经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用习题课习题课级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、幂级数和函数的求法二、幂级数和函数的求法 一、求幂级数收敛域的方法一、求幂级数收敛域的方法 第13章 三、函数的幂级数三、函数的幂级数展开法展开法四、函数的傅里叶级数四、函数的傅里叶级数展开法展开法 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 求和展开(在收敛域内进行)基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅里叶级数.为傅氏系数) 时,时为数项级数;时为幂级数; 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一、求幂级数收敛域的方法一、求幂级数收敛域的方法• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论• 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .例1. 求下列级数的敛散域: 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解解:当因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .故收敛域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解解: 因故收敛域为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例2.解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵ 原级数 =∴ 其收敛半径注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用• 求部分和式极限二、幂级数和函数的求法二、幂级数和函数的求法 求和• 映射变换法 逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等• 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内）• 数项级数 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例3. 求幂级数法法1 易求出级数的收敛域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用法法2先求出收敛区间则设和函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用练习练习:解解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为而在x≠01. 求下列幂级数的和函数：级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有x = 1 时, 级数也收敛 . 即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用练习练习:解解: 原式=的和 .2. 求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用三、函数的幂级数展开法三、函数的幂级数展开法• 直接展开法• 间接展开法练习练习:1. 将函数展开成 x 的幂级数.— 利用已知展式的函数及幂级数性质— 利用泰勒公式解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2. 设, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,的和. ( 01考研 )解解:于是并求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用四、四、 函数的傅式级数展开法函数的傅式级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法上的表达式为将其展为傅氏级数 .例1. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在解答提示解答提示 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用思考思考: 如何利用本题结果求级数根据傅式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有提示提示: 。