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1、装箱问题和排序问题本讲主要内容装箱问题（BinPacking）最小完工时间安排（排序问题）（MinimumMakespan Scheduling)Bin Packing装箱问题：给定n个物件，大小为用单位体积的箱子来装这些物件，找一个装箱方案使得所用的箱子数目最少？通俗地说，把分成最少的组数，使得每组数的和不超过1。在工业中有许多应用，譬如在下料问题中，箱子代表标准木料的长度，而表示实际问题中需要裁截成的木料长度。当然，需要的标准料越少越好。一个2倍近似算法证明一个不可逼近性结果NP-难问题按照其可逼近性分类没有常数倍近似比 ：Set-Cover， TSP， Maximum Independe
2、nt Set,有常数倍近似比但不能任意接近1 ： Vertex-Cover，Bin Packing, 近似比可以为1+（任意逼近1）。Knapsack，Scheduling.多项式时间近似方案（PolynomialTimeApproximationScheme,PTAS),渐近多项式时间近似方案一个渐进的PTAS限制装箱问题限制装箱问题定理2的证明算法总结排序问题排序问题（Minimum Makespan Scheduling） 给定n个工件的加工时间以及一个整数m，给工件安排一个在m个相同机器上的加工顺序，使得最后的完工时间（makespan）最小。该问题是排序问题中最简单的问题。在生产调度
3、中有广泛的应用。Graham 的2-近似算法算法描述（ListScheduling）Step1.将工件任意排序；Step2.将工件按照上述顺序分配给机器，将下一个工件安排给当前负荷最轻（剩余加工时间最少）的机器。直到所有工件加工完毕.算法分析上述算法的要点是，让机器不要闲着，只要有机器加工完，就把排在最前面尚待加工的工件让该机器去做。算法分析的要点是：最小makespan取决于最后一个工件的完工时间，在最后一个活开始加工之前，没有机器是空闲的。一个紧的例子Lowest Fit Decreasing（LFD）算法描述（LFD）Step1.将工件按工时从高到低排列；Step2.将工件按照上述顺序分
4、配给机器，将下一个工件安排给当前负荷最轻（剩余加工时间最少）的机器。直到所有工件加工完毕.排序问题的PTAS排序问题与装箱问题有如下紧密联系：排序问题存在最优解t，当且仅当n个大小分别为的物件可以装入m个容量为t的箱子。因此，可将排序问题自转化为装箱问题：令I表示n个物件大小；令表示能装下n个物件的容量为t的箱子的最少数目；则最小排序问题转化为：基本思想排序问题的最优解在LB，2LB内，利用二分搜索，将问题转化为装箱问题这一转化似乎不可行，因为装箱问题仍然是NP-难的但是， 对于物件尺寸型号固定的限制装箱问题，有多项式算法不同物件型号数目固定的装箱问题动态规划动态规划（续）动态规划（续）把排序问题划归为限制装箱问题基本思想：如果我们能容忍在计算最小makespan问题的一点小的误差，则我们可把该问题在多项式时间内划归为限制装箱问题。主要有两种类型的误差：把物件的尺寸做一些调整，使得不同尺寸的数目有界。终止二分搜索，保证多项式时间算法。每种误差都可以做到任意小，但代价是计算时间的增加。但对固定的误差，我们可以得到多项式时间近似算法。箱子容量固定的装箱算法(核心算法）核心算法（续）二分搜索法二分搜索Thanks, End
