三角函数的性质

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1、第第26讲讲三角函数的性质三角函数的性质1特级教师 王新敞 源头学子 1.了了解解三三角角函函数数的的定定义义域域、值值域域、周期性、奇偶性、对称性等周期性、奇偶性、对称性等.2.理理解解正正弦弦函函数数、余余弦弦函函数数在在区区间间0,2上上的的性性质质（如如单单调调性性、最最大大值值和和最最小小值值以以及及与与x轴轴的的交交点点等等），理理解解正切函数在正切函数在(- , ）内的单调性）内的单调性.2特级教师 王新敞 源头学子 A. , B.2k+ ,2k+ (kZ)C.(2k+ ,2k+ )(kZ)D.k+ ,k+ (kZ)1.函数函数y= 的定义域为的定义域为( )B3特级教师 王新敞

2、 源头学子 要使函数有意义，要使函数有意义，得得2sinx-10,即即sinx ,由图象可知，由图象可知，2k+ x2k+ (kZ).4特级教师 王新敞 源头学子 2.函数函数y=cos2x+sinx在在- , 上上的最小值为的最小值为( )AA. B.- C.-1 D. y=1-sin2x+sinx=-(sin2x-sinx)+1 =-(sinx- )2+ ,因为因为x- , ,所以所以sinx- , 所以所以ymin=f(- )=-(- - )2+ = .5特级教师 王新敞 源头学子 3.函数函数f(x)= 的最小的最小正周期为正周期为( )BA.2 B. C. D. f(x) = =

3、(1+sinxcosx)= sin2x+ ,所以所以T= =.6特级教师 王新敞 源头学子 4.函函 数数 y= sin( - )的的 单单 调调 递递 减减 区区 间间 是是 .3k- ,3k+ (kZ) y= sin( - )=- sin( - ),所以所以2k- - 2k+ ,所以所以3k- x3k+ (kZ).7特级教师 王新敞 源头学子 因为因为f(x)是偶函数，所以是偶函数，所以f(-x)=f(x).所以所以sin(-x+)+ cos(-x-)=sin(x+)+ cos(x-)，即即sin(x+)+sin(x-)= cos(x+)- cos(x-).所以所以2sinxcos=-2

4、 sinxsin,对对xR恒成立恒成立,所以所以tan=- ,所以所以=k- (kZ).5.已知已知f(x)=sin(x+)+ cos(x-)为偶函数，为偶函数，则则= .=k- (kZ)8特级教师 王新敞 源头学子 名称名称名称名称定义域定义域定义域定义域值域值域值域值域周期性周期性周期性周期性奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性单调性单调性单调性单调性y y= =sinsinx xR R- -1,11,122奇函数奇函数奇函数奇函数递增区间递增区间递增区间递增区间:2:2kk- ,2- ,2kk+ (+ (k kZ Z) )递减区间递减区间递减区间递减区间:2:2kk+ ,2k+ (+ ,2k+ (k

5、 kZ Z) )y y= =coscosx xR R- -1,11,122偶函数偶函数偶函数偶函数递增区间：递增区间：递增区间：递增区间：2 2kk-,2-,2kk( (k kZ Z) )递减区间递减区间递减区间递减区间: :2 2kk,2,2kk+ + ( (k kZ Z) )y y= =tantanx xx x kk+ + ( (k kZ Z) )R R奇函数奇函数奇函数奇函数递增区间：递增区间：递增区间：递增区间：( (kk- ,- ,kk+ )(+ )(k kZ Z) )1.基本三角函数的性质基本三角函数的性质9特级教师 王新敞 源头学子 2.函数函数y=Asinx+b和和y=Acos

6、x+b的最大值为的最大值为|A|+b，最小值为，最小值为-|A|+b.3.对称性对称性(1)y=sinx的对称中心为的对称中心为(k,0)(kZ);对称轴为对称轴为x=k+ (kZ).(2)y=cosx的对称中心为的对称中心为(k+ ,0)(kZ);对称轴为对称轴为x=k(kZ).(3)y=tanx的对称中心为的对称中心为( ,0)(kZ);无对称轴无对称轴.10特级教师 王新敞 源头学子 题型一题型一 三角函数的对称性、奇偶性三角函数的对称性、奇偶性例例1 设函数设函数f(x)=sin(2x+)(-0).(1)y=f(x)图图象象的的一一条条对对称称轴轴是是直直线线x= ,求求;(2)y=f

7、(x)为偶函数，求为偶函数，求；(3)若若=k（kZ)，试证明，试证明y=f(x)为奇函数为奇函数.11特级教师 王新敞 源头学子 (1)因为因为x= 是函数是函数y=f(x)的一条对的一条对称轴，则当称轴，则当x= 时，时，y取最值，取最值，所以所以sin(2 +)=1,所以所以 +=k+ (kZ).又又-0，所以，所以=- .(2)由由f(x)为偶函数，则当为偶函数，则当x=0时，时，y取最值，取最值，所以所以sin(20+)=1,则则=k+ (kZ).又又-0)的最小正周期为的最小正周期为. (1)求求的值；的值； (2)求函数求函数f(x）在区间）在区间0, 上的取值范上的取值范围围

8、.例例215特级教师 王新敞 源头学子 (1)f(x)= + sin2x= sin2x- cos2x+=sin(2x- )+ .因为函数因为函数f(x)的最小正周期为的最小正周期为,且且0,所以所以 =,解得解得=1.(2)由由(1)得得f(x)=sin(2x- )+ .因为因为0x ，所以，所以- 2x- ,所以所以- sin(2x- )1，因此，因此，0sin(2x- )+ ，即即f(x)的取值范围为的取值范围为0, .16特级教师 王新敞 源头学子 要要求求（或或应应用用）周周期期，常常将将三三角角函函数数统统一一成成y=Asin(x+)+b(或或y=Atan(x+)的的形形式式，再

9、再利利用用公公式式T= (或或 );要要求求函函数数的的值值域域 （ 或或 最最 值值 ） ， 常常 将将 三三 角角 函函 数数 统统 一一 为为y=Asin(x+)+b，根根据据弦弦函函数数的的范范围围求求解解；或或整整理理成成关关于于某某一一三三角角函函数数的的一一元元二二次次，用用配配方方法法，或或用用换换元元法法化化为为可可用用基基本本不不等等式式等等结论的形式结论的形式.17特级教师 王新敞 源头学子 题型三题型三 三角函数的单调性三角函数的单调性例例3 (1)求函数求函数y=3sin( -2x)的单调区间；的单调区间； (1)y=3sin( -2x)=-3sin(2x- )，将，

10、将2x- 看作一整体，则与看作一整体，则与y=sinx的单调性相反的单调性相反.故由故由2k- 2x- 2k+ ,即即k- xk+ (kZ)时函数单调递减时函数单调递减;所以递减区间为所以递减区间为k- ,k+ (kZ)；同理，递增区间为同理，递增区间为 k+ ,k+ (kZ).18特级教师 王新敞 源头学子 A.在在0, ),( ,上递增上递增, 在在, ),( ,2上递减；上递减；B.在在0, ), )上递增上递增, 在在( ,( ,2上递减上递减C.在在( ,，( ,2上递增，上递增， 在在0, ), )上递减上递减D.在在, ),( ,2上递增，上递增， 在在0, ),( ,上递减上递

11、减(2)函数函数f(x)= （ ）A19特级教师 王新敞 源头学子 （2）f(x)= = = tanx， - tanx，结合图象易知结合图象易知A正确正确.x2k,2k+ )或或x(2k+ ,2k+(kZ)x2k+,2k+ )或或x(2k+ ,2k+2(kZ)=20特级教师 王新敞 源头学子 求求f(x)=Asin(x+)的的单单调调区区间间时时，首首先先要要看看A，是是否否为为正正；若若为为负负，则则先先应应用用诱诱导导公公式式化化为为正正，然然后后将将x+看看作作一一个个整整体体，比比如如若若A0，0，由由2k- x+2k+ (kZ)解解出出x的的范范围围即即为为增增区间区间.21特级

12、教师 王新敞 源头学子 1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称；首先看定义域是否关于原点对称；(2)在满足在满足(1)后，再看后，再看f(-x)与与f(x)的关的关系系.22特级教师 王新敞 源头学子 2.三角函数的单调性三角函数的单调性(1)函函数数y=Asin(x+)(A0,0)的的单单调调区区间间的的确确定定，其其基基本本思思想想是是把把x+看看作作一一个个整整体体,由由2k- x+2k+ (kZ)解解出出x的的范范围围 ,所所 得得 区区 间间 为为 增增 区区 间间 ;由由 2k+ x+2k+ 解解出出x的的范范围围，所所得得区区间间即即为为减区间减区间.(2)比比较较三三角角函函数数的的大大小小的的一一般般步步骤骤：先先判判断断正正负负；利利用用奇奇偶偶性性或或周周期期性性转转化化为为同同一一单单调调区区间间上上的的两两个个同同名名函函数数;利利用用函函数数的单调性导出结果的单调性导出结果.23特级教师 王新敞 源头学子 课后再做好复习巩固课后再做好复习巩固课后再做好复习巩固课后再做好复习巩固. . 谢谢！谢谢！谢谢！谢谢！再见！再见！24特级教师 王新敞 源头学子