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1、第第九九章章直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体19.6 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算考点考点搜索搜索空间直角坐标系的有关概念，空间向量的空间直角坐标系的有关概念，空间向量的坐标坐标空间向量的坐标运算公式，空间两点间的空间向量的坐标运算公式，空间两点间的距离公式距离公式直线的方向向量，平面的法向量高考直线的方向向量，平面的法向量高考高考高考猜想猜想1. 利用空间向量判断或证明线面平行、垂直利用空间向量判断或证明线面平行、垂直.2. 利用空间向量的坐标运算求空间角和距离利用空间向量的坐标运算求空间角和距离.2 1. 如如果果空空间间的的一一个个基基底底的的三三个个基基向向量量互互
2、相相垂垂直直，且且长长都都为为1，则则这这个个基基底底叫叫做做_，常用，常用i，j，k来表示来表示. 2. 在在空空间间选选定定一一点点O和和一一个个单单位位正正交交基基底底i，j，k，以以O为为原原点点，分分别别以以i、j、k的的方方向向为为正正方方向向建建立立三三条条数数轴轴：x轴轴、y轴轴、z轴轴，它它们们都都叫叫做做_，点点O叫叫做做原原点点，向向量量i、j、k都叫做都叫做_，单位正交基底单位正交基底坐标轴坐标轴坐标向量坐标向量3 通过每两个坐标轴的平面叫做通过每两个坐标轴的平面叫做_ ,分分 别称为别称为xOy平面、平面、yOz平面、平面、zOx平面平面. 3. 在空间直角坐标系中，
3、记右手拇指指在空间直角坐标系中，记右手拇指指向向_的正方向，食指指向的正方向，食指指向_的正的正方向，如果中指能指向方向，如果中指能指向_的正方向，的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系则称这个坐标系为右手直角坐标系. 4. 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中中,对空间任对空间任一向量一向量a,满足满足a=a1i+a2j+a3k的有序实数组的有序实数组(a1,a2,a3)叫做叫做a的坐标的坐标,简记为简记为a=_.坐标平面坐标平面x轴轴y轴轴z轴轴(a1,a2,a3)4 5. 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任中，对空间任一向量一向量a，满足，满足a=xi+yj
4、+zk的有序实数组的有序实数组(x,y,z)叫做点叫做点A的坐标，记作的坐标，记作_,其中其中x,y,z分分别叫做点别叫做点A的的_. 6. 设设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则则a+b=_;a-b= _;a= _(R);ab= _;ab _(R);ab _.111213141516A(x,y,z)横坐标、纵坐标、竖坐标横坐标、纵坐标、竖坐标(a1+b1,a2+b2,a3+b3)a1b1+a2b2+a3b3(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(a1,a2,a3)a1=b1,a2=b2,a3=b3a1b1+a2b2+a3b3=05 7. 设设a=(a1，a2，a3)，b=
5、(b1，b2，b3)，则则cosa，b= _. 8. 设设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则则dAB= = _. 9. 如果表示向量如果表示向量a的有向线段所在直线垂的有向线段所在直线垂直于平面直于平面，即，即a，那么向量，那么向量a叫做平面叫做平面的的 _.171819法向量法向量6 盘点指南盘点指南：单位正交基底；单位正交基底；坐标轴；坐标轴；坐标向量；坐标向量；坐标平面；坐标平面；x轴；轴；y轴；轴；z轴；轴；(a1，a2，a3);A(x，y，z);横坐横坐标、纵坐标、竖坐标；标、纵坐标、竖坐标； (a1+b1，a2+b2，a3+b3); (a1-b1，a2-b2，a3-
6、b3); (a1，a2，a3); a1b1+a2b2+a3b3; a1=b1，a2=b2，a3=b3; a1b1+a2b2+a3b3=0; ;法向量法向量11121314151617187 已知向量已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，且且ka+b与与2a-b互相垂直，则互相垂直，则k的值是的值是( ) A. 1 B. C. D. 解：解：ka+b=k(1，1，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)，2a-b=2(1，1，0)-(-1，0，2)=(3，2，-2).因为两向量垂直，所以因为两向量垂直，所以3(k-1)+2k-22=0，解得解得k=D8 在空间直角坐标系中，已知点在
7、空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，-3，1)，点，点M在在y轴上，且轴上，且M到到A与到与到B的距离相等，则的距离相等，则M的坐标是的坐标是_ 解：解：设设M(0,y,0). 由由12+y2+4=1+(-3-y)2+1,可得可得y=-1, 故故M(0,-1,0).(0,-1,0).9 已知空间三点已知空间三点A(1，1，1)、B(-1，0，4)、C(2，-2，3)，则，则 与与 的夹角的夹角的大小是的大小是 . 解：解： =(-2，-1，3)， =(-1，3，-2)， 所以所以= ， =120.120.10 1. 如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD-A1 B
8、1C1D1中，中，E、F分别是分别是D1D、DB的中点，的中点，G在棱在棱CD上，且上，且CG= CD，H是是C1G的中点的中点.以以D为原点，为原点，DA、DC、DD1所在直线分所在直线分别为别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空轴建立空间直角坐标系，求向量间直角坐标系，求向量 和和 的坐标的坐标.题型题型1 求点和向量的坐标求点和向量的坐标第一课时第一课时11 解：解：由已知可得，由已知可得，E(0，0， )，F ( ， ，0)， C1(0，1，1)，G(0， ，0).因为因为H是是C1G的中点，所以的中点，所以H(0， ， ).故故 点评点评：涉及空间向量的坐标问题，首：涉及空间向量的坐标问
9、题，首先建立空间直角坐标系，即找到从一点出发先建立空间直角坐标系，即找到从一点出发的三条两两互相垂直的直线，以此点为原点，的三条两两互相垂直的直线，以此点为原点，三条直线分别为三条坐标轴；然后根据条件三条直线分别为三条坐标轴；然后根据条件写出关键点的坐标；再求得向量的坐标写出关键点的坐标；再求得向量的坐标. 12 如图所示，如图所示，PD平面平面ABCD，且四边形且四边形ABCD为正方形，为正方形，AB=2，E是是PB的的中点，中点，cos ， = . (1)建立适当的空间直建立适当的空间直角坐标系，写出点角坐标系，写出点E的坐标的坐标; (2)在平面在平面PAD内求一内求一点点F，使，使EF
10、平面平面PCB.13 解：解：(1)以点以点D为原点，以为原点，以DA、DC、DP所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空轴建立空间直角坐标系，则间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0).设设E(1，1，m).所以所以 =(-1，1，m) =(0，0，2m). 所以所以cos ， = 解得解得m=1.所以点所以点E的坐标是的坐标是(1，1，1).14(2)因为因为F平面平面PAD，所以可设，所以可设F(x，0，z)，则则 =(x-1，-1，z-1).因为因为EF平面平面PCB，所以所以 .由由(x-1，-1，z-1)(2，0，0)=0，解得，解得x
11、=1;由由(x-1，-1，z-1)(0，2，-2)=0，解得，解得z=0.所以点所以点F的坐标是的坐标是(1，0，0)，即点即点F是是AD的中点的中点.15 2. 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，M、N、E分别是分别是A1D1、A1B1、C1D1的中点，求的中点，求证：证：BE平面平面AMN. 证明：证明：如图建立空间直如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长角坐标系，设正方体的棱长为为4，则，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4).题型题型2 平行问题的判定与证明平行问题的判定与证明16所以所以 =(2，2，0)， =(-2
12、，0，4)， =(-4，-2，4).设设 =x +y ，则则 解得解得所以所以 =- + ，所以，所以 与与 、 共面共面.所以所以BE平面平面AMN.17 点点评评：利利用用坐坐标标向向量量判判断断平平行行(或或共共面面)问问题题的的思思路路是是：先先利利用用平平面面向向量量基基本本定定理理，即即向向量量a与与两两向向量量b、c共共面面的的充充要要条条件件：a=xb+yc(x，yR).当当向向量量b，c是是坐坐标标形形式式时时，由由待待定定系系数数法法可可得得三三个个方方程程，两两个个未未知知数数，如如果果有有解解，则则说说明明三三向向量量共共线线.再再根根据据向向量量对对应应直直线线的的关
13、关系系得得到平行到平行(或共面或共面).18 如图，已知矩形如图，已知矩形ABCD所在平所在平面外一点面外一点P，PA平面平面ABCD，E、F分别分别是是AB、PC的中点的中点.求证：求证：EF平面平面PAD. 证明：证明：以点以点A为原点，为原点，以以AB、AD、AP所在直线所在直线分别为分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立直角坐标系，设轴建立直角坐标系，设|AB|=2a，|AD|=2b，|AP|=2c.19因为因为 =(0，b，c)， =(0，0，2c)， =(0，2b，0)，所以所以 = ( + )，所以所以 与与 、 共面共面.又因为又因为E平面平面PAD，所以所以EF平面平面PAD.
14、20 3. 如图，直三棱柱如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，A CB =90，AC=1，CB=2，侧棱，侧棱AA1=1，侧面，侧面AA1B1B的两条对角线的交点为的两条对角线的交点为D，B1C1的中点为的中点为M.求证：求证：CD平面平面BDM. 证明：证明：如图建立直角坐标系，如图建立直角坐标系，则则B( ，0，0)，B1( ，1，0)，A1(0，1，1)，D( ， ， )，M( ，1，0).题型题型3 垂直问题的判定与证明垂直问题的判定与证明21所以所以 =( ， ， )， =( ，-1，-1)， =(0， ，- ).于是有于是有 所以所以CDA1B，且，且CDDM.因为因为A1B
15、和和DM为平面为平面BDM内两条相交直线，内两条相交直线，所以所以CD平面平面BDM.22 点评：点评：利用空间向量的坐标运算证利用空间向量的坐标运算证空间两直线垂直问题的一般步骤是：先空间两直线垂直问题的一般步骤是：先建立空间直角坐标系，然后写出建立空间直角坐标系，然后写出(或求出或求出)关键点的坐标，再计算出直线所对应向关键点的坐标，再计算出直线所对应向量的坐标，最后计算其数量积，并判断量的坐标，最后计算其数量积，并判断是否为零是否为零.23 如图所示，已知在矩形如图所示，已知在矩形ABCD中，中，AB=1，BC=a(a0)，PA平面平面ABCD，且，且PA=1. (1)试建立适当的坐标系
16、，试建立适当的坐标系，并写出点并写出点P、B、D的坐标；的坐标； (2)问当实数问当实数a在什么范围在什么范围时，时，BC边上能存在点边上能存在点Q，使得，使得PQQD？24 解：解：(1)以以A为坐标原点，为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为所在直线分别为x、y、z轴建立坐标系，如图轴建立坐标系，如图所示所示. 因为因为PA=AB=1，BC=a， 所以所以P(0，0，1)，B(1，0，0)，D(0，a，0). (2)设点设点Q(1，x，0)， 则则 =(1,x-a,0), =(-1,-x,1). 25 由由 =0，得，得x2-ax+1=0. 显然当该方程有实数解时，显然当该方程有实数解
17、时，BC边上才边上才存在点存在点Q，使得，使得PQQD，故，故=a2-4 0. 因为因为a0，故，故a的取值范围为的取值范围为2,+).26 1. 在在给给定定的的空空间间直直角角坐坐标标系系中中，对对任任一一向向量量a，据据空空间间向向量量基基本本定定理理知知，a的的坐坐标标是唯一存在的是唯一存在的. 2. 在在空空间间直直角角坐坐标标系系O-xyz中中，对对空空间间任任一一点点P，过过点点P作作yOz平平面面的的平平行行平平面面，交交x轴轴于于点点A，则则点点P的的横横坐坐标标 ，且且当当 与与i方方向向相相同同时时，x0;反反之之，x0.同同理理可确定点可确定点P的纵坐标的纵坐标y和竖坐
18、标和竖坐标z.27 3. 在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中，求求点点的的坐坐标标主主要要有有三三种种方方法法：一一是是几几何何法法，即即通通过过点点P到到三三个个坐坐标标平平面面的的距距离离来来确确定定点点P的的坐坐标标；二二是是待待定定系系数数法法，即即首首先先设设出出点点P的的坐坐标标，再再结结合合条条件件建建立立方方程程组组求求待待定定系系数数的的值值，进进而而得得到到点点P的的坐坐标标；三三是是向向量量运运算算法法，即把求点即把求点P的坐标转化为求向量的坐标转化为求向量 的坐标的坐标.28 4. 若点若点P在直线在直线AB上，设上，设 ( -1)，A(x1，y1，z1)，B(x2，
19、y2，z2)， 则利用待定系数法可得点则利用待定系数法可得点P的坐标为的坐标为( ， ， )，这就是空间有向线段定，这就是空间有向线段定比分点公式，可用来求点的坐标比分点公式，可用来求点的坐标.29 5. 在在空空间间图图形形中中，若若有有三三条条两两两两互互相相垂垂直直的的直直线线，或或有有一一条条直直线线垂垂直直于于一一个个平平面面，则则可可考考虑虑利利用用空空间间向向量量的的坐坐标标运运算算来来解解题题，因因为为这这种种背背景景图图形形便便于于建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系.判判断断线线线线平平行行或或诸诸点点共共线线，转转化化为为证证ab (b0) a=b；证证明明线线线线垂垂直直，转转化化为为证证abab=0.若若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)， 则则 转转 化化 为为 计计 算算a1b1+a2b2+a3b3=0.30
