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1、221 1二重积分二重积分回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在a, b可积. 则如图0xyabxixi+1 iy = f (x)f ( i)其中 ixi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小区间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形的面积.设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积高.0yzxz = f (x,y)D如图 一、例一、例1. 1.求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积
2、求曲顶柱体的体积V.V.(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.如图z = f (x,y)0yzxz = f (x,y)DDiDi(ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体. ( i , i) Di .小平顶柱体的高 = f ( i , i).若记 i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小曲顶柱体体积 f ( i , i) ( i , i)Diz = f (x,y)(iii)因此, 大曲顶柱体的体积分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得无限
3、细, 则右端近似值会无限接近于精确值V.也就是(iv) 其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.其中 ( i , i) Di , i = Di 的面积.xyDi如图(1)平面薄板的质量 M.当平面薄板的质量是均匀分布时, 有, 平面薄板的质量 = 面密度面积.若平面薄板的质量不是均匀分布的. 这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M?2. 2. 非均匀分布物体的质量非均匀分布物体的质量非均匀分布物体的质量非均匀分布物体的质量用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn ,设一平面薄板, 所占区域为D , 面密度 (x, y) 0 连续. (x, y) D. 求该
4、平面薄板的质量M.(i)如图0xyDDiDi的面积记作 i .0xyDDi由于(x, y) 0 连续, 从而当Di很小时, (x, y) 在Di上的变化不大, 可近似看作(x, y)在Di上是不变的. 从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.(ii)即, ( i , i) Di , 以 ( i , i)作为Di 这一小片薄板的面密度. 从而,第 i 片薄板的质量 mi ( i , i) i(iii)故, 平面薄板的质量(iv) 1.1.定义定义 设z=f (x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数. 将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1, 2, , n),
5、其面积记为 i.(i, i) Di, 作积f (i, i) i, 二、二重积分的概念与性质二、二重积分的概念与性质 若对任意的分法和任意的取法, 当 0时, 和式的极限存在且极限值都为I, 则称f (x,y)在D上可积, 记为f (x,y) R(D), 并称此极限值 I 为f (x,y)在D上的二重积分. 记作即其中“ ”称为二重积分符号, D称为积分区域, f (x,y)称为被积函数, d称为面积元素, x, y称为积分变量. 和式注注1. 定积分二重积分区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i,将一元函数 f (x)在数轴上点 i 处的函数值 f (i)换成二元函数 f (x, y
6、)在平面上点(i, i)处的函数值 f (i, i).可见, 二重积分是定积分的推广. 注注2. 若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)DiD则除边界上区域外, Di的面积i = xi yi, 故也将二重积分写成注注3. 可以证明若f (x, y)在D上连续, 则f (x, y)在D上可积, 若f (x, y)在D上有界, 且在D内只有有限个不连续点, 或只在有限条曲线上不连续, 则f (x, y)可积.2. 2. 二重积分的性质二重积分的性质二重积分的性质二重积分的性质. .设D为有界闭区域, 以下涉及的积分均存在.性质1. 性质2. 性质3. 性质4. 若在D上有f (x, y)
7、 g (x, y), 则特别: (i) 若在D上f (x, y)0, 则(ii)这是因为 | f (x, y)| f (x, y) | f (x, y) |积分后即得.性质5. 若在D上 m f (x, y) M, 则设 f (x, y) C(D), 则(,)D, 使得性质6. 性质7. 3. 3. 二重积分的几何意义设二重积分的几何意义设二重积分的几何意义设二重积分的几何意义设 x, y x, y 在在在在 D D上可积上可积上可积上可积, , 则则则则(i) 当z=f (x, y)0时,(ii) 当z= f (x, y)0时,(iii)= (D1上曲顶柱体体积) (D2上曲顶柱体体积)1.
8、 1. 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算. .由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时, 如图若点x处截面面积为A(x), 则体积xy0axA(x)三、二重积分的计算三、二重积分的计算(1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a, x=b及两条曲线 y = y1(x), y = y2(x)围成. 如图即, D: y1(x) y y2(x),a x b称为x型区域. 特别情形是A、B退缩成一点, E、F退缩成一点.xy0ABEFDy = y1(x)y = y2(x)ab由几何意义知,以D为底的曲顶柱体体积V. 如
9、图.过点x0作平面x= x0,截面是平面x= x0上的, 以z=f (x0, y)为曲边的曲边梯形. 由定积分的几何意义,zx0yy2(x0)y1(x0)Dy=y2(x)y=y1(x)z=f (x, y)z=f (x0, y)x0ab从而,故右端称为先对 y , 再对 x 的二次积分(累次积分).计算原则计算原则: 由里到外.即先将x 看作常数, 以y 为积分变量, 求里层积分.得到的结果是只含x, 不含 y 的函数式, 再求外层积分(以x为积分变量).注注1. 公式虽是在条件 f (x, y) 0下得到的, 但对一般的 f (x, y)都成立, 只须D是x型区域即可.注注2. 习惯上常将右端
10、的二次积分记作即(2)类似, 若D: x1(y) x x2(y), c y d, 称为 y 型区域,则二重积分可化为先对 x, 再对 y 的二次积分. 即xy0dcEFx=x2(y)x=x1(y)D(3)若D既是 x型区域, 又是 y型区域. 比如x0yx0yx0y则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分.等等,当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.此时,(4)若D的形状较复杂, 既不是 x型区域, 也不是 y型区域.xy0D1D2D3D则可用一些平行于 x 轴和平行于 y 轴的直线将其分成若干块, 使每一块或为x型, 或为 y型, 分块积. 如图(5) 设D: y1(
11、x) y y2(x), a x b, 为 x 型区域.其中y2(x)为分段函数. 如图则由于y2(x)是分段函数, 里层积分上限无法确定用哪一个表达式. 故应将D分成D1, D2, 分块积分.xy0D1D2y = 1(x)y = 2(x)ab(6) 不论是先对 x 积分还是先对 y 积分里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式, 而外层积分的上、下限是点的坐标.且上限上限 下限下限.称为从里到外、线从里到外、线线线; 点点点点. 例例1.1.xy0y=xy=x2x为确定累次积分的上、下限.作与y轴同向的射线, 从下至上穿过D.则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.解解: : 先画区域
12、D的图形.法1. 先对y积分.里层积分的下限为x2, 上限为x.由于该射线变化范围是0, 1.因此, 外层积分下限为0, 上限为1. 即xy0y=xy=x211法法2. 先对 x 积分.作与 x 轴同向射线, 从左至右穿过D.y则 x 是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2. 即故里层对 x 积分的下限为y, 上限为而该射线的变化范围是0, 1. 故外层对 y 的积分下限为0, 上限为1.例例2.2. 解解: : 先画D的图形.先对 x 积分. 作与 x 轴同向的射线穿过D. 易知, x 从左方曲线y=x2即右方曲线 y=x+2即 x=2 y. 而 y0, 1. xy0y=x+2y=x2112
13、故所以, 原式 = 问问, 若先对若先对 y 积分积分, 情形怎样情形怎样?xy0y=x+2y=x2112例例3.3. 求解：解：由于是“积不出”的，怎么办？要改换积分次序. 先画积分区域D的图形.由积分表达式知，D： y x 1, 0 y 1画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1. 如图：故 原式 =yx0Dy = x由例2，例3知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。例例4.4. 改换解：解：写出D的表达式，画 D 的图形改为先对x再对y的积分yx0D24例例5.5. 关于分块函数在D上的积分.其中D：
14、0 x 1, 0 y 1解：解：积分区域如图记 f (x, y) = | y x |=yx, 当y x时,xy, 当y x时,且区域D1: y x和D2: y x分处在直线y=x的上，下方.故，原式 =yx011DD2y = xD1注：注：分块函数的积分要分块(区域)来积.另外，带绝对值的函数是分块函数。yx0D211y = xD1D在将二重积分化为二次积分的公式右边的二次积分不是两个定积分之积，计算时必须由里至外，这当然较繁琐. 但在某些情形下，可将右端化为两个定积分之积。例例6.6. 设D：a x b, c y d. f(x, y)=f1(x)f2(y)可积，则yx0dcab比如，只须要求
15、里层积分的被积函数f2(y)和上、下限都与x无关即可。关于利用对称性积分的问题(1) 若D的图形关于x轴对称.(i) 若f (x, y) = f (x, y), 其中点(x, y) 与(x, y) 关于x轴对称，即函数也关于x轴对称.yx0D2D1(ii) 若f (x, y) = f (x, y), (2) 若D的图形关于y轴对称.yx0D2D1(i) 若f ( x, y) = f ( x, y). 其中( x, y)是 (x, y)的关于y轴的对称点.(ii) f ( x, y) = f( x, y)，则(3) 一般，若D关于平面上某直线l对称.yx0D2y = xD1对(x, y)D1，有
16、关于l的对称点(x1, y1)D2. 若f (x, y)= f (x1, y1)，则若f (x, y) = f (x1, y1).例例7.7. (1)易知yx0(x0, y0)(y0, x0)y= xy0x02. 2. 二重积分的换元法二重积分的换元法二重积分的换元法二重积分的换元法考虑若作变量代换x=g(u, v), y=(u, v),应如何计算作了变量代换后的二重积分？定理定理1. 设变换x=g(u, v), y= (u, v)时uov平面上的有界闭区域D*一一对应地变成xoy平面上的有界闭区域D，且满足若f (x, y)可积，则(1) x=g(u, v), y=(u, v)C1(D*)3
17、. 3. 用极坐标变换计算二重积分用极坐标变换计算二重积分用极坐标变换计算二重积分用极坐标变换计算二重积分变换 x = rcos, y = rsin 称为极坐标变换.其中 0 r 0).解：解：D 如图, 由于D关于x轴，y 轴都对称，0xyx2+y2 = a2aD1Dr = a即f (x, y)也关于x轴，y轴对称. 故从而，原式注：注：本题若用直角函标计算，会遇到而这个积分是“积不出”的。例例10. 计算广义积分解：解：这是一个在“概率论”中很重要的积分，用通常方法无法算出.由广义积分定义其中S: 0 y R, 0 x R下用“夹逼定理”求作D1： x2+y2 R2 0xyx2+y2=R2RR令R+，上式两端的极限均为故.
