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1、第十二章第十二章 压杆稳定压杆稳定 第十二章第十二章第十二章第十二章 压杆稳定压杆稳定压杆稳定压杆稳定121 压杆稳定的概念压杆稳定的概念123 临界应力临界应力欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围122 压杆临界力的欧拉公式压杆临界力的欧拉公式124 超过比例极限的临界应力超过比例极限的临界应力125 压杆稳定的实用计算压杆稳定的实用计算121 121 压杆稳定的概念压杆稳定的概念压杆稳定的概念压杆稳定的概念 受压杆件除了要满足必要的强度条件之外，还必须能维受压杆件除了要满足必要的强度条件之外，还必须能维持原有的平衡状态，这就是稳定性问题，杆件维持原有的平持原有的平衡状态，这就是稳定性问题，
2、杆件维持原有的平衡状态的能力称其为衡状态的能力称其为稳定性稳定性稳定性稳定性。 轴向受压的等截面直杆称为轴向受压的等截面直杆称为理想压杆理想压杆理想压杆理想压杆。干扰力图示为两端铰支的理想压杆。图示为两端铰支的理想压杆。 干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆直线状态的平衡是直线状态的平衡是稳定平衡稳定平衡稳定平衡稳定平衡。干扰力 干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳
3、定平衡不稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡。 干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡随遇平衡随遇平衡随遇平衡。干扰力 压杆于直线状态由稳定平衡过度到不稳定平衡称为压杆于直线状态由稳定平衡过度到不稳定平衡称为失去失去失去失去稳定稳定稳定稳定，或简称，或简称失稳失稳失稳失稳。 压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态时，其轴向压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态时，其轴向压力称为压杆的压力称为压杆的临界力临界力临界力临界力，用，用Pcr表示之。表示之。 压杆工作时决不允许失稳。压
4、杆工作时决不允许失稳。122 压杆临界力的欧拉公式压杆临界力的欧拉公式xyl由平衡方程得：由平衡方程得：（a）挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为（b）将式将式（a）代入式代入式（b）得得（c）令令 ，得微分方程：，得微分方程：l通解为：通解为：由由 x = 0，y = 0；得得B = 0，于是于是由由 x = l，y = 0；得得:若若A = 0，则则 y0，挠曲线为直线，无意义，只能挠曲线为直线，无意义，只能于是得：于是得：由式由式 得：得：此解最小者为压杆的临界力，但此解最小者为压杆的临界力，但n = 0，Pcr= 0，无意义，故无意义，故取取n = 1。即即这就是两端铰支压杆临界力
5、的这就是两端铰支压杆临界力的欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式。 其它支承压杆临界力的欧拉公式与此类似，写成统一形其它支承压杆临界力的欧拉公式与此类似，写成统一形式：式：其中其中 称为杆的称为杆的长度系数长度系数长度系数长度系数。 杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长度系数如下表。度系数如下表。ll两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端自由一端自由一端固定一端固定一端铰支一端铰支两端固定两端固定ll约束情况约束情况长度系数长度系数压杆形状压杆形状l1.3l1.7l2l（a）（b）（c）【例【例12-1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细
6、长压杆，直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界力最大。哪个临界力最大。解：解：（d）杆杆临界力最大。临界力最大。123 临界应力临界应力欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界应力临界应力临界应力临界应力。令令 ，i 为截面对中性轴的为截面对中性轴的惯性半径惯性半径惯性半径惯性半径。引入记号：引入记号： 称为压杆的柔度（或长细比）。称为压杆的柔度（或长细比）。（a）式改写为：式改写为：一、临界应力一、临界应力二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围上式为计算压杆临界应力的欧拉公式。上式为计算压杆临界
7、应力的欧拉公式。 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式中的临界应力不得超过材料的比例极限，即中的临界应力不得超过材料的比例极限，即取取 cr= P时的柔度值为时的柔度值为 P，则有则有因此，欧拉公式的适用范围为因此，欧拉公式的适用范围为式中式中 P是判断是判断欧拉公式是否适用时柔度的界限值，称为欧拉公式是否适用时柔度的界限值，称为判判判判别柔度别柔度别柔度别柔度。 P的压杆称为大的压杆称为大柔度杆，或细长杆。只有柔度杆，或细长杆。只
8、有大大柔度杆柔度杆才能用欧拉公式求解。才能用欧拉公式求解。【例【例12-2】图示压杆的图示压杆的E=70GPa，P=175MPa。此此压杆是压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。1.5mPyz10040【解【解】因因 P，此压杆为大，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：【例【例12-3】图示圆截面压杆，图示圆截面压杆，d=100mm，E=200GPa，P=200MPa。试求可试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。用欧拉公式计算临界力时杆的长度。lPd【解【解】【例【例12-4】图示矩形截面压杆，其约束性质为：在图
9、示矩形截面压杆，其约束性质为：在xoz平面平面内为两端固定；在内为两端固定；在xoy平面内为一端固定，一端自由。已知平面内为一端固定，一端自由。已知材料的材料的E=200GPa，P=200MPa。试求此试求此压杆的临界力。压杆的临界力。1mzy2060Pzxo【解【解】1mzy2060Pzxo 压杆将在压杆将在xoy平面内失稳，欧拉公式适用。平面内失稳，欧拉公式适用。 压杆临界力为压杆临界力为124 124 超过比例极限的临界应力超过比例极限的临界应力超过比例极限的临界应力超过比例极限的临界应力一、超过比例极限后压杆的临界应力一、超过比例极限后压杆的临界应力 当当 P时，可用欧拉公式计算压杆的
10、时，可用欧拉公式计算压杆的临界力和临界应临界力和临界应力，当力，当 P时，压杆的时，压杆的临界力和临界应力的临界力和临界应力的计算计算，目前尚没，目前尚没有严密的理论公式。对于此类压杆，各国多采用经验公式有严密的理论公式。对于此类压杆，各国多采用经验公式计计算压杆的算压杆的临界力和临界应力，这里仅介绍比较简单的直线经临界力和临界应力，这里仅介绍比较简单的直线经验公式。即验公式。即式中式中a，b是与材料性质有关的常数，例如是与材料性质有关的常数，例如A3钢，钢，a=304MPa，b=1.12MPa。 临界应力必须小于屈服极限，即临界应力必须小于屈服极限，即crs，当当cr=s时，压时，压杆发生屈
11、服破坏，属强度问题。杆发生屈服破坏，属强度问题。 若以若以s表示对应于表示对应于cr=s时的柔度，则有时的柔度，则有二、临界应力总图二、临界应力总图 压杆的临界应力与压杆的临界应力与柔度的关系曲线，即柔度的关系曲线，即cr 曲线，称曲线，称为为临界应力总图临界应力总图临界应力总图临界应力总图。临界应力总图临界应力总图临界应力总图临界应力总图125 125 压杆稳定的实用计算压杆稳定的实用计算压杆稳定的实用计算压杆稳定的实用计算 可与建立压杆强度条件类似建立压杆的稳定条件：可与建立压杆强度条件类似建立压杆的稳定条件：式中式中nw为为稳定安全系数稳定安全系数稳定安全系数稳定安全系数。将将 代入上式
12、，得代入上式，得 当给出稳定安全系数时，可用上式进行稳定计算。若给当给出稳定安全系数时，可用上式进行稳定计算。若给出压杆容许应力出压杆容许应力 ，则，则即即或或式中式中 称为称为稳定系数稳定系数稳定系数稳定系数，或，或折减系数折减系数折减系数折减系数。 稳定系数与压杆的材料、柔度有关。各种材料的稳定系稳定系数与压杆的材料、柔度有关。各种材料的稳定系数可查表获得。数可查表获得。【例【例12-5】两端铰支压杆，尺寸如图所示。已知材料的两端铰支压杆，尺寸如图所示。已知材料的E=200GPa，P=200MPa。直线经验公式为直线经验公式为 cr=304-1.12 (MPa)。若取稳定安全系数若取稳定安
13、全系数nw=3，试确定容许压试确定容许压力。力。600P3020zy【解【解】因因P，欧拉公式适用。欧拉公式适用。【例【例12-6】图示为型号图示为型号22a的工字钢压杆，材料的工字钢压杆，材料A3钢。已知钢。已知压力压力P=280kN，容许应力容许应力=160MPa，试校核压杆的稳定性。试校核压杆的稳定性。4.2mPyz【解】【解】由型钢表查得由型钢表查得22a工字钢的工字钢的查表：查表：插分：插分：安全安全【例【例12-7】图示支架，图示支架，AC为圆木杆，直径为圆木杆，直径d=150mm，容许应容许应力力=10MPa。试确定容许荷载试确定容许荷载P。ABCP2m【解【解】查表得：查表得：ABCPAP2m取结点取结点A，受力如图所示。受力如图所示。根据平衡条件，得根据平衡条件，得
