1=1 这就是点这就是点 M 的轨迹方程的轨迹方程. .17 阿波罗圆是定比圆 比是根魂比是根魂圆是身圆是身 定比圆族共基因定比圆族共基因 定比量变到质变定比量变到质变 直线直线与与圆圆一家人一家人 圆中圆中定比切割线定比切割线 角中角中定比内外分定比内外分 两边定比退轴上两边定比退轴上 阿波罗阿波罗圆圆会传根会传根ATBC2D134AB定长，定长，CA、CB定比定比,顶顶C的轨迹是阿波罗圆的轨迹是阿波罗圆.作作C的内外角平分线的内外角平分线CT、CD.线段线段TD是阿波罗圆的直径是阿波罗圆的直径.18