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1、第第11章章 无穷级数无穷级数常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法幂级数幂级数函数展开成幂级数函数展开成幂级数函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用(Fourier)级数级数为什么要研究无穷级数为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具是进行数值计算的有效工具. .自然科学和工程技术中自然科学和工程技术中, ,无穷级数是数和函数的一种表现形式无穷级数是数和函数的一种表现形式. .因无穷级数中包含有许多非初等函数因无穷级数中包含有许多非初等函数, ,故它在积分运算和微分方程求解时故它在积分运算和微分方程求解时, ,如谐波分析等如谐波分析等.
2、 .分析问题分析问题, ,常用无穷常用无穷以及以及级数来级数来11.1 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质常数项级数的概念常数项级数的概念收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质小结小结一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念定义定义 一般项一般项如如 无穷级数定义式的含义是什么无穷级数定义式的含义是什么?按通常的加法运算一项一项的加下去按通常的加法运算一项一项的加下去,没有穷尽，如何计算？没有穷尽，如何计算？部分和定义部分和定义级数收敛与发散定义级数收敛与发散定义：即即存在存在(不存在不存在)常数项级数收敛常数项级数收敛(发散发散).对收敛级数，对收敛级数，为级数为级数(1)的的余项余
3、项或或余和余和. .显然有显然有当当n充分大时充分大时,级数的敛散性与它部分和数列是否有极限级数的敛散性与它部分和数列是否有极限是等价的是等价的.称差称差误差误差为为例例而而所以所以,的部分和的部分和. 级数级数级数发散级数发散.解解解解(重要重要)例例讨论等比级数讨论等比级数 (几何级数几何级数)的收敛性的收敛性. 发散发散 发散发散级数变为级数变为 收敛收敛 发散发散 综上综上讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.解解例例因为因为为公比的等比级数为公比的等比级数,是以是以因因级数级数收敛收敛.所以所以讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.解解例例因为因为为公比的等比级数为公比的等比级数,是以是以故
4、故级数级数 收敛收敛.发散发散.级数级数的部分和分别为的部分和分别为 则则于是于是证证性质性质1设常数设常数则则有相同的敛散性有相同的敛散性.二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质也不存在极限也不存在极限.所以所以, 有相同的敛散性有相同的敛散性.级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变敛散性不变.结论结论: :性质性质2设有两个级数设有两个级数证证极限的性质极限的性质级数的部分和级数的部分和收敛收敛级数可以逐项相加与逐项相减级数可以逐项相加与逐项相减.结论结论: :例例都收敛都收敛两个级数两个级数发散发散.收敛收敛,发散发散,均发散均发散,敛散性敛
5、散性不确定不确定.注注都都发散发散.但但收敛收敛.例例性质性质3 添加或去掉添加或去掉有限项有限项不影响一个级数不影响一个级数性质性质4设级数设级数收敛收敛,加括号所得加括号所得原级数的和原级数的和.级数的和一般会改变级数的和一般会改变. 新级数新级数仍收敛仍收敛于于则对其各项任意则对其各项任意 的敛散性的敛散性.注注一个级数加括号后所得新级数发散一个级数加括号后所得新级数发散,事实上事实上,的级数就应该收敛了的级数就应该收敛了.设级数收敛设级数收敛, 根据根据性质性质4 收敛收敛 发散发散一个级数加括号后收敛一个级数加括号后收敛,性不定性不定.则原级数发散则原级数发散.加括后加括后原级数敛散
6、原级数敛散注注证证 因为因为则则所以所以定理定理性质性质5 (级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)若级数若级数 收敛收敛, 则则 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件, , 必要条件不充分必要条件不充分. .数发散数发散;如如 调和级数调和级数 可用它求或验证极限为可用它求或验证极限为“0”的极限的极限;级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:但级数是否收敛？但级数是否收敛？常用来判别级常用来判别级注注敛散性敛散性. .例例 讨论调和级数讨论调和级数解解 反设反设解解由于由于发散发散判别级数判别级数的敛散性的敛散性.例例用级数收敛的必要条件用级数收敛的必要条件判别级数发散判别级数发散. . 解
7、解而级数而级数所以级数所以级数发散发散.由由性质性质2知知,由由性质性质1知知,发散发散.因调和级数因调和级数发散发散,为公比的等比级数为公比的等比级数,是以是以收敛收敛.例例判别级数判别级数敛散性敛散性.常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法3. 按基本性质按基本性质则级数收敛则级数收敛由定义由定义,2.则级数发散则级数发散级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件记住等比级数记住等比级数(几何级数几何级数)的收敛性的收敛性1.三、小结三、小结为为收敛级数收敛级数, a为非零常数为非零常数,试判别级数试判别级数的敛散性的敛散性.解解 因为因为收敛收敛, 故故从而从而故故级数级数发散发散.级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:解解
