系统辨识第二章

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1、系统辨识基础2021/5/231系统辨识系统辨识第一章第一章 模型方法与辨识模型方法与辨识第二章第二章 脉冲响应辨识脉冲响应辨识 第三章第三章 最小二乘辨识最小二乘辨识第四章第四章 极大似然辨识极大似然辨识第五章第五章 时间序列建模与随机时间序列建模与随机逼近辨识逼近辨识第六章第六章 模型阶次的辨识模型阶次的辨识第七章第七章 闭环系统辨识闭环系统辨识2021/5/232第第2章章 脉冲响应辨识脉冲响应辨识 2-1 脉冲响应法脉冲响应法 2-2 相关函数法相关函数法2021/5/233 2-1 脉冲响应法脉冲响应法 一、脉冲响应辨识的基本原理一、脉冲响应辨识的基本原理 利用脉冲响应来辨识系统数学

2、模型的方法，简单实用，且有一定适用范围。设线性定常系统模型为: 由控制原理知：(其中g(t)为脉冲响应)输入输出G(s)传递函数2021/5/234辨识过程： 由x(t),y(t)计算g(t)离散化得脉冲响应序列g(kT)求脉冲传递函数G(z)z反变换得G(s)。输入输出G(s)传递函数 由控制原理知：(其中g(t)为脉冲响应)设线性定常系统模型为:2021/5/235 二、脉冲响应（序列）求法二、脉冲响应（序列）求法 设x(t)为输入， y(t)为输出，T为采样周期，足够小，t0时， 系统静止，则对于线性定常系统，由卷积公式：因T足够小，可用阶梯信号代替原信号，有： x(t)=x(KT),

3、y(t)=y(KT), g(t)=g(KT)K=0,1,2, ； KTt(K+1)T2021/5/236卷积公式可分别表示如下：2021/5/237写为向量矩阵形式，得：有 YXG令若存在，则得脉冲响应向量计算公式2021/5/238脉冲响应向量计算公式其中，X-1为输入数据逆阵，Y为输出数据向量，T为步长，即采样周期，要求足够小。 表明：根据输入、输出数据，在采样周期足够小时，可以算出N个脉冲响应，N为采样数据长度。2021/5/239三、脉冲传递函数G(z)的求取设系统脉冲传递函数式中。由十字相乘得2021/5/2310根据对应项相等，得：（取前2n项） (a)2021/5/2311根据对

4、应项相等，得：（取n+1到2n项）(b)2021/5/2312将上述方程组写为向量矩阵形式，得：Hankel矩阵因，故(b)式可简化为：2021/5/2313若脉冲响应系数阵可逆，有2021/5/2314由(a)式，可得：(a)2021/5/2315故由(2n+1)个脉冲响应值 必可确定脉冲传递函数G(z) 进而求出G(z)的(n+1)个分子系数的n个分母系数 从而求出G(z)的具体形式. 2021/5/2316四、传递函数四、传递函数G(s)的求取的求取由离散系统理论知： 此处 因此由已知G(z)求G(s)步骤如下： 将G(z)除z，再展成部分分式：如有2021/5/2317 查z变换表，求

5、出G(s)的部分分式：2021/5/2318通分得G(s)表达式：(a=0.5)T为已知采样周期2021/5/2319例2-1 已知系统传递函数结构参数n=3,取步长T=0.05(秒），测得2n=6脉冲响应为试用脉冲响应法辨识系统模型G(s)，验证辨识精度。0.1446112.8459725.9305068.5638899.4910777.1570390g(t)0.30.250.20.150.10.050t2021/5/2320解设由求出：2021/5/2321再由求得：b0=0; b1=7.157039; b2=-6.487547; b3=0因而2021/5/2322b0=0; b1=7.1

6、57039; b2=-6.487547; b3=0因而2021/5/2323z变换法得2021/5/2324五、脉冲响应法辨识特点五、脉冲响应法辨识特点 简便易行，计算量小； 仅适用于确定性线性定常系统； 辨识精度取决于步长T（不宜太大）及 脉冲响应g(t)的形状（在2n拍内，充分 反映脉冲响应全过程）。2021/5/23252-2 相关函数法相关函数法 脉冲响应辨识法实际上是一种确定型离线辨识算法。由于在线运行的输入、输出信号往往不能提供具有一定幅度且持续时间足够长的信息，因此脉冲响应法不能用于在线辨识。如若信号中存在随机噪声，其辨识精度较差，此时可考虑相关函数法或最小二乘法。 一、连续系统

7、非递推辨识原理一、连续系统非递推辨识原理 设连续系统结构图如下：x(t)G(s)z(t)y(t)2021/5/2326其中：设： 零均值平稳随机过程，统计独立 输入噪声； 输出观测噪声零均值平稳随机过程， 时，设系统静止。x(t)G(s)z(t)y(t)2021/5/23271、 维纳维纳-霍甫积分方法霍甫积分方法由卷积公式上式左乘 并取期望：2021/5/2328互相关函数 自相关函数统计独立维纳霍甫方程统计独立2021/5/2329若x(t)为零均值白噪声则 ，其中K为脉冲强度， 为狄拉克 函数有上式为由互相关函数及输入白噪声强度求脉冲响应结果。2021/5/2330 若x(t)零均值白噪

8、声，y(t)各态历经，T足够大2021/5/23312、确定脉冲响应非递推相关辨识法缺点、确定脉冲响应非递推相关辨识法缺点 白噪声物理上不可实现；T不可能趋于无穷； 辨识g(t)时间很长，否则不准。 若采用M序列实现的周期性近似白噪声，即伪随机噪声来代替白噪声，可以消除上述不足，但对周期T有一定要求。2021/5/2332二、周期性白噪声二、周期性白噪声设x(t)为周期白噪声，其周期为T周期维纳周期维纳-霍甫方程霍甫方程对周期白噪声x(t)，其自相关函数令 ，有2021/5/2333代入维纳-霍甫方程： ，有因为是线性系统，故可交换积分次序，得： 上式表明：对周期白噪声输入，积分一个周期即可求

9、出互相关函数 。2021/5/2334 2、周期、周期T的选取的选取（维纳-霍甫方程）若令g(t)收敛至零的时间为 ,则当T ,且其中K为周期白噪声x(t)的强度,必有2021/5/2335因而上式表明:以周期白噪声代替白噪声,要求周期T 若令g(t)收敛至零的时间为 ,则当T ,且其中K为周期白噪声x(t)的强度,必有2021/5/2336三、伪随机噪声三、伪随机噪声(M序列序列)1.伪随机二位式序列 伪随机二位式序列是利用数字电路或数字计算机产生的实际白噪声,它是一个周期性序列,仅有两个值,若令信号幅度为a,则只出现a和a两个值. 为采样周期,即脉冲时间间隔; N为序列长度;T为序列周期则

10、 T=N 令2021/5/2337伪随机二位式序列及其自相关函数如下图所示:2021/5/2338 由图可见,伪随机二位式序列的自相关函数十分近似于一个理想的白噪声函数。不同在于伪随机二位式序列的 中有偏置 加大 N（如N100）或附加一个直流补偿信号可减弱偏置或消除。2021/5/2339二位式伪随机序列的性质二位式伪随机序列的性质从试验角度考虑，采用离散白噪声序列：离散白噪声序列 (同零均值、同方差的独立随机变量序列）指均值为零、方差相同、互不相关的随机变量序列。 设 为随机变量序列，应有方差协方差2021/5/2340二位式离散白噪声序列二位式离散白噪声序列 指每个随机变量只有两种状态(

11、如1，-1)的离散白噪声序列。 若干个1（或若干个-1）连在一起， 称为“游程”；一个游程中的1或-1的个数称为“游程长度”。2021/5/2341例如有一个周期长为15的二位式序列：1，1，1，1，-1，-1，-1，1，-1，-1，1，1，-1，1，-1共有8个游程，其中游程长度为1：4个 占1/2游程长度为2：2个 占1/4游程长度为3：1个 占1/8游程长度为4：1个 占1/82021/5/2342二位式离散白噪声序列的概率性质二位式离散白噪声序列的概率性质概率性质 ：在序列中，1与-1出现的次数几乎相等。概率性质 ：在序列中，总游程个数平均为(N+1)/2， N为奇数，表示序列个数(长

12、度)；1与-1 的游程大约各占一半，为(N+1)/4。 详细说：游程中长度为1个数，占总游程的1/2 游程中长度为2个数，占总游程的1/4=1/22 游程中长度为i个数，占总游程的1/2i 概率性质 ：序列的自相关函数2021/5/23433.二位式伪随机序列二位式伪随机序列M序列的产生方法序列的产生方法 离散二位式随机序列式按照确定方式产生的，实际上是一种确定性序列，但这种序列的概率性质与离散二位式白噪声序列的三条概率性质相似，故称为伪随机序列。M序列具有最大周期的二位式伪随机序列。2021/5/2344M序列可由线性反馈移位寄存器产生。设4级移位寄存器如图：时钟移位脉冲X1X2X3X4X0

13、移位寄存器二位式伪随机序列模2门2021/5/2345图中：图中：移位寄存器双稳态触发器和门电路组成。以0和1表示两种状态。当移位脉冲来到，每位内容（0或1）移到下一位。 模2门将二级（如3、4两级）移位寄存器的输出脉冲按如下加法逻辑运算： 并将运算结果反馈至第一位寄存器作为输入，保持寄存器连续工作。2021/5/2346 设各寄存器初态非全零，例如为1111，则一个周期变化规律： 一周期结束后，产生15种不同状态，若以第4个寄存器内容作为伪随机序列，则为：111100010011010，周期15。1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 00 1 0 0 0

14、 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1（初态）2021/5/23471 1 1 1(初态) 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 01 1 1 1共产生6种不同状态，输出序列：111100，周期6。如果各级移位寄存器初态全0，则输出全0。n级移位寄存器产生序列的最大周期 N=2n-1。 如果4级移位器初态仍为1111，但取2、4寄存器内容作模2加，则一个周期变化规律：2021/5/23489和112047117和101023105和9511

15、92、3、4和825584和712775和66363和53153和41542和3731和232模2门信号取自输出级序列最大周期N=2n-1移位寄存器级数nM序列表序列表2021/5/23494、M序列的主要性质序列的主要性质M序列的最大周期N与移位寄存器级数n之间，有N=2n-1 (3)一个M序列，移位相加后仍为M序列。例如在n=4移位寄存器中，模2门位置不变，但初态不是1111，而是右移P=3，0001100001000010100111000110101101011010110111101111（同前）输出序列：1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1

16、 0 0 1 1 0 1 0第13位N=15(2)M序列的一个周期中，有 个逻辑“1”状态，有 个逻辑“0”状态，故逻辑“1”比逻辑“0”个数多1。2021/5/2350只有一个由n个“1”构成的游程和(n-1)个“0”构成的游程；由逻辑“1”构成的游程数与逻辑“0”构成的游程数相等。 相当于原来输出序列右移12位(右移q=12)。 一般有M序列的一个周期中，游程数满足：总游程数为 个，或 个；单码游程数占总游程数1/2；双码游程数占总游程数1/4；余类推。2021/5/23515、M序列的自相关函数和功率谱密度序列的自相关函数和功率谱密度(一个周期一个周期)以n=3为例，其M序列的N=7，为

17、1110010111011001100010101110111若“1”对应输出电压-a，并保持一拍 ，“0”对应输出电压+a，并保持一拍 ，则输出图形：n=3时的M序列T=N+a-a0234576t2021/5/2352自相关函数自相关函数T=N+a-a0234576tn=3时的M序列2021/5/2353=0时0时2021/5/2354 有 次跳跃(本例4次跳跃),当0时,在一周期中的面积,等于从 相应面积 ,去掉 ,再加上 ,于是有0=00时,同理2021/5/2355 (N-1)时，这时 面积与 相比，增加的与去掉的正好相等.故有2021/5/2356功率谱密度功率谱密度 对 求付氏变换

18、,可得M序列的功率谱密度 ,它是离散频谱,业已导出。 式中， 为狄拉克 函数， 为基频 。 对称于纵轴，当对称于纵轴，当 时，时， 谱线图如下：谱线图如下：2021/5/2357当 从 下降了3db，即2021/5/2358当 从 下降了3db，即必须有 代入解出 。故M序列频带宽度频率 为2021/5/2359代入 可见：M序列功率谱密度与 正比，与序列长度N反比，在序列周期 一定条件下，与采样周期成正比。 若被辨识系统工作频带位于 之内，可把M序列近似看成理想周期白噪声。2021/5/2360四、M序列辨识系统脉冲响应的步骤估计被辨识系统的最高工作频率 和调节时间 。选择M序列参数 。 因

19、要求M序列带宽能覆盖被辨识系统的最高工作频率，取或（M序列采样周期）为使脉冲响应g(t)在M序列一周期内近似衰减至零，取（M序列周期）或（M序列长度）2021/5/2361通常，基本电平幅值 ，应根据允许噪信比综合考虑：，则抗扰性强，但造成非线性失真大，影响系统正常运行；，则 幅值小，影响检测，噪信比。用计算机产生M序列；计算互相关函数 ； 在生产现场进行辨识时，已有稳定控制信号 输给系统，产生稳定输出 。当系统处于平稳状态时，接入二电平M序列，试验框图如下：2021/5/2362正常输入线性系统M序列发生器延迟乘法器积分器2021/5/2363 在输入端加M序列 ，则系统输出为 。其中， 为

20、稳态值，不随时间而变。由于 不是严格白噪声，故。为了准确，在计算 时，应减去 部分。其中， 为M序列，其值为 ，令 为正(“1”)时取 ；而 为负(“0”)时取 ，即2021/5/2364 在一个周期内，M序列的状态1比0多一个，即 正比负多一个。又又最后得：2021/5/2365 上式表明：互相关函数 与 仅相差一个常数，形状完全一样。若已获 图形，则沿 轴上移 ，便可求出 。 2021/5/2366由互相关函数 求脉冲响应二电平M序列的 是周期为 的变化函数，与理想二位式白噪声序列的 形状不同，但可把二电平M序列近似看成周期白噪声序列。对M序列的自相关函数进行分解：2021/5/2367其

21、图形及表达式如下：2021/5/23682021/5/2369 周期性三角形脉冲部分虽与理想脉冲函数有区别，但当 很小时，两者接近，可把 近似看成强度为三角形面积的理想脉冲与 迭加，有 在M序列的一个周期内，互相关函数（维纳霍甫方程）2021/5/2370 如果 在M序列的一个周期 内衰减至零，则（常值）则有2021/5/2371 于是，由上一步求出的 曲线，沿纵轴向上平移A，得到 曲线。因 和 已知，故可最终得 曲线。 2021/5/2372五、离散系统的相关函数辨识法五、离散系统的相关函数辨识法离散相关辨识结构离散相关辨识结构 对连续系统进行相关辨识，往往通过离散方式进行，采用如下辨识结构

22、：被辨识系统计算机(M序列)2021/5/2373假设假设: 系统采样周期与M序列步长 一致;输入 ,输入噪声 ,输出观测噪声 都是零均值平稳随机噪声,彼此统计独立。被辨识系统计算机(M序列)2021/5/2374互相关向量函数互相关向量函数被辨识系统方程为：状态方程的解为：通式:2021/5/2375故离散输出：2021/5/2376当 ，且由于被辨识系统的脉冲响应故有：2021/5/2377 M序列的周期 大于 衰减至零的时间，互相关函数(互协方差互协方差)显然，取 时，有设2021/5/2378写成矩阵形式：表示为：2021/5/2379被辨识系统的脉冲响应被辨识系统的脉冲响应 因M序列

23、的幅值为 ，故 ，又因M序列的直流分量为 ，故所以，自相关函数2021/5/2380故有2021/5/2381六、由脉冲响应求传递函数六、由脉冲响应求传递函数连续系统传递函数连续系统传递函数2021/5/2382设系统可用如下 阶差分方程表示：其中， 为 个待定常系数。根据上式，时间依次延迟 ，可写出 个方程：联立求解上述 个方程，可得 。2021/5/2383设线性定常系统 有 个相异根则 可用下列分式表示：对上式求拉氏反变换，得脉冲响应函数2021/5/2384显然， 时刻的脉冲响应：(c)2021/5/2385令式 中 ，并代入式 ：由式 ：代入：由式 ：2021/5/2386整理得：式

24、 可写为如下形式：显然，上式为零条件为：2021/5/2387 特征方程根 求法 令 ，则有解上述 阶方程，得 个解 ；令求得：2021/5/2388 展开式系数 求法由式 ： 由式 ，在 时，有2021/5/2389 求取其中， 以及 为已知值，故求解上述方程组，可得 。2021/5/2390试求 。例2-2 设原系统传递函数为其脉冲响应为：设采样间隔 。 前四个值为 2021/5/2391解： 求差分方程系数求出求系统特征根解得2021/5/2392求 展开式系数求出：写出2021/5/2393离散系统脉冲传递函数离散系统脉冲传递函数方法同2-12021/5/2394七、相关函数辨识法特点七、相关函数辨识法特点适用于平稳运行系统的在线辨识，不需断开系统；M序列谱密度宽，具有低噪声强度，不影响被辨 识系统正常工作；辨识时可避免其他噪声影响；被辨识系统运行不平稳性或特性漂移会影响辨识 精度；(因获取互相关函数需要较长时间)与最小二乘辨识法结合，可进一步辨识系统的参 数模型。2021/5/2395部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！