人教版初中九年级数学上册全册ppt课件汇总

初中九年级数学上册教学课件初中九年级数学上册教学课件 全册课件汇总全册课件汇总第二十一章第二十一章 一元二次方一元二次方程程第二十三章第二十三章 旋转旋转第二十四章第二十四章 圆圆第二十二章第二十二章 二次函数二次函数第二十五章第二十五章 概率初步概率初步初中九年级数学上册教学课件初中九年级数学上册教学课件 第第 二十一章二十一章 一元二次方程一元二次方程第第1 1节节 一元二次方程（二课时）一元二次方程（二课时）第第2 2节节 解一元二次方程解一元二次方程( (四课时）四课时）第第3 3节节 实际问题与一元二次方实际问题与一元二次方程程(二课时）二课时） 第二十一章第二十一章《《一元二次方程一元二次方程》》§21.1一元二次方程一元二次方程（第一课时）（第一课时）复习巩固复习巩固小资料小资料 用用等号等号表示表示相等关系相等关系的式子的式子叫等式，通常用叫等式，通常用a=ba=b表示一般的等表示一般的等式式 只含有只含有一个一个未知数，且该未未知数，且该未知数的次数都是知数的次数都是1 1的等式叫一元一的等式叫一元一次方程次方程设雕像下部高设雕像下部高xm，于是得方程，于是得方程整理得整理得x2＋＋2x－－4=0 ①①x2=2(2－－x)ACB2cm即即【【做一做做一做】】 要设计一座要设计一座2m2m高的人体雕像，修雕高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？高？雕像上部的高度雕像上部的高度ACAC，下部的高度，下部的高度BCBC应有应有如下关系：如下关系：①①与你心目中的方程有何不同？与你心目中的方程有何不同？ 如图，有一块矩形铁皮，长如图，有一块矩形铁皮，长100cm100cm，宽，宽50cm50cm，在它的，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm3600cm2 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 解：设切去的正方形的边长为解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（，则盒底的长为（100－－2x））cm，宽为（，宽为（50－－2x））cm。

根据方盒的底面积为根据方盒的底面积为3600cm2，，得得x（（100－－2x）（）（50－－2x））=3600.整理，得整理，得 4x2－－300x+1400=0.化简，得化简，得 　　 x2－－75x+350=0 . ②②由方程由方程②②可以得出所切正方形的具体尺寸．可以得出所切正方形的具体尺寸． 做一做做一做 要组织一次排球邀请赛要组织一次排球邀请赛, ,参赛的每两队之间都要比赛参赛的每两队之间都要比赛一场一场, ,根据场地和时间等条件根据场地和时间等条件, ,赛程计划安排赛程计划安排7 7天天, ,每天安排每天安排4 4场比赛场比赛, ,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? ?分析分析:全部比赛共全部比赛共 4×7=28场场设应邀请设应邀请x个队参赛个队参赛,每个队要与其他每个队要与其他 个队个队各赛各赛1场场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛是同一场比赛,所以全部比赛共所以全部比赛共 场场.化简得化简得(x-1)③③ 做一做做一做这三个方程都不是一元一次方程这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程那么这两个方程与一元一次方程的的区别在哪里？区别在哪里？它们有它们有什么共同什么共同特点特点呢？呢？观察、分析、总结：观察、分析、总结：火眼金睛火眼金睛都都只只含含一一个个未未知知数数都都是是整整数数式式方方程程未未知知数数的的次次数数均均为为2 2次次一元二次方程的概念一元二次方程的概念 等号两边都是整式等号两边都是整式, , 只含有一个未知数只含有一个未知数( (一元一元) )，并且未知数的最高次数是，并且未知数的最高次数是2 2( (二次二次) )的方程叫做的方程叫做一元二次方程一元二次方程(quadratic equation in one unknown)(quadratic equation in one unknown) 小资料小资料必须掌握必须掌握一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 一般地一般地一般地一般地, , , ,任何一个关于任何一个关于任何一个关于任何一个关于x x x x 的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以化为化为化为化为 的形式的形式的形式的形式, , , ,我们把我们把我们把我们把(a,b,c(a,b,c(a,b,c(a,b,c为常数，为常数，为常数，为常数，a a a a≠0≠0≠0≠0））））称为称为称为称为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式。

为什么要限制为什么要限制a≠a≠a≠a≠0 0 0 0，，，，b,cb,cb,cb,c可以为零吗？可以为零吗？可以为零吗？可以为零吗？想一想？想一想？ a x 2 + b x + c = 0二次项系数二次项系数(a ≠ 0)一次项系数一次项系数常数项常数项小资料小资料必须掌握必须掌握当当a=0a=0时时bx+c=0当当a≠0，，b=0时时ax2+c=0当当a≠0，，c=0时时ax2+bx=0当当a≠0，，b=0,c=0时时ax2=0中为什么要限制中为什么要限制a≠a≠0 0，，b,cb,c可以为零吗？可以为零吗？原来如此原来如此一次一次都是都是二次二次次次原来如此原来如此原来如此原来如此下列方程中哪些是一元二次方程？下列方程中哪些是一元二次方程？是一元二次方程的有：是一元二次方程的有：------------强化训练强化训练-------------- 将方程（将方程（3x-2））(x+1)=8x-3 化为一化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项系数、一次项系数及常数项解：去括号，得解：去括号，得 3x2+3x-2x-2=8x-3移项，合并同类项得移项，合并同类项得3x2 - 7x + 1 =0------------强化训练强化训练--------------二次项系数是二次项系数是3一次项系数是一次项系数是-7常数项常数项1方程（方程（2a—4））x2 —2bx+a=0, 在在什么条件下此方程为一元二次方什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元程？在什么条件下此方程为一元一次方程？一次方程？ 解：解：当当a≠2时是一元二次时是一元二次方程；当方程；当a＝＝2，，b≠0时是时是一元一次方程；一元一次方程；------------强化训练强化训练--------------1.下列方程中下列方程中,无论无论a为何值为何值,总是关于总是关于x的一的一元二次方程的是元二次方程的是( )A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=02.当当m为何值时为何值时,方程方程 是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程.D------------强化训练强化训练--------------将下列方程化为一般形式，并分别指出它将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：系数： ⑴⑵⑶------------强化训练强化训练--------------1.一元二次方程的概念一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式的整式方程叫做一元二次方程。

方程叫做一元二次方程2、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的一般形式 一般地一般地, ,任何一个关于任何一个关于x x 的一元二次方程的一元二次方程都可以化为都可以化为 的形式的形式, ,我们把我们把 ( (a,b,ca,b,c为常数，为常数，a a≠0≠0））称为一元二次方程的一般形式称为一元二次方程的一般形式必须掌握必须掌握复习小结复习小结 第二十一章第二十一章《《一元二次方程一元二次方程》》§21.1一元二次方程一元二次方程（第二课时）（第二课时） 1、一元二次方程、一元二次方程3y(y＋＋1)=7(y＋＋2)－－5化为一般形式为化为一般形式为 ；其中二次；其中二次项系数为项系数为 ；一次项系数为；一次项系数为 ；常；常数项为数项为 3y2-4y-9=03-4-9 2、已知关于、已知关于x的方程的方程(k2-1)x2+kx-1=0为一元二次方程，则为一元二次方程，则k .≠±1做一做做一做复习提高复习提高 要组织一次排球邀请赛要组织一次排球邀请赛, ,参赛的每两队之间都要比赛参赛的每两队之间都要比赛一场一场, ,根据场地和时间等条件根据场地和时间等条件, ,赛程计划安排赛程计划安排7 7天天, ,每天安排每天安排4 4场比赛场比赛, ,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? ?分析分析:全部比赛共全部比赛共 4×7=28场场设应邀请设应邀请x个队参赛个队参赛,每个队要与其他每个队要与其他 个队个队各赛各赛1场场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛是同一场比赛,所以全部比赛共所以全部比赛共 场场.化简得化简得(x-1)③③ 做一做做一做方程方程③③的解是什么？的解是什么？　　　　　　　　　　　　　　　　 　　x2-x=56当当x=1时，时，x2－－x=0；当；当x=2时，时，x2－－x=2……我们可以填出下表：我们可以填出下表：x12345678910…x2－－x02…６６12203042567290 可以发现，当可以发现，当x=8时，时，x2－－x＝＝56，，所以所以x=8是方程是方程x2－－x=56的解．的解．有关排球邀请赛的问题中，有关排球邀请赛的问题中，我们列出方程我们列出方程：：试一试试一试 虽然方程虽然方程x2－－x=56有两根（有两根（8和－和－7），但是），但是排球邀请赛问题的答案只有一个，即应邀请排球邀请赛问题的答案只有一个，即应邀请8个队参赛．个队参赛．是否只有是否只有x=８是方程８是方程x2－－x=56的解呢？的解呢？ 将将x= =－－7 7代入方程代入方程x2－－x=56，左边，左边＝＝ －－（（－－7）＝）＝56＝＝右边，所以右边，所以x＝－＝－7也是方程也是方程x2－－x=56的解的解. . 由实际问题列出方程并得出方程的解后，还由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否确实是实际问题的解．要考虑这些解是否确实是实际问题的解．做一做做一做一元二次方程的根：一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边相等使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的的未知数的值叫做一元二次方程的根根。

列方程解决实际问题时，解不列方程解决实际问题时，解不仅要满足所列方程，还需满足适合仅要满足所列方程，还需满足适合实际必须掌握必须掌握小资料小资料你能想出下列方程的你能想出下列方程的根吗根吗?1)2)3)4)题后反思：题后反思：一元二次方程的根的情况与一元二次方程的根的情况与一元一次方程有什么不同吗一元一次方程有什么不同吗? ?x=6x=6或或-6-6x x2 2=-36,=-36,无解无解. .x=6x=6最多可以有两个根最多可以有两个根. .------------强化训练强化训练--------------A.1 B.-1 A.1 B.-1 C.1C.1或或- -1 D.01 D.00+0+a0+0+a2 2-1=0,a-1=0,a2 2=1,=1,则则a=1a=1或或-1,-1,其中其中a=1a=1舍去舍去, ,故故a=-1.a=-1.B B思路：方程的根必满足方程，根思路：方程的根必满足方程，根还要满足题目中的已知条件还要满足题目中的已知条件.------------强化训练强化训练--------------0+0+a0+0+a2 2-1=0,a-1=0,a2 2=1,=1,则则a=1a=1或或-1,-1,其中其中a=1a=1舍去舍去, ,故故a=-1.a=-1.思路：方程的根必满足方程，根思路：方程的根必满足方程，根还要满足题目中的已知条件还要满足题目中的已知条件.0+0+a0+0+a2 2-1=0,a-1=0,a2 2=1,=1,则则a=1a=1或或-1,-1,其中其中a=1a=1舍去舍去, ,故故a=-1.a=-1.思路：方程的根必满足方程，根思路：方程的根必满足方程，根还要满足题目中的已知条件还要满足题目中的已知条件.0+0+a0+0+a2 2-1=0,a-1=0,a2 2=1,=1,则则a=1a=1或或-1,-1,其中其中a=1a=1舍去舍去, ,故故a=-1.a=-1.思路：方程的根必满足方程，根思路：方程的根必满足方程，根还要满足题目中的已知条件还要满足题目中的已知条件.0+0+m0+0+m2 2-4=0,m-4=0,m2 2=4,=4,则则m=2m=2或或-2,-2,则结果则结果=3=3或或19.19.思路：方程的根必满足方程，根思路：方程的根必满足方程，根还要满足题目中的已知条件还要满足题目中的已知条件.------------强化训练强化训练-------------- 第二十一章第二十一章《《一元二次方程一元二次方程》》§21.2解一元二次方程解一元二次方程（第一课时：配方法）（第一课时：配方法）平方根的意义平方根的意义: : 如果如果x2=a,且且a≥0≥0那么那么x=回忆回忆回忆回忆小资料小资料一桶某种油漆可刷的面积为一桶某种油漆可刷的面积为一桶某种油漆可刷的面积为一桶某种油漆可刷的面积为1500dm1500dm1500dm1500dm2 2 2 2，李林用这桶油漆恰，李林用这桶油漆恰，李林用这桶油漆恰，李林用这桶油漆恰好刷完好刷完好刷完好刷完10101010个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？能算出盒子的棱长吗？能算出盒子的棱长吗？能算出盒子的棱长吗？可以验证，可以验证，可以验证，可以验证，5 5和和和和-5-5是方程的根，但是棱长不能是负值，是方程的根，但是棱长不能是负值，是方程的根，但是棱长不能是负值，是方程的根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为所以正方体的棱长为所以正方体的棱长为所以正方体的棱长为5dm.5dm.这种解法叫这种解法叫这种解法叫这种解法叫直接开平方法直接开平方法直接开平方法直接开平方法【【做一做做一做】】解：解：对于方程对于方程 ：： X2=P一、当一、当P﹥0时，方程有两个不等的实数根时，方程有两个不等的实数根二、当二、当P=0时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根三、当三、当P﹤﹤0时，因为对于任意实数时，因为对于任意实数x，都有，都有x2≥0，所以方程无实数根，所以方程无实数根题后反思题后反思小资料小资料解：解：由方程由方程x x2 2=25=25得得x=x=±±5 5容易想到容易想到思路：思路：解一元二次方程的实质解一元二次方程的实质就是降次，把一元二次方程转就是降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而化为两个一元一次方程，进而求一元一次方程的解。

求一元一次方程的解做一做做一做】】【【做一做做一做】】【【做一做做一做】】 移项两边加上两边加上32,使左边配成完全平方式使左边配成完全平方式左边写成完全平方的形式左边写成完全平方的形式开平方开平方【【做一做做一做】】降次降次w我们通过配成完全平方式的方法我们通过配成完全平方式的方法, ,得到了得到了一元二次方程的根一元二次方程的根, ,这种解一元二次方程的这种解一元二次方程的方法称为方法称为配方法配方法(solving (solving by completingby completing the square)the square)w平方根的意义平方根的意义: :w完全平方式完全平方式: :式子式子a a2 2±2ab+b2ab+b2 2叫完全平方式叫完全平方式, ,且且a a2 2±2ab+b2ab+b2 2 =(a =(a±b)b)2 2. . 如果如果x2=a,那么那么x=用配方法解一元二次方程的方法用配方法解一元二次方程的方法: :必须掌握必须掌握小资料小资料用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步骤步骤: :w1.1.移项移项: :把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ;w2.2.配方配方: :方程两边都加上一次项系数一半的方程两边都加上一次项系数一半的平方平方; ;w3.3.变形变形: :方程左边分解因式方程左边分解因式, ,右边合并同类项右边合并同类项w4.4.开方开方: :根据平方根意义根据平方根意义, ,方程两边开平方方程两边开平方; ;w5.5.求解求解: :解一元一次方程解一元一次方程; ;w6.6.定解定解: :写出原方程的解写出原方程的解. . 必须掌握必须掌握小资料小资料 解方程解方程 3x2+8x-3=0. w1.1.化化1:1:把二次项系数化为把二次项系数化为1;1;w3.3.配方配方: :方程两边都加上一方程两边都加上一次项系数一半的平方次项系数一半的平方; ;w4.4.变形变形: :方程左边分解因式方程左边分解因式, ,右边右边合并同类项合并同类项; ;w5.5.开方开方: :根据平方根意义根据平方根意义, ,方程两方程两边开平方边开平方; ;w6.6.求解求解: :解一元一次方程解一元一次方程; ;w7.7.定解定解: :写出原方程的解写出原方程的解. .w2.2.移项移项: :把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ;必须掌握必须掌握小资料小资料 一小球以一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出的初速度竖直向上弹出,它它在空中的高度在空中的高度h(m)与时间与时间t(s)满足关系满足关系h=15t-5t2 .小球何时能达到小球何时能达到10m的的高度高度?------------课后课后强化强化--------------印度古算书中有这样一首诗印度古算书中有这样一首诗:“一群猴子分两队一群猴子分两队,高高兴兴在游戏高高兴兴在游戏,八分之一再平方八分之一再平方,蹦蹦跳跳树蹦蹦跳跳树林里林里;其余十二叽喳喳其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮伶俐活泼又调皮.告我总告我总数共多少数共多少”？？解：设总共有解：设总共有 x 只猴子，根据题意得只猴子，根据题意得 即即x2 - 64x+768 ＝＝0.解这个方程解这个方程,得得x1 ＝＝48;x2 ＝＝16.答答:一共有猴子一共有猴子48只或者说只或者说6只只.------------课后课后强化强化-------------- 第二十一章第二十一章《《一元二次方程一元二次方程》》§21.2解一元二次方程解一元二次方程（第二课时：公式法）（第二课时：公式法）用配方法解一元二次方程的一般步骤：用配方法解一元二次方程的一般步骤：(2)化二次项系数为化二次项系数为1（（1）移项）移项（（3）配方）配方（（4）开平方）开平方（（5）写出方程的解）写出方程的解（方程两边都加一次项系数一半的平方）（方程两边都加一次项系数一半的平方）（二次项和一次项在方程的一边，常数项移到方程的另一边）（二次项和一次项在方程的一边，常数项移到方程的另一边）回忆所学回忆所学小资料小资料你能用配方法解方程你能用配方法解方程 2x2x2 2-9x+8=0 -9x+8=0 吗吗? ?w1.化1:把二次项系数化为1;w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;w4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;w6.求解:解一元一次方程;w7.定解:写出原方程的解.w2.移项:把常数项移到方程的右边;做一做做一做任何一元二次方程都可以写成一般形式任何一元二次方程都可以写成一般形式能否也用配方法得出能否也用配方法得出①①的解呢？的解呢？二次项系数化为二次项系数化为1，得，得配方配方即即①①②②移项，得移项，得寻找规律寻找规律对于方程对于方程 ：： X2=P一、当一、当P﹥0时，方程有两个不等的实数根时，方程有两个不等的实数根二、当二、当P=0时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根三、当三、当P﹤﹤0时，因为对于任意实数时，因为对于任意实数x，都有，都有x2≥0，所以方程无实数根，所以方程无实数根回顾一下回顾一下小资料小资料方程没有实数根方程没有实数根方程有两个相方程有两个相等的实数根等的实数根方程有两个不方程有两个不相等的实数根相等的实数根【【思维延伸思维延伸】】对于任意实数对于任意实数y y，都有，都有y y2 2≥0≥0，所以，所以方程无实数根方程无实数根【【思维延伸思维延伸】】一元二次方程的一元二次方程的求根公式求根公式(a≠0)当当△△≥≥0时，方程时，方程的实根可写为的实根可写为用求根公式解一元二次方程的方法用求根公式解一元二次方程的方法叫做叫做公式法。

公式法必须掌握必须掌握小资料小资料韦达定理：韦达定理：由一元二次方程由一元二次方程:的求根公式知的求根公式知:所以所以: :【【思维延伸思维延伸】】解解方程：方程：解：解：即即 ：：>0方程有两个不等的实数根方程有两个不等的实数根做一做做一做用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式、代入求根公式 :2、求出、求出 的值，的值，1、把方程化成一般形式，并写出、把方程化成一般形式，并写出 的值4、写出方程的解：、写出方程的解：特别注意特别注意:当当 时无解时无解必须掌握必须掌握复习小结复习小结 用公式法解下列方程用公式法解下列方程：------------强化训练强化训练--------------这时称方程有两个不相等的实数解解解方程：方程：化简为一般式：化简为一般式：这里这里解：解：即即 ：：------------强化训练强化训练--------------这时称方程有两个相等的实数解解：去括号，化简为一般式：解：去括号，化简为一般式：解解方程：方程：这里这里 方程没有实数解。

方程没有实数解强化训练强化训练--------------这时称方程没有实数解 第二十一章第二十一章《《一元二次方程一元二次方程》》§21.2解一元二次方程解一元二次方程（第三课时：因式分解法）（第三课时：因式分解法）你已经知道了哪些解一元二次方程的方法你已经知道了哪些解一元二次方程的方法?(1)直接开平方法直接开平方法:(2)配方法配方法:x2=a (a≥0)(x+a)2=b (b≥0)(3)公式法公式法:【【想一想想一想】】 根据物理学规律，如果把一根据物理学规律，如果把一个物体从地面个物体从地面 10 m/s 的速度竖的速度竖直上抛，那么经过直上抛，那么经过 x s 物体离地物体离地面的高度（单位：面的高度（单位：m）为）为 设物体设物体经过经过 x s 落回地面，这时它落回地面，这时它离地面的高度为离地面的高度为 0 ，即，即 根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到（精确到 0.01 s）） 做一做做一做解：解：配方法配方法公式法公式法解：解：a = 4.9，，b =－－10，，c = 0 b2－－4ac= (－－10)2－－4×4.9×0=100 做一做做一做因式分解因式分解如果：如果：a · b = 0，，那么：那么： a = 0或或 b = 0。

降次，化为两个一次方程降次，化为两个一次方程解两个一次方程解两个一次方程这种解法是不是很简单这种解法是不是很简单？？思维深化思维深化可以发现，上述解法中，由可以发现，上述解法中，由①到到②的过程，不是用的过程，不是用开方降次开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于的形式，再使这两个一次式分别等于0，从，从而实现降次，这种解法而实现降次，这种解法叫做因式分解法．叫做因式分解法．以上解方程以上解方程 的方法是如何的方法是如何使二次方程降为一次的？使二次方程降为一次的？①②w提示提示: :1.1.用分解因式法的条件是用分解因式法的条件是: :方程左边易于分解方程左边易于分解, ,而右边而右边等于零等于零; ;2.2.关键关键是熟练掌握因式分解的知识是熟练掌握因式分解的知识; ;3.3.理论依旧是理论依旧是“ab=0,则则a=0或或b=0 ”必须掌握必须掌握小资料小资料4. 分别解这分别解这两个两个一元一次方程，它们的根一元一次方程，它们的根就是原方程的根就是原方程的根.3. 根据根据“ab=0,则则a=0或或b=0”,转化为两个一转化为两个一元一次方程元一次方程.2. 将方程将方程左边左边因式分解为因式分解为A×B;分解因式法解一元二次方程分解因式法解一元二次方程的步骤是的步骤是:1.将方程将方程右边等于右边等于0;必须掌握必须掌握小资料小资料把小圆形场地的半径增加把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为解：设小圆形场地的半径为r根据题意根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.因式分解，得因式分解，得于是得于是得答：小圆形场地的半径是答：小圆形场地的半径是------------强化训练强化训练--------------解方程解方程解：移项，得解：移项，得因式分解，得因式分解，得x＋＋2 = 0或或3x－－5 = 0∴∴ x1 =－－2 ，，x2 =（（3））x2－－4 = 0解：因式分解，得解：因式分解，得 (x＋＋2)x＋＋2 = 0∴∴ x1 = －－2，，(x－－2) = 0或或x－－2 = 0x2 = 2------------强化训练强化训练--------------解方程：解方程：(3x＋＋1)2－－5 = 0 = 0 或或解：因式分解，得解：因式分解，得∴∴------------强化训练强化训练--------------1.1.用因式分解法的用因式分解法的条件条件是是: :方程左边能够方程左边能够 分解分解, ,而右边等于零而右边等于零; ;2.2.理论理论依据依据是是: :如果两个因式的积等于零如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零那么至少有一个因式等于零. .因式分解法解一元二次方程的一般因式分解法解一元二次方程的一般步骤步骤: :一移一移----------方程的右边方程的右边=0;=0;二分二分----------方程的左边因式分解方程的左边因式分解; ;三化三化----------方程化为两个一元一次方程方程化为两个一元一次方程; ;四解四解----------写出方程两个解写出方程两个解; ; Ø一般地，当一元二次方程一次项系数为一般地，当一元二次方程一次项系数为0 0时时（（axax2 2+c=0+c=0），应选用），应选用直接开平方法；直接开平方法；Ø若常数项为若常数项为0 0（（ axax2 2+bx=0+bx=0），应选用），应选用因式分解法；因式分解法；Ø若一次项系数和常数项都不为若一次项系数和常数项都不为0 (ax0 (ax2 2+bx+c=0+bx+c=0），），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；因式分解法，不然选用公式法；Ø不过当二次项系数是不过当二次项系数是1 1，且一次项系数是偶数时，，且一次项系数是偶数时，用用配方法也较简单。

配方法也较简单必须掌握必须掌握小资料小资料解一元二次方解一元二次方程的方法程的方法联系联系方法的区别方法的区别适用范围适用范围配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法将二将二次方次方程降程降次化次化为一为一元方元方程程先配方，再降次先配方，再降次直接利用求根公式直接利用求根公式先使方程一边化为两先使方程一边化为两个一次因式相乘，另个一次因式相乘，另一边为一边为0，再分别使，再分别使各一次因式等于各一次因式等于0所有一元所有一元二次方程二次方程所有一元所有一元二次方程二次方程某些某些必须掌握必须掌握小资料小资料 第二十一章第二十一章《《一元二次方程一元二次方程》》§21.2解一元二次方程解一元二次方程（第四课时：一元二次方程的根与系数的关系）（第四课时：一元二次方程的根与系数的关系）一元二次方程的一元二次方程的求根公式求根公式(a≠0)当当△△≥≥0时，方程时，方程的实根可写为的实根可写为用求根公式解一元二次方程的方法用求根公式解一元二次方程的方法叫做叫做公式法必须掌握必须掌握小资料小资料 方程方程 x1 x2 x x1 1+ + x x2 2 x x1 1∙x x2 2 x x2 2-3-3x x+2=0 +2=0 X X2 2-2x-3=0-2x-3=0X X2 2-5x+4=0-5x+4=0 你你能能发发现现这这些些一一元元二二次次方方程程的的两两根根X X1 1+x+x2 2 , , x1 • x2与与系数有什么规律吗？系数有什么规律吗？猜想：猜想：当二次项系数为当二次项系数为1 1时，方程时，方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的两根为的两根为 x x1 1, x, x2 22 12 13 32 2-1 3-1 3 2 2-3-31 41 4 5 54 4【【想一想想一想】】 方方 程程 -2-2x x1 1+x+x2 2，，x x1 1∙x x2 2与方程系数是否符合你的猜想与方程系数是否符合你的猜想? ?【【想一想想一想】】如果一元二次方程如果一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a +bx+c=0(a ≠≠0 0））的两根为的两根为x x1 1,x,x2 2, ,则则能否证明一下你的猜想？能否证明一下你的猜想？ 猜一猜猜一猜根据求根公式可知，方程的两根为根据求根公式可知，方程的两根为证明猜想证明猜想韦达定理：韦达定理：由一元二次方程由一元二次方程:的求根公式知的求根公式知:所以所以: :必须掌握必须掌握小资料小资料411412则：则：＝＝＝------------强化训练强化训练--------------解：设方程的两根分别为 和 ， 则： 而方程的两根互为倒数 即： 所以： 得：方程方程 的两根互的两根互为倒数，求为倒数，求k的值。

的值强化训练强化训练--------------已知方程已知方程 的的一个根是一个根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值的值. 解：设方程 的两个根 分别是 、 ，其中 所以： 即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一个根是 ，k=-7------------强化训练强化训练-------------- 第二十一章第二十一章《《一元二次方程一元二次方程》》§21.3实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（第一课时：平均增长率问题）（第一课时：平均增长率问题）二、解一元一次方程应用题的一般步骤？二、解一元一次方程应用题的一般步骤？第一步（审题）：第一步（审题）：弄清题意和题目中的已知数、未知数，弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；用字母表示题目中的一个未知数；第二步（设未知数）：第二步（设未知数）：找出能够表示应用题全部含义的相找出能够表示应用题全部含义的相等关系；等关系；第三步（找等量关系）：第三步（找等量关系）：根据这些相等关系列出需要的根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；代数式（简称关系式）从而列出方程；第四步（列方程）：第四步（列方程）：解这个方程，求出未知数的值；解这个方程，求出未知数的值；第五步（解方程）：第五步（解方程）：在检查求得的答数是否符合应用题在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。

的实际意义后，写出答案（及单位名称）一、解一元二次方程有哪些方法？一、解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法回忆回忆回忆回忆小资料小资料 有有一一人人患患了了流流感感,经经过过两两轮轮传传染染后后共共有有121人人患了流感患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人每轮传染中平均一个人传染了几个人? 解：解： 1第一轮传染后第一轮传染后1+x第二轮传染后第二轮传染后1+x+x(1+x)设每轮传染中平均一个人传染了设每轮传染中平均一个人传染了x个人个人.开始有一人患了流感开始有一人患了流感开始有一人患了流感开始有一人患了流感, , , ,第一轮的传染源就是这个人第一轮的传染源就是这个人第一轮的传染源就是这个人第一轮的传染源就是这个人, , , ,他传他传他传他传染了染了染了染了x x x x个人个人个人个人, , , ,用代数式表示用代数式表示用代数式表示用代数式表示, , , ,第一轮后共有第一轮后共有第一轮后共有第一轮后共有____________________人患了流人患了流人患了流人患了流感感感感; ; ; ;第二轮传染中第二轮传染中第二轮传染中第二轮传染中, , , ,这些人中的每个人又传染了这些人中的每个人又传染了这些人中的每个人又传染了这些人中的每个人又传染了x x x x个人个人个人个人, , , ,用代数式表示用代数式表示用代数式表示用代数式表示, , , ,第二轮后共有第二轮后共有第二轮后共有第二轮后共有________________________________________________人患了流感人患了流感人患了流感人患了流感. . . .(x+1)(x+1)1+x+x(1+x)1+x+x(1+x)1+x+x(1+x)=121解方程解方程解方程解方程, ,得得得得答答:平均一个人传染了平均一个人传染了________个人个人.1010-12-12( (不合题意不合题意不合题意不合题意, ,舍去舍去舍去舍去) )10【【做一做做一做】】 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、用题的步骤类似，即审、设、找、列、解、答．这里要特别找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．否符合实际问题的要求． 必须掌握必须掌握小资料小资料总结用一元二次方程解应用题的一般步骤总结用一元二次方程解应用题的一般步骤（（1 1）审题，分析题意）审题，分析题意，，找出已知量和未知量，弄清它们找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系；之间的数量关系；（（2 2）设未知数）设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设；，一般采取直接设法，有的要间接设；（（3 3）寻找数量关系）寻找数量关系，，列出方程列出方程，要注意方程两边，要注意方程两边 的数的数量相等，方程两边的代数式的单位相同；量相等，方程两边的代数式的单位相同；（（4 4））选择合适的方法选择合适的方法解方程；解方程；（（5 5）检验）检验 因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能为负数，降低率不能大于段的长度不能为负数，降低率不能大于100100％．因此，解％．因此，解出方程的根后，一定要进行检验出方程的根后，一定要进行检验（（6 6）写出答语）写出答语. .必须掌握必须掌握小资料小资料 两年前生产两年前生产 1 1吨甲种药品的成本是吨甲种药品的成本是50005000元元, ,生产生产1 1吨乙种药品的成本是吨乙种药品的成本是60006000元元, ,随着生产技术的随着生产技术的进步进步, ,现在生产现在生产 1 1吨甲种药品的成本是吨甲种药品的成本是30003000元元, ,生产生产1 1吨乙吨乙种药品的成本是种药品的成本是36003600元，哪种药品成本的年平均下元，哪种药品成本的年平均下降率较大降率较大? ? 解：解：甲种药品成本的年平均下降额为甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元元) 乙种药品成本的年平均下降额为乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元元)乙种药品成本的年平均下降额乙种药品成本的年平均下降额较大较大. .但是但是, ,年平年平均下降额均下降额( (元元) )不等同于不等同于年平均下降率年平均下降率(百分数百分数)------------强化训练强化训练--------------解解:设甲种药品成本的年平均下降率为设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后则一年后甲种药品成本为甲种药品成本为5000(1-x)元元,两年后甲种药品成本两年后甲种药品成本为为 5000(1-x)2 元元,依题意得依题意得解方程解方程, ,得得答答:甲种药品成本的年平均下降率约为甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.算一算算一算: :乙种药品成本的年平均乙种药品成本的年平均下降率是多少下降率是多少? ?比较比较: :两种两种药品成本的年平均下降率药品成本的年平均下降率22.5%(相同相同)------------强化训练强化训练-------------- 经过计算经过计算, ,你能得出什么结论你能得出什么结论? ?成本下降额成本下降额较大的药品较大的药品, ,它的成本下降率一定也较大它的成本下降率一定也较大吗吗 ? ?应怎样全面地比较对象的变化状况应怎样全面地比较对象的变化状况? ? 经过计算经过计算, ,成本下降额成本下降额较大的药品较大的药品, ,它的成本下降率不它的成本下降率不一定较大一定较大, ,应比较降前及降后的应比较降前及降后的价格价格. .[ [题后反思题后反思] ] 类似地类似地 ,这种增长率的问题在实际这种增长率的问题在实际 生活普遍存在生活普遍存在,有一定的模式有一定的模式若平均增长若平均增长(或降低或降低)百分率为百分率为x,增长增长(或降低或降低)前的是前的是a,增长增长(或降低或降低)n次后次后的量是的量是b,则它们的数量关系可表示为则它们的数量关系可表示为其中增长取其中增长取+,+,降低取降低取－必须掌握必须掌握小资料小资料雪融超市今年的营业额为雪融超市今年的营业额为280280万元，计划后年的营业额万元，计划后年的营业额为为403.2403.2万元，求平均每年增长的百分率？万元，求平均每年增长的百分率？分析：分析：今年到后年间隔今年到后年间隔2 2年，年，今年的营业额今年的营业额××（（1+1+平均增长率）平均增长率） = =后年的营业额。

后年的营业额 1+x=±1.2舍去舍去答：平均每年的增长率为答：平均每年的增长率为20%解：设平均每年增长的百分率为解：设平均每年增长的百分率为x,x,根据题意得：根据题意得：------------强化训练强化训练-------------- 甲型流感病毒的传染性极强，某地因甲型流感病毒的传染性极强，某地因1 1人患了甲型流感没人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9 9人患了甲型流感，人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5 5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？解：设每天平均一个人传染了解：设每天平均一个人传染了x人，人，解得：解得： （舍去）（舍去） 或或答：每天平均一个人传染了答：每天平均一个人传染了2 2人，这个地区一共将人，这个地区一共将会有会有21872187人患甲型流感人患甲型流感分析：第一天人数分析：第一天人数+ +第二天人数第二天人数=9=9，，既既------------强化训练强化训练--------------某厂今年一月份的总产量为某厂今年一月份的总产量为500吨吨,三月份的总三月份的总产量为产量为720吨吨,平均每月的增长率是平均每月的增长率是x,列方程为列方程为( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500B------------强化训练强化训练--------------2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，家，设设二、三月份平均每月禽流感的感染率为二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依，依题意列出的题意列出的方程是方程是( )A.100(1+x)2=250 B、、100(1+x)+100(1+x)2=250 B.C、、100(1-x2)=250 D、、100(1+x)2B------------强化训练强化训练-------------- 某地区开展某地区开展““科技下乡科技下乡””活动三年来，接受活动三年来，接受科技培训的人员累计达科技培训的人员累计达9595万人次，其中第一年培训了万人次，其中第一年培训了2020万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为都为x,x,根据题意列出的方程是＿根据题意列出的方程是＿ ＿＿ 分析：本题中的相等关系为第一年培训人数分析：本题中的相等关系为第一年培训人数+ +第二年第二年培训人数培训人数+ +第三年培训人数第三年培训人数=95=95万。

万解：整理得：整理得：即舍去舍去答：每年接受科技培训的人次的平均增长率为答：每年接受科技培训的人次的平均增长率为50%50%------------强化训练强化训练--------------1 1、平均增长（降低）率公式、平均增长（降低）率公式2 2、注意：、注意： （（1 1））1 1与与x x的位置不要调换的位置不要调换（（2 2）解这类问题列出的方程一般）解这类问题列出的方程一般 用用 直接开平方法直接开平方法必须掌握必须掌握小资料小资料 第二十一章第二十一章《《一元二次方程一元二次方程》》§21.3实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（第二课时：面积与体积问题）（第二课时：面积与体积问题） 1 1．．直角三角形的面积公式是什么？直角三角形的面积公式是什么？  一般三角形的面积公式是什一般三角形的面积公式是什么呢？么呢？ 2 2．．正方形的面积公式是什么呢？正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？长方形的面积公式又是什么？ 3 3．．梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？ 4 4．．菱形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？ 5 5．．平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？ 6 6．．圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？你掌握了吗？你掌握了吗？复习回忆复习回忆 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27㎝㎝,宽宽21㎝㎝,正中央正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度应如何设计四周边衬的宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,依题知正中依题知正中央的矩形两边之比也为央的矩形两边之比也为9:7解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm，，7xcm依题意得依题意得解得解得 故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为:做一做做一做 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27㎝㎝,宽宽21㎝㎝,正中央是一正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、左、右边衬等宽右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度应如何设计四周边衬的宽度?分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,正中央的正中央的矩形两边之比也为矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬，左右边衬宽为宽为7xcm依题意得依题意得解方程得解方程得方程的哪个根方程的哪个根合乎实际意义合乎实际意义?为什么为什么?2721做一做做一做 用用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩的矩形形, ,若能够若能够, ,求它的长与宽求它的长与宽; ;若不能若不能, ,请说明理请说明理由由. .解解:设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,则宽为则宽为 cm,即即x2-10x+30=0这里这里a=1,b=－－10,c=30,∴∴此方程无解此方程无解.∴∴用用20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形的矩形.做一做做一做 某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在现在有两位学生各设计了一种方案有两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据根据两种设计方案各列出方程两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽求图中道路的宽分别是多少分别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积为面积为540540米米2 2. .(1)(2)------------强化训练强化训练--------------解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，米，则则化简得，化简得，其中的其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.∴∴图图(1)中中道路的宽为道路的宽为1米米.(1)------------强化训练强化训练--------------则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，，分析：此题的相等关系是矩形面分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于积减去道路面积等于540540米米2 2。

解法一解法一、、 如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 20x 20x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2 米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是图中的道路面积不是图中的道路面积不是米米2 22)------------强化训练强化训练--------------而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是米米2所以正确的方程是：所以正确的方程是：化简得，化简得，其中的其中的 x=50x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. .取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为： =100 (米米2)草坪面积草坪面积= == 540（米（米2））答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米强化训练强化训练--------------解法二：解法二： 我们利用我们利用“图形经过移动，图形经过移动，它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑同样宽的要修筑同样宽的三条道路三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂直且互相垂直),把耕地分成把耕地分成六块大小相等的试验地六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为要使试验地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，米， 则则化简得，化简得，其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.------------强化训练强化训练--------------如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围四周外围环绕着宽度相等的小路环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解: :设小路宽为设小路宽为x x米，米， 则则化简得，化简得，答答:小路的宽为小路的宽为3米米.------------强化训练强化训练--------------80cmxxxx50cm在一幅长在一幅长80cm，宽，宽50cm的矩形风景画的四周镶的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸，设金色纸边的宽为边的宽为xcm，那么，那么x满足的方程是满足的方程是【【 】】A．．x2+130x-1400=0 B．．x2+65x-350=0C．．x2-130x-1400=0 D．．x2-65x-350=0B------------强化训练强化训练-------------- 这里要特别注意:在列一元二次在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．根是否符合实际问题的要求． 列一元二次方程解应用题的步骤与列列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，一元一次方程解应用题的步骤类似，即即审、设、列、解、检、答．审、设、列、解、检、答．必须掌握必须掌握小资料小资料初中九年级数学上册教学课件初中九年级数学上册教学课件 第第 二十二章二十二章 二次函数二次函数第第1 1节节 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质（四课时）（四课时）第第2 2节节 二次函数与一元二次方二次函数与一元二次方程程第第3 3节节 实际问题与二次函数实际问题与二次函数 第二十二章第二十二章《《二次函数二次函数》》§22.1二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质（第一课时：二次函数）（第一课时：二次函数）一、什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x x与与y y，并且对于，并且对于x x的每一个确定的值，的每一个确定的值，y y都有唯一确定的都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说值与其对应，那么我们就说x x是自变量，是自变量，y y是是x x的函数的函数. . 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.二、二、什么是一次函数？正比例函数？什么是一次函数？正比例函数？ 梦里函数知多少梦里函数知多少 正方体六个面是全等的正方形，正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为设正方体棱长为 x x，表面积为，表面积为 y y，则，则 y y 关于关于x x 的关系式为的关系式为 . .y=6x2 此式表示了正方体表面积此式表示了正方体表面积y与正方体棱长与正方体棱长x之间的之间的关系，对于关系，对于y的每一个值，的每一个值，x都有唯一的一个对应值，都有唯一的一个对应值，即即y是是x的函数。

的函数做一做做一做】】 n n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数赛，比赛的场次数m m与球队数与球队数n n有什么关系？有什么关系？ 解：每个球队解：每个球队n n要与其他（要与其他（n-1n-1）个球队各比赛）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数场比赛，所以比赛的场次数 即即 此式表示了比赛的此式表示了比赛的场次数场次数m与球队数与球队数n之之间的关系，对于间的关系，对于n的每的每一个值，一个值，m都有唯一的都有唯一的一个对应值，即一个对应值，即m是是n的函数做一做做一做】】 这种产品的原产量是这种产品的原产量是20件件, 一年后的产量是一年后的产量是 件件,再经过一年后的产量是再经过一年后的产量是 件件,即即两年后的产量两年后的产量y=__________ 某工厂一种产品现在的年产量是某工厂一种产品现在的年产量是2020件，计划件，计划今后两年增加产量。

如果每年都比上一年的产量增今后两年增加产量如果每年都比上一年的产量增加加x x倍，那么两年后这种产品的产量倍，那么两年后这种产品的产量y y将随计划所定将随计划所定的的x x的值而确定，的值而确定，y y与与x x之间的关系怎样表示？之间的关系怎样表示？ 20(1+x)20(1+x)2即即20(1+x)20(1+x)2 2此式表示了两年后的产此式表示了两年后的产量量y与计划增产的倍数与计划增产的倍数x之间的关系，对于之间的关系，对于x的的每一个值，每一个值，y都有唯一都有唯一的一个对应值，即的一个对应值，即y是是x的函数做一做做一做】】函数都是用自函数都是用自变量的二次整变量的二次整式表示的式表示的 一般地，形如一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，是常数，a≠ 0)的函数叫做的函数叫做二次函数二次函数其中其中a为二次项系数，为二次项系数，b为一次项系数，为一次项系数，c为常数项为常数项实际问题数学化后的式子有什么共同点实际问题数学化后的式子有什么共同点?y=6x2火眼金睛火眼金睛 定义：一般地，形定义：一般地，形y=ax²+bx+c(a,b,c是常数是常数,a≠ 0)的函数叫做的函数叫做x的的二次函数。

二次函数1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变量，右边是关于自变量x的的（（3 ）等式的右边最高次数为）等式的右边最高次数为 ，可以没有，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项一次项和常数项，但不能没有二次项注意注意：：（（2））a,b,c为常数，且为常数，且（（4））x的取值范围是的取值范围是 整式整式a≠0.2任意实数任意实数必须掌握必须掌握小资料小资料二次函数的一般形式二次函数的一般形式:y＝＝ax2＋＋bx＋＋c (其中其中a、、b、、c是常数是常数,a≠0)二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：（（1）当）当b＝＝0时，时， y＝＝ax2＋＋c（（2）当）当c＝＝0时，时， y＝＝ax2＋＋bx（（3）当）当b＝＝0，，c＝＝0时，时， y＝＝ax2当当a、、b、、c为何值时函数为何值时函数y＝＝ax2＋＋bx＋＋c是是一次函数一次函数？？正比例函数？正比例函数？必须掌握必须掌握小资料小资料二次函数的一般式二次函数的一般式y＝＝ax2＋＋bx＋＋c（（a≠0））与与一元二次方程一元二次方程ax２２＋＋bx＋＋c＝＝0（（a≠0））有什么联系和区别有什么联系和区别？？联系联系(1)等式一边都是等式一边都是ax2＋＋bx＋＋c且且 a ≠0(2)方程方程ax2＋＋bx＋＋c=0可以看可以看成是函数成是函数y= ax2＋＋bx＋＋c中中y=0时得到的时得到的.区别区别:前者是函数前者是函数.后者是方程后者是方程.等式另等式另一边前者是一边前者是y,后者是后者是0必须掌握必须掌握小资料小资料 已知关于已知关于x x的二次函数的二次函数, ,当当x=x=－－1 1时时, ,函数值为函数值为10,10,当当x=1x=1时时, ,函数值为函数值为4,4,当当x=2x=2时时, ,函数值为函数值为7,7,求这求这个二次函数的解析试个二次函数的解析试. .｛待定系数法待定系数法------------强化训练强化训练-------------- 一农民用一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为，菜园的面积为Ym2，求，求y与与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。

之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围当当x=12m时，计算菜园的面积时，计算菜园的面积 x xmm y my m2 2 x xmm （（（（40-2x 40-2x ））））mm解：解：由题意得：由题意得： Y=x(40-2x)即：即：Y=-2x2+40x(0

数项你掌握了吗？你掌握了吗？1.你知道下列函数的图象分别是什么吗？你知道下列函数的图象分别是什么吗？一条直线一条直线一条直线一条直线双曲线双曲线2.用什么方法画函数的图象？用什么方法画函数的图象？描点法描点法列表、描点、连线列表、描点、连线你知道吗？你知道吗？ 一、列表：一、列表：观察观察y=xy=x2 2的表达式的表达式, ,选选择适当择适当x x值值, ,并计算相应的并计算相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：““用描点法画二次函数用描点法画二次函数y=xy=x2 2的图象的图象””x x　　　　　　　y=xy=x2 2　　　　　　　　0123…-1-2-3…0149…149…【【做一做做一做】】xy0 0-4-3-2-11234108642-21 二、描点、连线二、描点、连线w(3)在对称轴左侧与右侧在对称轴左侧与右侧,随着随着x值的增大值的增大,y 的值如的值如何变化？何变化？w(2)图象图象 与与x轴有交点吗轴有交点吗？如果有？如果有,交点坐标是什么交点坐标是什么?w(1)图象是轴对称图形吗图象是轴对称图形吗？如果是？如果是,它的对称轴是什它的对称轴是什么么?w(4)当当x取什么值时取什么值时,y的的值最小值最小?最小值是什么？最小值是什么？【【想一想想一想】】是，对称轴为是，对称轴为y y轴轴有，（有，（0 0，，0 0））在对称轴左侧，在对称轴左侧，x x增大时，增大时，y y值减小，值减小，在对称轴右侧，在对称轴右侧，x x增大时，增大时，y y值增大值增大X=0X=0时，时，y y的最小值的最小值为为0 0x x…… -3-3 -2 -2 -1-10 01 12 2 3 3……y y请画函数请画函数y=y=－－x x2 2的图像的图像解解: (1) : (1) 列表列表…… -9-9 -4-4 -1-10 0-1-1 -4-4 -9-9 ……(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线 根据表中根据表中x,yx,y的数值的数值在坐标平面中描点在坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用再用平滑曲线平滑曲线顺次连接各顺次连接各点点, ,就得到就得到y=-xy=-x2 2的图像的图像. .1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=－－x x2 2做一做做一做探究探究:观察观察y=x2,y=-x2的图象的图象,具有怎样的对称性具有怎样的对称性?这两个图象都关于这两个图象都关于y轴对称轴对称. 定义定义:函数函数y=x2,y=-x2的图象的图象都都是是一条一条曲线曲线,这条曲线叫做这条曲线叫做抛物线抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或实际上二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下者向上或者向下. y轴是对称轴轴是对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.xyoxyoy=xy=x2 2y=y=－－x x2 2 一般地，一般地，二次函数二次函数y=ax²+bx+c的图象叫做的图象叫做抛物线抛物线y=ax²+bx+c.必须掌握必须掌握小资料小资料 探探究：观察究：观察y=x2,y=-x2的图象的图象,说出它们的开口方向和顶说出它们的开口方向和顶点坐标及其规律点坐标及其规律.1.抛物线抛物线y=x2的图象开口向的图象开口向上上, 抛物线抛物线y=-x2的图象开口向的图象开口向下下.2.图象的顶点都在图象的顶点都在原点原点. y=x2的顶点是图象的最的顶点是图象的最低低点点, y=-x2的顶点是图象的最的顶点是图象的最高高点点.xyoxyoy=xy=x2 2y=y=－－x x2 23.y=x2 y=-x2对称轴的左对称轴的左侧侧: :y y随随x x的增大而减小的增大而减小; ;对称轴的右对称轴的右侧侧: :y y随随x x的增大而增大的增大而增大。

对称轴的左对称轴的左侧侧: :y y随随x x的增大而的增大而增大增大; ;对称轴的右对称轴的右侧侧: :y y随随x x的增大而减小的增大而减小必须掌握必须掌握小资料小资料二二次函数次函数 y=ax2 的图象与的图象与性质性质2.当当a>0时，开口向上；时，开口向上；3. 当当a<0时，开口向下时，开口向下．．1. 对称轴都是对称轴都是y轴轴; 3.图象的顶点都在图象的顶点都在原点原点. 当当a>0时，顶点是图象的时，顶点是图象的最低点最低点, 当当a<0时，顶点是图象的时，顶点是图象的最高点最高点.必须掌握必须掌握小资料小资料8642-2-4-6-8y= - x2xyo-8y= x2当当a＞＞0时时，对称轴的左对称轴的左侧侧:y:y随随x x的增大而减小；的增大而减小；对称轴的右对称轴的右侧侧:y:y随随x x的增大而增大的增大而增大当当a a＜＜0 0时，时，对称轴的左对称轴的左侧侧:y:y随随x x的的 增大而增大；增大而增大；对称轴的右对称轴的右侧侧:y:y随随x x的增大而减小的增大而减小y= ax2与与y= -ax2关于关于x轴对称轴对称二次函数二次函数 y=ax2 的图象与性质的图象与性质:必须掌握必须掌握小资料小资料y y＝＝axax2 2a>0a>0a<0a<0图象图象二次函数二次函数y=axy=ax2 2的性质的性质开口开口方向方向对称性对称性顶点顶点最值最值增减性增减性开口向上开口向上开口向下开口向下关于关于y y轴对称，对称轴轴对称，对称轴是是y y轴即轴即直线直线x x＝＝0 0顶点坐标是原点（顶点坐标是原点（0 0，，0 0））当当x=0x=0时，时，y y最小值最小值=0=0当当x=0x=0时，时，y y最大值最大值=0=0在对称轴左侧递减在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减在对称轴右侧递减必须掌握必须掌握小资料小资料比较几个二次函数的图象，你比较几个二次函数的图象，你有什有什么发现？么发现？-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4987654321xy开口大小开口大小与系数与系数a有有关，关，a越小，开口越越小，开口越大？大？火眼金睛火眼金睛在同一平面直角坐标系中，画下列二次函数的图象在同一平面直角坐标系中，画下列二次函数的图象-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 41-2-3-4-5-6-7-8-9xy|a||a|越大，抛越大，抛物线物线开开口越小口越小火眼金睛火眼金睛下下列二次函数图像开口，按从小列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1)------------强化训练强化训练--------------3y=kx2与与y=kx－－2(k≠ 0)在同一坐标系中，可能是（在同一坐标系中，可能是（ ））ABCDB------------强化训练强化训练-------------- 第二十二章第二十二章《《二次函数二次函数》》§22.1二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质（第三课时：二次函数（第三课时：二次函数y=ay=a（（x-hx-h））2 2+k+k的图像和性质）的图像和性质） 一、列表：一、列表：观察的表达式观察的表达式, ,选择适当选择适当x x值值, ,并计算相应的并计算相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：““用描点法在同一坐标系中画二次函数用描点法在同一坐标系中画二次函数y=2xy=2x2 2、、 y=2xy=2x2 2 +1+1、、 y=2xy=2x2 2-1-1的的图象图象””x x……-1.5-1.5-1-1　　-0.5-0.50 00.50.51 11.51.5……y=y=2 2x x2 2……4.54.52 20.50.50 00.50.52 24.54.5……y=y=2 2x x2 2 + 1+ 1……5.55.53 31.51.51 11.51.53 35.55.5……y=y=2 2x x2 2 - 1- 1……3.53.51 1-0.5-0.5-1-1-0.5-0.51 1　　3.53.5　　……　　【【做一做做一做】】 二、描点、连线二、描点、连线 二、描点、连线二、描点、连线 二、描点、连线二、描点、连线yx-1-11 12 23 34 4-2-2-3-3-4-4o o1 12 23 34 45 5-1-1-2-2y=2xy=2x2 2-1-1y=2xy=2x2 2-1-1y=2xy=2x2 2一、一、y=ax2的图的图像与像与y=axy=ax2 2+k+k的的图像图像的关的关系系1、当、当k〉〉0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像的图像上上移移k个单位得到个单位得到y=axy=ax2 2+k+k的图像的图像必须掌握必须掌握小资料小资料2、当、当k〈〈0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像的图像下移下移︱︱k k︱︱个单位个单位y=axy=ax2 2+k+k的图像的图像3、当、当a=2〉〉0 0时，开口向上时，开口向上 一、列表：一、列表：观察的表达式观察的表达式, ,选择适当选择适当x x值值, ,并计算相应的并计算相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：““用描点法在同一坐标系中画二次函数用描点法在同一坐标系中画二次函数 、、 、、 的的图象图象””x x……- -4 4- -3 3　　- -2 2-1-10 01 12 2…………-8-8-4.5-4.5-2-2- -0 0.5.50 0-0.5-0.5-2-2…………-4.5-4.5-2-2-0.5-0.50 0-0.5-0.5-2-2-4-4.5.5……x x……-2-2-1-10 01 12 23 34 4…………-4-4.5.5-2-2- -0 0.5.50 0-0.5-0.5-2-2　　-4-4.5.5　　……　　【【做一做做一做】】 二、描点、连线二、描点、连线 二、描点、连线二、描点、连线 二、描点、连线二、描点、连线yx1 12 23 3-2-24 4-3-3-4-4o o-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5-1-1-6-6-7-7-8-82 2一、一、y=ax2的图的图像与像与y=a(y=a(x+h)x+h)2 2的图的图像的像的关系关系1、当、当h〉〉0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像的图像左左移移h个单位得到个单位得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2的图的图像像必须掌握必须掌握小资料小资料2、当、当h〈〈0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像的图像下移下移︱︱h h︱︱个单位个单位y=a(x+h)y=a(x+h)2 2的图像的图像3、当、当a=-1 / 2〈〈0 0时，开口向下时，开口向下 一、列表：一、列表：观察的表达式观察的表达式, ,选择适当选择适当x x值值, ,并计算相应的并计算相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：““用描点法在同一坐标系中画二次函数用描点法在同一坐标系中画二次函数 、、 、、 的的图象图象””x x……- -4 4- -3 3　　- -2 2-1-10 01 12 2…………-8-8-4.5-4.5-2-2- -0 0.5.50 0-0.5-0.5-2-2…………-9-9-3.5-3.5-3-3-1.5-1.5-1-1-1.5-1.5-3-3………… -5-5.5.5-3-3- -1 1.5.5-1-1-1.5-1.5-3-3　　-5-5.5.5　　……　　【【做一做做一做】】 二、描点、连线二、描点、连线 二、描点、连线二、描点、连线 二、描点、连线二、描点、连线yx1 12 23 3-2-24 4-3-3-4-4o o-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5-1-1-6-6-7-7-8-8一、一、y=ax2的的图像与图像与y=a(x+hy=a(x+h) )2 2+k+k的的图像第图像第一种平一种平移方法移方法1、当、当h〉〉0 0且且k k〉〉0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先上移的图像先上移k k个单位，再个单位，再左左移移h个单位得到个单位得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像必须掌握必须掌握小资料小资料2、当、当h〉〉0 0且且k k〈〈0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先下移的图像先下移︱︱k k︱︱个单位，再个单位，再左移左移h个单位得到个单位得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像3、当、当h〈〈0 0且且k k〈〈0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先下移的图像先下移︱︱k k︱︱个单位，再个单位，再右移右移︱︱h h︱︱个单位得到个单位得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像4、当、当h〈〈0 0且且k k〉〉0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先上移的图像先上移k k个单位，再个单位，再右移右移︱︱h h︱︱个单位得到个单位得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像 一、列表：一、列表：观察的表达式观察的表达式, ,选择适当选择适当x x值值, ,并计算相应的并计算相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：““用描点法在同一坐标系中画二次函数用描点法在同一坐标系中画二次函数 、、 、、 的的图象图象””x x……- -4 4- -3 3　　- -2 2-1-10 01 12 2…………-8-8-4.5-4.5-2-2- -0 0.5.50 0-0.5-0.5-2-2………… - -4.54.5-2-2- -0.50.50 0- -0.50.5- -2 2- -4.54.5………… -5-5.5.5-3-3- -1 1.5.5-1-1-1.5-1.5-3-3　　-5-5.5.5　　……　　【【做一做做一做】】 二、描点、连线二、描点、连线 二、描点、连线二、描点、连线 二、描点、连线二、描点、连线yx1 12 23 3-2-24 4-3-3-4-4o o-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5-1-1-6-6-7-7-8-8一、一、y=ax2的的图像与图像与y=a(x+hy=a(x+h) )2 2+k+k的的图像第图像第二种平二种平移方法移方法1、当、当h〉〉0 0且且k k〉〉0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先左移的图像先左移h h个单位，再个单位，再上上移移k个单位得到个单位得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像必须掌握必须掌握小资料小资料2、当、当h〉〉0 0且且k k〈〈0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先的图像先左移左移h个单位个单位,再下移再下移︱︱k k︱︱个单位，个单位，得到得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像3、当、当h〈〈0 0且且k k〈〈0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先的图像先右移右移︱︱h h︱︱个单位个单位,再下再下移移︱︱k k︱︱个单位，个单位，得到得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像4、当、当h〈〈0 0且且k k〉〉0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先的图像先右移右移︱︱h h︱︱个单位个单位,再上再上移移k k个单位，个单位，得到得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像向向左左( (右右) )平平移移|h||h|个单位个单位向向上上( (下下) )平平移移|k||k|个单位个单位 一般地一般地, ,抛物线抛物线y=y=a(xa(x－－h)h)2 2＋＋k k与与y=axy=ax2 2形形状相同状相同, ,位置不同位置不同. .把抛物线把抛物线y=axy=ax2 2向上向上( (下下) )向向右右( (左左) )平移平移, ,可以得到抛物线可以得到抛物线y=y=a(xa(x －－h)h)2 2＋＋k.k.平移的方向、距离要根据平移的方向、距离要根据h h、、k k的值来决定的值来决定. .向向左左( (右右) )平移平移|h||h|个单位个单位向向上上( (下下) )平平移移|k||k|个单位个单位y=axy=ax2 2y=y=a(xa(x－－h)h)2 2y=y=a(xa(x－－h)h)2 2+k+ky=axy=ax2 2y=y=a(xa(x－－h)h)2 2+k+ky=axy=ax2 2+k+k平移方法一平移方法一: :必须掌握必须掌握小资料小资料平移方法二平移方法二: :左左右右平平移移上上下下平平移移左右平移左右平移y = ax2y = ax2 + k y = a(x - h )2y = a( x - h )2 + k上下平移上下平移结论结论: : 一般地，抛物线一般地，抛物线 y y = = a a( (x x- -h h) )2 2+ +k k与与y y = = axax2 2形状相同，位置不同形状相同，位置不同。

二次函数相互关系的简化示意图二次函数相互关系的简化示意图归纳总结归纳总结抛物线抛物线y=a(x+h)y=a(x+h)2 2+k+k有如下特点有如下特点: : (1)(1)当当a>0a>0时时, , 开口向上开口向上; ;当当a<0a<0时时, ,开口向上开口向上; ;(2)(2)对称轴是直线对称轴是直线x=-hx=-h; ;(3)(3)顶点是顶点是(-h,k)(-h,k)；；（（4）如果）如果a﹤0﹤0时，当时，当x﹤-hx﹤-h时，时，y y随随x x的增大而的增大而增大，当增大，当x﹥-hx﹥-h，，y y随随x x的增大而减小；的增大而减小；如果如果a a ﹥0﹥0时，当时，当x﹤-hx﹤-h时，时，y y随随x x的增大而减小，当的增大而减小，当x﹥-hx﹥-h，，y y随随x x的增大而增大；的增大而增大；必须掌握必须掌握小资料小资料原来如此原来如此二次函数二次函数开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y=2(x+3)y=2(x+3)2 2+5+5向上向上(1,(1,－－2)2)向下向下向下向下(3,7(3,7) )(2,(2,－－6)6)向上向上直线直线x=x=－－3 3直线直线x=1x=1直线直线x=3x=3直线直线x=2x=2( (－－3,5)3,5)y=y=－－3(x3(x－－1)1)2 2－－2 2y = 4(xy = 4(x－－3)3)2 2＋＋7 7y=y=－－5(25(2－－x)x)2 2－－6 6完成下列表格完成下列表格: :------------强化训练强化训练--------------C(3,0)C(3,0)C(3,0)B(1B(1B(1，，，，，，3)3)3) 要修建一个圆形喷水池要修建一个圆形喷水池, ,在池中心竖直安装一根水管在池中心竖直安装一根水管. .在水管的顶端安装一个喷水头在水管的顶端安装一个喷水头, ,使喷出的抛物线形水柱使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为在与池中心的水平距离为1m1m处达到最高处达到最高, ,高度为高度为3m,3m,水水柱落地处离池中心柱落地处离池中心3m,3m,水管应多长水管应多长? ?A AAx x xO O Oy y y123123解解: :如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系, , 点点(1,3)(1,3)是图中这段抛物线的顶是图中这段抛物线的顶点点. . 因此可设这段抛物线对应的函数因此可设这段抛物线对应的函数是是∵∵这段抛物线经过点这段抛物线经过点(3,0)(3,0)∴ ∴ 0=a(30=a(3－－1)1)2 2＋＋3 3 解得解得: :因此抛物线的解析式为因此抛物线的解析式为: :y y= =a(xa(x－－1)1)2 2＋＋3 (0≤x≤3)3 (0≤x≤3)当当x=0x=0时时,y=2.25,y=2.25答答: :水管长应为水管长应为2.25m.2.25m.3 34 4a=a=－－y y= (x= (x－－1)1)2 2＋＋3 (0≤x≤3)3 (0≤x≤3)3 34 4－－---------强化训练强化训练----------- 第二十二章第二十二章《《二次函数二次函数》》§22.1二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质（第四课时：二次函数（第四课时：二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图像和性质）的图像和性质）函数表达式函数表达式开口开口方向方向增减性增减性对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标（（0 0，，0 0））（（0 0，，c)c)(h,0)(h,0)(h,k)(h,k)a>0,a>0,开口开口向上向上; ;a<0,a<0,开口开口向下向下. .a>0,a>0,在对称轴在对称轴左侧左侧,y,y都随都随x x的增大而减小的增大而减小, ,在对称轴右侧在对称轴右侧,y,y都随都随 x x的增的增大而增大大而增大.;.;a<0,a<0,在对称轴在对称轴左侧左侧,y,y都随都随x x的增大而增大的增大而增大, ,在对称轴右侧在对称轴右侧,y,y都随都随 x x的增的增大而减小大而减小 . . 掌握了吗？掌握了吗？一、一、y=ax2的的图像与图像与y=a(x+hy=a(x+h) )2 2+k+k的的图像第图像第一种平一种平移方法移方法1、当、当h〉〉0 0且且k k〉〉0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先上移的图像先上移k k个单位，再个单位，再左左移移h个单位得到个单位得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像必须掌握必须掌握小资料小资料2、当、当h〉〉0 0且且k k〈〈0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先下移的图像先下移︱︱k k︱︱个单位，再个单位，再左移左移h个单位得到个单位得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像3、当、当h〈〈0 0且且k k〈〈0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先下移的图像先下移︱︱k k︱︱个单位，再个单位，再右移右移︱︱h h︱︱个单位得到个单位得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像4、当、当h〈〈0 0且且k k〉〉0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先上移的图像先上移k k个单位，再个单位，再右移右移︱︱h h︱︱个单位得到个单位得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像二、二、y=ax2的的图像与图像与y=a(x+hy=a(x+h) )2 2+k+k的的图像第图像第二种平二种平移方法移方法1、当、当h〉〉0 0且且k k〉〉0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先左移的图像先左移h h个单位，再个单位，再上上移移k个单位得到个单位得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像必须掌握必须掌握小资料小资料2、当、当h〉〉0 0且且k k〈〈0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先的图像先左移左移h个单位个单位,再下移再下移︱︱k k︱︱个单位，个单位，得到得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像3、当、当h〈〈0 0且且k k〈〈0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先的图像先右移右移︱︱h h︱︱个单位个单位,再下再下移移︱︱k k︱︱个单位，个单位，得到得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像4、当、当h〈〈0 0且且k k〉〉0 0时，将时，将y=axy=ax2 2的图像先的图像先右移右移︱︱h h︱︱个单位个单位,再上再上移移k k个单位，个单位，得到得到y=ay=a（（x+hx+h））2 2 + k+ k的图像的图像 一、提：一、提：提出二次项系提出二次项系数数““根据所掌握的知识，在坐标系中画出二次函根据所掌握的知识，在坐标系中画出二次函数数 的的图象图象””【【做一做做一做】】似曾相识燕归来似曾相识燕归来 二、配：二、配：括号内配成完全平方式括号内配成完全平方式 三、化：三、化：化成顶点式化成顶点式 由列表先作出函数由列表先作出函数 的图像，再将图像先向上移的图像，再将图像先向上移3 3个单位，再向右个单位，再向右移移6 6个单位，得到函数个单位，得到函数 的图像的图像x x……-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3…………4.54.52 20.50.50 00.50.52 24.54.5……x x……3 34 45 56 67 78 89 9…………7.57.55 53.53.53 33.53.55 5　　7.57.5　　……　　【【做一做做一做】】o o-1-1 平移作图平移作图yx1 12 23 34 4-2-2-3-31 12 23 34 45 55 56 67 78 86 67 78 89 9当当x﹥6﹥6时y随随x的增大而增大的增大而增大当当x﹤6﹤6时y随随x的增大而减小的增大而减小由此可知，抛物线的顶点是点由此可知，抛物线的顶点是点（（6 6，，3 3），），对称轴是直线对称轴是直线x＝＝6.6.x x ＝＝6·（（4，，5））· (6，，3)Oyx5105102015·（（12，，21））·（（0，，21））火眼金睛火眼金睛 一、提：一、提：提出二次项系提出二次项系数数““根据上述方法，分析二次函数根据上述方法，分析二次函数 y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的的图象和性质图象和性质””【【做一做做一做】】似曾相识燕归来似曾相识燕归来 二、配：二、配：括号内配成完全平方式括号内配成完全平方式 三、化：三、化：化成顶点式化成顶点式必须掌握必须掌握试做二次函数试做二次函数 y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 即即 的的图象和性质图象和性质””y yo ox xy=axy=ax2 2+bx+c +bx+c (a(a﹤﹤0)0)o ox xy yy=axy=ax2 2+bx+c +bx+c (a(a﹥﹥0)0)对称轴是对称轴是 顶点是顶点是必须掌握必须掌握试做二次函数试做二次函数 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c （（a a≠0≠0）的性质）的性质””1 1、对称轴是、对称轴是 ；顶点是；顶点是2 2、图像是一条抛物线，当、图像是一条抛物线，当a﹥0a﹥0时，开口向上，时，开口向上，当当a a﹤﹤0 0时开口向下。

时开口向下3 3、如果、如果a﹥0a﹥0时，当时，当 时，时，y y随随x x的增大而减小，的增大而减小，当当 时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大4 4、如果、如果a a﹤﹤0 0时，当时，当 时，时，y y随随x x的增大而增大，的增大而增大，当当 时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小必须掌握必须掌握必须掌握必须掌握抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a>0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a<0)由由a,b和和c的符号确定的符号确定由由a,b和和c的符号确定的符号确定向上向上向下向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而增的增大而增大大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而减的增大而减小小. 根据图形填表：根据图形填表：y yo ox xy=axy=ax2 2+bx+c +bx+c (a(a﹤﹤0)0)o ox xy yy=axy=ax2 2+bx+c +bx+c (a(a﹥﹥0)0)必须掌握必须掌握已知二次函数已知二次函数y y=a=ax x2 2+ +bxbx+ +c c的图象经过（－的图象经过（－1 1，，1010），（），（1 1，，4 4））（（2 2，，7 7），求出），求出a a、、b b、、c c的值，并写出此时二次函数的解析式的值，并写出此时二次函数的解析式解析：解析：⑴⑴根据根据题意意 得：得： 解得：解得：a=2a=2；；b=-3b=-3；；c=5c=5所以抛物所以抛物线的解析式的解析式为------------强化训练强化训练--------------题后反思题后反思 求二次函数的解析式求二次函数的解析式y=ax2+bx+c,需求出需求出a,b,c的的值，由二次函数图像上三个值，由二次函数图像上三个点的坐标，列出关于点的坐标，列出关于a,b,c的的方程组，求出方程组，求出a,b,c的值，就的值，就可以写出二次函数的解析式。

可以写出二次函数的解析式时，抛物线经过原点时，抛物线经过原点当当时，抛物线开口向下；时，抛物线开口向下；当当时，图象为抛物线；时，图象为抛物线；当当时，图象为直线；时，图象为直线；当当，，已知已知____________________2)1(:2mmmmmxxmy= =+ ++ +- -= =------------强化训练强化训练--------------解：解：------------强化训练强化训练-------------- 已知二次函数已知二次函数y y= =－－x x2 2＋＋2 2bxbx＋＋c c，当，当x x＞＞1 1时，时，y y的值随的值随x x值的增值的增大而减小，则实数大而减小，则实数b b的取值范围是（的取值范围是（ ）） A A．．b b≥≥－－1 1 B B．．b b≤≤－－1 1 C C．．b b≥1≥1 D D．．b b≤1≤1解析：∵二次项系数为－－1＜＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－－x2＋＋2bx＋＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－－x2＋＋2bx＋＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .D------------强化训练强化训练--------------二次函数二次函数y y=axax2+bxbx+c c的图象如图所示，则下列结论的图象如图所示，则下列结论正确的是（正确的是（ ））A A．．a a<0，，b b<0，，c c>0，，b b2 2－－4acac>0 >0 B B．．a a>0，，b b<0，，c c>0，，b b2 2－－4acac<0 <0 C C．．a a<0，，b b>0，，c c<0，，b b2 2－－4acac>0 >0 D D．．a a<0，，b b>0，，c c>0，，b b2 2－－4acac>0>0yxOD D------------强化训练强化训练--------------如图，二次函数如图，二次函数y y＝＝a ax x2－－bxbx＋２的大致图象如图所示，则＋２的大致图象如图所示，则函数函数y y＝－＝－ax+bax+b的图象的图象不经过（不经过（ ））A A．第一象限．第一象限 B B．第二象限．第二象限 C C．第三象限．第三象限 D D．第四象限．第四象限 2 2O OX XY YA A------------强化训练强化训练--------------已知二次函数已知二次函数y y=-=-x x2 2+ +bxbx+ +c c的图象如图所示，它与的图象如图所示，它与x x轴的一个交点轴的一个交点坐标为（－坐标为（－1 1，，0 0），与），与y y轴的交点坐标为（轴的交点坐标为（0 0，，3 3））. .⑴⑴求出求出b,cb,c的值，并写出此时二次函数的解析式；的值，并写出此时二次函数的解析式；⑵⑵根据图象，写出函数值根据图象，写出函数值y y为正数时，自变量为正数时，自变量x x的取值范围的取值范围. .x xy y3－1O解析：解析：⑴⑴根据根据题意意 得：得： , ,解得解得所以抛物所以抛物线的解析式的解析式为⑵⑵令令解得解得根据根据图象可得当函数象可得当函数值y y为正数正数时，自，自变量量x x的取的取值范范围是是------------强化训练强化训练--------------已知二次函数已知二次函数y y=a=ax x2 2+ +bxbx+ +c c的图象经过（－的图象经过（－1 1，，1010），（），（1 1，，4 4））（（2 2，，7 7），求出），求出a a、、b b、、c c的值，并写出此时二次函数的解析式的值，并写出此时二次函数的解析式解析：解析：⑴⑴根据根据题意意 得：得： 解得：解得：a=2a=2；；b=-3b=-3；；c=5c=5所以抛物所以抛物线的解析式的解析式为------------强化训练强化训练-------------- 第二十二章第二十二章《《二次函数二次函数》》§22.2二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程你掌握了吗？你掌握了吗？复习回忆复习回忆曾记否？曾记否？一、一次函数一、一次函数y=x+2y=x+2的图像与的图像与x x轴的交点坐标为轴的交点坐标为（（-2-2，，0 0）），则一元一次方程，则一元一次方程x+2=0x+2=0的根为的根为-2-2二、一次函数二、一次函数y=-3x+6y=-3x+6的图像与的图像与x x轴的交点坐标为轴的交点坐标为（（2 2，，0 0）），则一元一次方程，则一元一次方程-3x+6=0-3x+6=0的根为的根为2 2题后反思：题后反思： 一次函数一次函数y=kx+by=kx+b的图像与的图像与x x轴的交点的轴的交点的横坐标就是一元一次方程横坐标就是一元一次方程kx+b=0kx+b=0的根的根二次函数与一元二次方程是二次函数与一元二次方程是不是也存在这种联系呢？不是也存在这种联系呢？问题问题 如图，以如图，以4040 m/s m/s的速度将小球的速度将小球沿与地面成沿与地面成30300 0角的方向击出时，小球的飞行角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线路线将是一条抛物线. .如果不考虑空气阻力，小球如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度的飞行高度h h（单位：（单位：m m）与飞行时间）与飞行时间t t（单位：（单位：s s）之间具有函数关系：）之间具有函数关系：h=20t-5th=20t-5t2 2考虑以下问题：考虑以下问题：(1)(1)小球的飞行高度能否达到小球的飞行高度能否达到1515m m？如果能，需？如果能，需要多少飞行时间？要多少飞行时间？(2)(2)小球的飞行高度能否达到小球的飞行高度能否达到2020m m？如果能，需？如果能，需要多少飞行时间？要多少飞行时间？(3)(3)小球的飞行高度能否达到小球的飞行高度能否达到20.520.5m m？为什么？？为什么？(4)(4)小球从飞出到落地要用多少时间？小球从飞出到落地要用多少时间？ 做一做做一做哈哈！将各个问题中的哈哈！将各个问题中的h h值代入函数解析式，值代入函数解析式，便得到了关于便得到了关于t t的一元的一元二次方程。

二次方程（（1））球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513∴∴当球飞行当球飞行1s1s或或3s3s时，它的高度为时，它的高度为15m.15m.解析：将h=15m代入解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0 t1=1 , t2=3.你能结合上图，指出你能结合上图，指出为什么在两个时间球为什么在两个时间球的高度为的高度为15m吗？吗？做一做做一做h=20t-5t2（（2））球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？Oht204解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.解：将解：将h=20m代入代入h=20t-5t2你能结合上图，指出你能结合上图，指出为什么只在一个时间为什么只在一个时间球的高度为球的高度为20m吗？吗？做一做做一做（（3））球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.解：将解：将h=20.5m代入代入h=20t-5t2做一做做一做你能结合上图，指出你能结合上图，指出为什么球不能到达为什么球不能到达20。

5m的高度的高度？？（（4））球从飞出到落地要用多少时间？Oht解方程解方程0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.解：将解：将h=0m代入代入h=20t-5t2做一做做一做你能结合上图，指出为什么你能结合上图，指出为什么球到达球到达地面只有一个时间地面只有一个时间？？ 二次函数与一元二次方程关系紧密，二次函数与一元二次方程关系紧密，例如，已知二次函数例如，已知二次函数 的函数的函数值为值为3 3，求自变量，求自变量x x的值，可以看作解的值，可以看作解一元二次方程一元二次方程 . . 反之，解一元二次方程反之，解一元二次方程 又可以看作已知二次函数又可以看作已知二次函数 的的函数值为函数值为0 0时自变量时自变量x x的值的值. . 【【题后反思题后反思】】 一般地，当一般地，当y取定值且取定值且a≠0≠0时，二次函数为时，二次函数为一元二次方程一元二次方程. .【【题后反思题后反思】】利用二次函数深入讨论一元二次方程 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（（1））y=x2+x-2；（；（2））y=x2-6x+9；（；（3））y=x2-x+1.【【想一想想一想】】1y = x2－－6x＋＋9y = x2－－x＋＋1y = x2＋＋x－－2作出三个函数的图像，完成下表二次函数二次函数抛物线与抛物线与x轴轴公共点个数公共点个数公共点公共点横坐标横坐标相应的一元二次相应的一元二次方程的根方程的根y = x2－－x＋＋1无无y = x2－－6x＋＋9y = x2＋＋x－－20个1个2个x2-x+1=0无解0x2-6x+9=0，，x1=x2=3-2, 1 x2+x-2=0，，x1=-2,x2=1做一做做一做二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系必须掌握必须掌握小资料小资料由前面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的由前面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．似的．例例 利用函数图象求方程利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根的实数根( (精确到精确到0.1).).　－　－222464－－48－－2－－4y = x2－－2x－－2解：作解：作y=x2-2x-2的图象的图象( (如右图如右图所示所示) )，它与，它与x轴的公共点的横坐轴的公共点的横坐标大约是标大约是- -0.7，，2.7.所以方程所以方程x2-2x-2=0的实数根为的实数根为x1≈-0.7，，x2≈2.7.做一做做一做已知抛物已知抛物线 与与X X轴有两个有两个交点，交点，则k k的取的取值范范围是是 ．．------------强化训练强化训练-------------- 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 0 ？ （（3））x取什么值时，y<0 ？xyO248解：（：（1））x1=2 , x2=4;（（2））x<2或或x>4;（（3））2

函数值最大h/mh/mt/st/so o3 34545　　利用二次函数解决实际问题的过程利用二次函数解决实际问题的过程: 1. 找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；画找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；画出出 2.再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； 3 .最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值．（大）值． 由于抛物线由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当的顶点是最低（高）点，当时，二次函数时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大）有最小（大） 值值题后反思题后反思小资料小资料抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a>0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a<0)由由a,b和和c的符号确定的符号确定由由a,b和和c的符号确定的符号确定向上向上向下向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而增的增大而增大大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而减的增大而减小小. 根据图形填表：根据图形填表：y yo ox xy=axy=ax2 2+bx+c +bx+c (a(a﹤﹤0)0)o ox xy yy=axy=ax2 2+bx+c +bx+c (a(a﹥﹥0)0)你掌握了吗？你掌握了吗？整理后得整理后得 　　用总长为　　用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长随矩形一边长 l 的变化而变化．当的变化而变化．当 l 是多少米时，场地是多少米时，场地的面积的面积 S 最大？最大？　　解：　　解： ，， ∴∴　当　当 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 时，时，S 有最大值为　　　　　　有最大值为　　　　　　 ．．当当 l 是是 15 m 时，场地的面积时，场地的面积 S 最大．最大．（（0＜l＜30）．）．（　）（　 　）【【趁热打铁趁热打铁】】化为二次函数化为二次函数图像与性质研究图像与性质研究　　（利润问题）（利润问题）　　　　某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件 60 元，每星元，每星期可卖出期可卖出300件．市场调查反映：如调整价件．市场调查反映：如调整价格，每涨价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出元，每星期要少卖出 10 件；件；每降价每降价 1 元，每星期可多卖出元，每星期可多卖出 20 件．件．已知商品的进价为每件已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才元，如何定价才能使利润最大？能使利润最大？【【趁热打铁趁热打铁】】 分析：商品的利润＝总售价分析：商品的利润＝总售价-总成本总成本商品总利润＝每件商品的利润商品总利润＝每件商品的利润×件数件数调整价格包括调整价格包括 和和 两种情况两种情况.解：（解：（1）设每件涨价）设每件涨价x元，则每星期少元，则每星期少卖出卖出_ 件，实际每星期卖件，实际每星期卖___ 件，件，商品的利润商品的利润y随涨价随涨价x变化的函数解析式变化的函数解析式为：为：y＝＝_______________________ 即：即：y＝＝________________涨价涨价降价降价10x300-10x（（60-40+x））×（（300-10x）） 【【趁热打铁趁热打铁】】当当 ＝＝ ___ ＝＝__ 时，时，y有最大值有最大值 ＝＝_______ ＝＝___ .也就是说，也就是说，在涨价的情况下，涨价在涨价的情况下，涨价 元，定价元，定价为为 元时，利润最大，最大利润元时，利润最大，最大利润是是 元元.562505656250【【趁热打铁趁热打铁】】（（2）设每件降价）设每件降价x元，则每星期多卖出元，则每星期多卖出 ____件，实际每星期卖件，实际每星期卖 ____件，件，商品的利润商品的利润y随涨价随涨价x变化的函数解析式变化的函数解析式为：为： y＝＝___________________ 即：即：y＝＝__________________20x300+20x(60-40-x) ×(300+20x)　　　　在降价情况下，最大利润是多少？请你参考上述的在降价情况下，最大利润是多少？请你参考上述的讨论讨论，，自己得出答案．自己得出答案．【【趁热打铁趁热打铁】】当当 ＝＝ ____＝＝___ 时，时，y有最大值有最大值 ＝＝______ ＝＝___ . 也就是说，也就是说，在降价的情况下，降价在降价的情况下，降价 元，元， 定价为定价为 ____元时，利润最大，最大利润是元时，利润最大，最大利润是 元元.你认为该如何定价才能使利润最大呢？你认为该如何定价才能使利润最大呢？2.561252.557.56125【【趁热打铁趁热打铁】】 如如图的抛物线形拱桥图的抛物线形拱桥,当拱当拱桥顶离水面桥顶离水面 2 m,水面水面宽宽 4 m,水面下降水面下降 1 m, 此时水面宽度为多少？水面此时水面宽度为多少？水面宽度增加多少宽度增加多少 ?【【趁热打铁趁热打铁】】Xyxy0 0Xy0Xy0(1)(2)(3)(4)坐坐标标系系建建立立任任你你选选∴∴水面的宽度增加了　　　　水面的宽度增加了　　　　m 抛物线形拱桥，抛物线形拱桥，当当拱拱顶离水面顶离水面2m2m，水面宽度，水面宽度4m4m，水面下降，水面下降1m1m，水面，水面宽度为多少？水面宽度增加多少宽度为多少？水面宽度增加多少？？xy0(2,-2)●(-2,-2)●当当 时，时，所以，水面下降所以，水面下降1m，水面的宽，水面的宽度为度为 m.解：设这条抛物线表示的二次函数为解：设这条抛物线表示的二次函数为由抛物线经过点（由抛物线经过点（2，，-2），可得），可得所以，这条抛物线的二次函数为：所以，这条抛物线的二次函数为：当水面下降当水面下降1m时，水面的纵坐标为时，水面的纵坐标为ABCD∴∴水面的宽度增加了　　　　水面的宽度增加了　　　　m 抛物线形拱桥，抛物线形拱桥，当当拱拱顶离水面顶离水面2m2m，水面宽度，水面宽度4m4m，水面下降，水面下降1m1m，，水面宽度为多少水面宽度为多少？？水面宽度水面宽度增加多少？增加多少？xy0(4, 0)●(0,0)●(2,2)解：设这条抛物线表示的二次函数为解：设这条抛物线表示的二次函数为由抛物线经过点（由抛物线经过点（0，，0），可得），可得所以，这条抛物线的二次函数为：所以，这条抛物线的二次函数为：当当 时，时，所以，水面下降所以，水面下降1m，水面的，水面的宽度为宽度为 m.当水面下降当水面下降1m时，水面的纵坐标为时，水面的纵坐标为CDBE利用二次函数知识解决实际问题的一般步骤：利用二次函数知识解决实际问题的一般步骤：1 . 审题审题,弄清已知和未知。

弄清已知和未知2 . 将实际问题转化为数学问题建立适当的平将实际问题转化为数学问题建立适当的平面直角坐标系面直角坐标系3 .3 .根据题意找出点的坐标，求出抛物线根据题意找出点的坐标，求出抛物线根据题意找出点的坐标，求出抛物线根据题意找出点的坐标，求出抛物线 解析式解析式解析式解析式分析图象，解决实际问题分析图象，解决实际问题分析图象，解决实际问题分析图象，解决实际问题4 .4 .得到实际问题答案得到实际问题答案得到实际问题答案得到实际问题答案必须掌握必须掌握小资料小资料初中九年级数学上册教学课件初中九年级数学上册教学课件 第第 二十三章二十三章 旋旋 转转第第1 1节节 图形的旋图形的旋转转第第2 2节节 中心对称（三课时）中心对称（三课时）第第3 3节节 课题学习课题学习 图案设计图案设计 第二十三章第二十三章《《旋转旋转》》§23.1图形的旋转图形的旋转移一移，转一转移一移，转一转 在生活中有各种各样美丽的图案，其在生活中有各种各样美丽的图案，其中有很多图案都是由简单的图形通过平移中有很多图案都是由简单的图形通过平移或旋转获得的或旋转获得的旋转图形旋转图形平移图形平移图形小资料小资料必须掌握必须掌握平移的定义：平移的定义： 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的移动叫平移定的距离，这种图形的移动叫平移平移的特点：平移的特点： 1 1、不改变图形的形状、大小和方向，只、不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形改变图形 位置；位置；2 2、平移前后的两个图形是全等、平移前后的两个图形是全等形。

形钟表的指针在钟表的指针在不停地转动不停地转动风车的叶片在风的风车的叶片在风的吹动下不停地转动吹动下不停地转动火眼金睛火眼金睛思考：思考：上面这两种现象有什么共同的特点呢？上面这两种现象有什么共同的特点呢？ 这这个定点称为个定点称为旋转中心旋转中心，转动，转动的角称为的角称为旋转角旋转角在平面内，将一个图形绕着一个在平面内，将一个图形绕着一个定点定点沿某个方沿某个方向向转动一个角度转动一个角度，这样的图形运动称为旋转这样的图形运动称为旋转AB旋转中心旋转中心o旋转角旋转角必须掌握必须掌握1、相同：、相同：都是一种运动；运动前后都是一种运动；运动前后 不改变图形的形状和大小不改变图形的形状和大小2、不同、不同运动方向运动方向运动量运动量的衡量的衡量平移平移直线直线移动一定距离移动一定距离旋转旋转顺时针或顺时针或逆时针逆时针转动一定的角度转动一定的角度平移和旋转的异同：平移和旋转的异同：【【必须掌握必须掌握】】 下列现象中属于旋转的有下列现象中属于旋转的有( ( D D ) )个个①①地下水位逐年下降；地下水位逐年下降；②②传送带的移传送带的移动；动；③③方向盘的转动；方向盘的转动；④④水龙头开关水龙头开关的转动；的转动；⑤⑤钟摆的运动；钟摆的运动；⑥⑥荡秋千运荡秋千运动动. .A.2 B.3 C.4 D.5 A.2 B.3 C.4 D.5 ------------强化训练强化训练-------------- 时钟的时针在不停地旋转，从上午时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午时到上午9时，时针旋转的旋转角是多时，时针旋转的旋转角是多少度？从上午少度？从上午9时到上午时到上午10时呢？时呢？126123457891011 126123457891011 旋转角度是旋转角度是9090°°旋转角度是旋转角度是3030°°------------强化训练强化训练-------------- 如图，杠杆绕支点转如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？在哪里？旋转角是哪个角？BOB/AA/支点在支点在O旋转角为旋转角为∠∠AOA/ ------------强化训练强化训练-------------- 在在硬纸板上硬纸板上, ,挖一个三角形洞挖一个三角形洞, ,再挖一个小洞再挖一个小洞O O作为旋转中心作为旋转中心, ,硬纸板下面放一张白纸硬纸板下面放一张白纸. .先在纸上描出这个挖掉的三角形图案先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(⊿ABC),(⊿ABC),然后围绕旋转中心转动硬纸板然后围绕旋转中心转动硬纸板, ,再描出这个挖掉的三角形再描出这个挖掉的三角形(⊿A′B′C′),(⊿A′B′C′),移开硬纸板移开硬纸板. . 连结连结OA﹑OB﹑OC﹑OA′﹑OB′﹑OC′,OA﹑OB﹑OC﹑OA′﹑OB′﹑OC′, 讨论讨论:⑴:⑴线段线段OAOA与线段与线段OAOA′′间有什么关系间有什么关系? ? ⑵⑵∠ AOA′∠ AOA′与与∠∠BOB′BOB′有什么关系有什么关系? ? ⑶ ⑶ ⊿ABC⊿ABC与与⊿A′B′C′⊿A′B′C′形状和大小有形状和大小有 什什么关系么关系? ?OBCAB’C’A’【【做一做做一做】】测测量量剪剪哈哈！哈哈！OA=OAOA=OA’’; ; ∠AOA∠AOA’’= = ∠BOB∠BOB’’; ; △ABC△ABC与与△△A A’’B B’’C C’’全等全等必须掌握必须掌握旋旋转转的的性性质质1 1、旋转前后，图形的形状、大小没有发、旋转前后，图形的形状、大小没有发生改变，只有图形的位置发生了生改变，只有图形的位置发生了 变化；变化；2 2、对应线段相等、对应角相等；、对应线段相等、对应角相等；3 3、对应点到旋转中心的距离相等；、对应点到旋转中心的距离相等；4 4、任意一对对应点与旋转中心的连线所、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角相等，均等于旋转角。

成的角相等，均等于旋转角 如图，如果把钟表的指针看做四边形如图，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕，它绕O点旋转点旋转得到得到四边形四边形DOEF. 在这个旋转过程中：在这个旋转过程中： （（1）旋转中心是什么）旋转中心是什么? （（2）经过旋转，点）经过旋转，点A、、B分别移动到什么位置？分别移动到什么位置？ （（3）旋转角是什么？）旋转角是什么？ （（4））AO与与DO的长有什么关系？的长有什么关系？BO与与EO呢？呢？ （（5））∠∠AODAOD与与∠∠BOEBOE有什么大小关系？有什么大小关系？旋转中心是旋转中心是O点点D和点和点E的位置的位置AO=DO，，BO=EO∠AOD=∠BOE∠AOD=∠BOE∠AOD∠AOD和和∠BOE∠BOE都是旋转角都是旋转角------------强化训练强化训练--------------△△BEF的周长的周长=BE+EF+BF=BE+（（FC+CM））+BF=BE+FC+AE+BF=（（BE+AE））+（（FC+BF））=BA+BC=2，，所以所以△△BEF的周长为的周长为2．． 已知已知E、、F分别在正方形分别在正方形ABCD边边AB和和BC上，上，AB=1，，∠∠EDF=45°.求求△△BEF的周长的周长.解：解：∵∵ABCD是正方形，是正方形，∴∠∴∠ADC=90°，，AD=DC=AB=BC=1.将将△△ADE绕着点绕着点D逆时针旋转逆时针旋转90°到到△△DCM的位置的位置.由旋转的特征可知由旋转的特征可知AE=CM，，DE=DM，，∠∠ADE=∠∠CDM．．∵∠∵∠EDF=45°，，∴∠∴∠FDM=45°．．∴△∴△DEF与与△△DMF关于关于DF成轴对称，成轴对称，∴∴EF=FM．．------------强化训练强化训练--------------A AE EB BF FC CD DA AE EB BF FC CD DM M 如如图，图，△△ABCABC的顶点坐标分别为的顶点坐标分别为A A（（4 4，，6 6）、）、B B（（5 5，，2 2）、）、C C（（2 2，，1 1），如果将），如果将△△ABCABC绕点绕点C C按按逆时针方向旋转逆时针方向旋转9090°°，得到，得到△△　　　，那么点　　　，那么点A′的对应点的的对应点的坐标是（坐标是（ ））A A．（－．（－3 3，，3 3）） B B．（．（3 3，－，－3 3）） C C．（－．（－2 2，，4 4）） D D．（．（1 1，，4 4））7O-2-4 -3-5yC-16A2134512Bx345------------强化训练强化训练-------------- 第二十三章第二十三章《《旋转旋转》》§23.2中心对称中心对称（第一课时：中心对称）（第一课时：中心对称）一、图形的旋转一、图形的旋转：： 在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形变换称为度，这样的图形变换称为图形的旋转图形的旋转，这个定点称，这个定点称为为旋转中心旋转中心，旋转的角度称为，旋转的角度称为旋转角旋转角.二、图形的旋转的性质二、图形的旋转的性质：：①①、旋转前后的图形、旋转前后的图形全等全等②②、对应点到旋转中心的距离、对应点到旋转中心的距离相等相等 ③③、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 三、图形的旋转的作图三、图形的旋转的作图：： 先连结先连结，，再再作角，最后截取作角，最后截取 梦里旋转知多少梦里旋转知多少一、把其中一个图案绕点一、把其中一个图案绕点O旋转旋转180°.你有什么发现你有什么发现? 重重 合合重重 合合二、线段二、线段AC,BD相交于点相交于点O,OA=OC,OB=OD.把把 △△OCD绕点绕点O旋转旋转180°.你有什么发现你有什么发现? O OAＯＯDBC【【做一做做一做】】 像这样把一个图形绕着某一像这样把一个图形绕着某一点旋转点旋转180度度,如果它能够和如果它能够和 另另一个图形重合一个图形重合,那么那么,我们就说我们就说这两个图这两个图关于这个点对称关于这个点对称或或中中心对称心对称,这个点就叫这个点就叫对称中心对称中心, ,这两个图形中的这两个图形中的对应点对应点,叫做叫做关关于中心的对称点于中心的对称点. .必须掌握必须掌握小资料小资料观察观察:在旋转过程中在旋转过程中ABC三点的位置关系怎样三点的位置关系怎样?哪些线段与线段哪些线段与线段AB的大小相等的大小相等?ACBAC’B’AC’’B’’ADE你知道吗？你知道吗？哈哈！重合。

哈哈！重合点点A为对称中心为对称中心旋转三角板，画关于点旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形：对称的两个三角形：第一步，第一步，画出画出△△ABC；；第二步，第二步，以三角板的一个顶点以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋为中心，把三角板旋 转转180°，画出，画出△△A′B′C′；；第三步第三步，移开三角板，移开三角板.ACB（（1 1））ACB（（2 2））A’C’B’O画一画画一画注意：大三角形为三角尺的注意：大三角形为三角尺的边缘，我们研究的是内部的边缘，我们研究的是内部的小三角形小三角形问题一：问题一：分别连接对称点分别连接对称点AA′，，BB′，，CC′点O段段AA′上吗？如果在，在什么位置？上吗？如果在，在什么位置？探究二：探究二：△△ABC与与△△A′B′C′有什么关系？有什么关系？A′C′B′CABO●【【探究探究】】分析：分析：1、中心对称的两个三角形可以互相重合；、中心对称的两个三角形可以互相重合；2、点、点A’与线段与线段OA’是点是点A与线段与线段OA绕点绕点O旋转旋转1800后得到时，后得到时，OA=OA’,O段段AA’上探究结论：探究结论：1、、△△ABC≌ ≌△△A′B′C′；； 2、点、点A是线段是线段AA’的中点。

的中点1 1、、在成中心对称的两个图形中在成中心对称的两个图形中, ,连接对称连接对称点的线段都经过对称中心点的线段都经过对称中心, ,并且被对称中心并且被对称中心平分平分. .反过来反过来, ,如果两个图形的对应点连成的线段如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点都经过某一点, ,并且都被该点平分并且都被该点平分, ,那么这那么这两个图形一定关于这一点成中心对称两个图形一定关于这一点成中心对称. .2 2、、关于中心对称的两个图形是全等形关于中心对称的两个图形是全等形必须掌握必须掌握小资料小资料中心对称与轴对称的区别与联系中心对称与轴对称的区别与联系轴对称轴对称中心对称中心对称有一条对称轴有一条对称轴------直线直线有一个对称中心有一个对称中心------点点图形沿对称轴对折图形沿对称轴对折( (翻翻折折1801800 0) )后重合后重合图形绕对称中心旋转图形绕对称中心旋转1801800 0后重合后重合对称点的连线被对称轴对称点的连线被对称轴垂直平分垂直平分对称点连线经过对称中对称点连线经过对称中心心, ,且被对称中心平分且被对称中心平分必须掌握必须掌握小资料小资料以点以点O为对称中心为对称中心,作出点作出点A的对称点的对称点A′; AA′B′BO 2、线段的中心对称线段的作法、线段的中心对称线段的作法AOA′1、点的中心对称点的作法、点的中心对称点的作法以点以点O为对称中心为对称中心,作出点作出点AB的对称点的对称点A′B′，连接，连接A’B’ 点点点点A′A′即为所求的点即为所求的点即为所求的点即为所求的点必须掌握必须掌握小资料小资料线段线段A′B’即为所求的线段即为所求的线段解解:△△A A′′B B′′C′C′即为所求的三角形。

即为所求的三角形C′C′A′A′B′B′A AB BC C 3、、ΔABC的中心对称图形的作法的中心对称图形的作法以点以点O为对称中心为对称中心,作出点作出点ABC的对称点的对称点A′B′C’，连接，连接A’B’ ; B’C’;A’C’ 必须掌握必须掌握小资料小资料解法一：解法一：根据观察，根据观察，B、、B’应是对应点，连应是对应点，连结结BB’，，用刻度尺找出用刻度尺找出BB’的中点的中点O，，则点则点O即为所求（如图）即为所求（如图）如图，已知如图，已知△△ABC与与△△A’B’C’中心对称，求出它中心对称，求出它们的对称中心们的对称中心OABCA’B’C’------------强化训练强化训练--------------O如图，已知如图，已知△△ABC与与△△A’B’C’中心对称，求出它中心对称，求出它们的对称中心们的对称中心OABCA’B’C’------------强化训练强化训练--------------O解法二：解法二：根据观察，根据观察，B、、B’及及C、、C’应是两应是两组对应点，连结组对应点，连结BB’、、CC’，，BB’、、CC’相交相交于点于点O，，则点则点O即为所求（如图）。

即为所求（如图） 第二十三章第二十三章《《旋转旋转》》§23.2中心对称中心对称（第二课时：中心对称图形）（第二课时：中心对称图形）无极生太极,太极生两仪, 两仪生三才,三才生四象, 四象生五行,五行生六合, 六合生七星,七星生八卦, 八卦生九宫,一切归十方 生活中的对称美生活中的对称美美的存在，美的存在，有形有质，有形有质，太极的形状太极的形状体现了一种体现了一种美 你用什么方法识别两个图形是否关于某点中心你用什么方法识别两个图形是否关于某点中心对称？对称？A'CC'ABB'【【想一想想一想】】方法方法1：：将其中一个图形绕某一点旋转将其中一个图形绕某一点旋转1800，如果能够与，如果能够与另一个完全重合，那么它们关于这一点中心对称另一个完全重合，那么它们关于这一点中心对称 方法方法2：：如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且都被该点平分并且都被该点平分,那么这两个图形一定关于这一点成那么这两个图形一定关于这一点成中心对称中心对称.o（（2）圆）圆（（4）） 正方形正方形（（1）线段）线段（（3）平行四边形）平行四边形AB 将下面的图形绕将下面的图形绕O点旋转点旋转180°，你有什么发，你有什么发现？现？OOO你知道吗？你知道吗？哈哈！与原哈哈！与原图形重合。

图形重合OO 如果一个图形绕一个点如果一个图形绕一个点旋转旋转180°180°后，能和后，能和原来的图形互相重合原来的图形互相重合，那么这个图形叫做，那么这个图形叫做中心对中心对称图形称图形；这个点叫做它的；这个点叫做它的对称中心对称中心；互相重合的；互相重合的点叫做点叫做对称点对称点. . BACD图中_________是中心对称图形对称中心是______点点O点A的对称点是______点D的对称点是______ABCD点点C点点B必须掌握必须掌握小资料小资料（（1 1）这些图形有什么共同的特征？）这些图形有什么共同的特征？旋转一定的角度可以和旋转一定的角度可以和自身重合自身重合（（2 2）这些图形的不同点在哪？分别绕旋转中心旋转）这些图形的不同点在哪？分别绕旋转中心旋转多少度可以和原图形重合？多少度可以和原图形重合？ 第一个图形的旋转角度为第一个图形的旋转角度为120°或或240 °，第二个图形的，第二个图形的旋转角度为旋转角度为72°或或144°或或216°或或288°后三个图形的旋转角后三个图形的旋转角度都为度都为180°，第二，三个是轴对称图形。

第二，三个是轴对称图形后三个图形都是旋转后三个图形都是旋转1801800 0后能与自身重合后能与自身重合------------强化训练强化训练--------------（（1））（（2））（（3））（（4））下列图形是中心对称图形吗？下列图形是中心对称图形吗？转一转转一转哈哈！旋转图形哈哈！旋转图形180180度，度，与原图形完全重合与原图形完全重合名称名称中心对称中心对称中心对称图形中心对称图形定义定义把一个图形绕着某一个点旋转把一个图形绕着某一个点旋转180 ,如果如果他能够与他能够与另一个图形重合另一个图形重合，那么就说这两，那么就说这两个图形关于这点对称，这个点叫做对称中个图形关于这点对称，这个点叫做对称中心心,两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点点如果一个图形绕着一个点旋如果一个图形绕着一个点旋转转180 后的图形能够与后的图形能够与原原来的图形重合，来的图形重合，那么这个图那么这个图形叫做中心对称图形，这个形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心点就是它的对称中心性质性质①①两个图形完全重合；两个图形完全重合；②②对应点连线都经过对称中心，并且被对对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分称中心平分①①是一个特殊的图形是一个特殊的图形②②对应点连线都经过对称中对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分心，并且被对称中心平分区别区别①①两个图形两个图形的关系的关系②②对称点在两个图形上对称点在两个图形上①①具有某种性质的具有某种性质的一个图形一个图形②②对称点在一个图形上对称点在一个图形上联系联系若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形。

把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形中心对称与中心对称图形中心对称与中心对称图形必须掌握必须掌握小资料小资料 下面几何图形中，有哪些是中心对称图下面几何图形中，有哪些是中心对称图形？并指出对称中心形？并指出对称中心. .怎样的正多边形是中心对称图形怎样的正多边形是中心对称图形? ? 【【做一做做一做】】 对对图图 称称 形形 性性轴对称图形轴对称图形中心对称图形中心对称图形图形图形对称轴条数对称轴条数图形图形对称中心对称中心线段线段2条条中点中点角角1条条等腰三角形等腰三角形1条条等边三角形等边三角形3条条平行四边形平行四边形对角线交点对角线交点矩形矩形2条条 对角线交点对角线交点菱形菱形2条条对角线交点对角线交点正方形正方形4条条对角线交点对角线交点轴对轴对称图称图形与形与中心中心对称对称图形图形比较比较必须掌握必须掌握小资料小资料旋转旋转前后的图形前后的图形完全重合完全重合轴对称图形轴对称图形中心对称图形中心对称图形1 1有一条对称轴有一条对称轴 —— 直线直线有一个对称中心有一个对称中心 —— 点点2 2图形沿轴对折图形沿轴对折（翻转（翻转 180° ）） 图形绕对称中心图形绕对称中心旋转旋转 　　　　180°3 3翻转翻转前后的图形前后的图形完全重合完全重合中心对称图形与轴对称图形有什么区别与联系？中心对称图形与轴对称图形有什么区别与联系？必须掌握必须掌握小资料小资料 1.1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（的是（ ））. . A A 角角 B B 等边三角形等边三角形 C C 线段线段 D D 平行四边形平行四边形C 2.2.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（图形的是（ ））. . A A 平行四边形平行四边形 B B 矩形矩形 C C 菱形菱形 D D 正方形正方形A------------强化训练强化训练--------------3 3、已知：下列命题中真命题的个数是（、已知：下列命题中真命题的个数是（ ））. . ① ①关于中心对称的两个图形一定不全等关于中心对称的两个图形一定不全等 ② ②关于中心对称的两个图形是全等形关于中心对称的两个图形是全等形 ③ ③两个全等的图形一定关于中心对称两个全等的图形一定关于中心对称 A A 0 0 B B 1 1 C C 2 2 D D 3 3B 4.4.按要求画一个图形，所画图形中同时要有一个正按要求画一个图形，所画图形中同时要有一个正方形和一个圆，并且这个图形既是轴对称图形又是方形和一个圆，并且这个图形既是轴对称图形又是中心对称图形中心对称图形. .------------强化训练强化训练--------------如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，ACAC与与BDBD交于点交于点O O，过点，过点O O的的两条直线，分别交各边于点两条直线，分别交各边于点E E、、H H、、F F、、G G，，则则A A、、E E、、D D、、G G关于关于O O的对称点分别的对称点分别 、、 、、 、、 . . DGFABHECOHFBC------------强化训练强化训练-------------- 第二十三章第二十三章《《旋转旋转》》§23.2中心对称中心对称（第三课时：关于原点对称的点的坐标）（第三课时：关于原点对称的点的坐标）在平面直角坐标系中画出下列各点在平面直角坐标系中画出下列各点关于关于x x轴的对称点轴的对称点. .31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4 -3 -2 -1B (-4, 2)··C(3, -4)·B’ (-4, -2)·C’(3, 4)思考：思考：关关于于x轴对称轴对称的点的坐的点的坐标具有怎标具有怎样的系？样的系？ 画一画一画画在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4 -3 -2 -1B (-4, 2)··C(3, -4)·B’ (4, 2)·C’(-3, -4) 画画 一一 画画思考：思考：关关于于x轴对称轴对称的点的坐的点的坐标具有怎标具有怎样的系？样的系？小结：小结：在平面直角坐标系中，关于在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点轴对称的点横坐标横坐标相等相等, ,纵坐标互为纵坐标互为相相反数反数. .关于关于y轴对称的点轴对称的点横坐标互为横坐标互为相反相反数数, ,纵坐标纵坐标相等相等. .点（点（x, y））关于关于x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为______.点（点（x, y））关于关于y轴对称的点轴对称的点的坐标为的坐标为______.(x,(x,－－y)y)( (－－x,y)x,y)必须掌握必须掌握小资料小资料小结：小结：在平面直角坐标系中，关于原点对称在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的点横坐标互为相反数横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数纵坐标互为相反数. 画画 一一 画画在平面直角坐标系中画出下列各点关于原点在平面直角坐标系中画出下列各点关于原点的对称点的对称点. .31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4 -3 -2 -1C ’ (-3, 4)··C(3, -4)·B’ (4, 2)·B(-4,-2)点（点（x, y））关于关于x轴对称轴对称的点的坐标为的点的坐标为_________.(-x,(-x,－－y)y)1、完成下表、完成下表.已知点已知点(2,-3)(-1,2)(-6,-5)(0,-1.6)(4,0)关于关于x轴的对称点轴的对称点关于原点的对称点关于原点的对称点(-2, 3)(2,-3)(-1,-2)(1, -2) (6, 5)(-6, 5)(0, 1.6)(0,1.6)(-4,0)(4,0)2、已知点、已知点P(2a+b,-3a)与点与点P’(8,b+2).若点若点p与点与点p’关于关于x轴对称，则轴对称，则a=_____ b=_______.若点若点p与点与点p’关于关于y轴对称，则轴对称，则a=_____ b=_______.若点若点p与点与点p’关于原点对称，则关于原点对称，则a=_____ b=_______.46-202------------强化训练强化训练---------------1.2-5.6已知已知△△ABC的三个的三个顶点的坐标分别为顶点的坐标分别为A(-3，，5),B(- 4，，1),C(-1，，3)，，作出作出△△ABC关于关于原点对称的图形。

原点对称的图形解：解：点点A(-3,5),B(-A(-3,5),B(-4,1),4,1),C(-1,3)C(-1,3)，，关于关于y y轴对称轴对称点的坐标分别为点的坐标分别为A A’(3,5), (3,5), B B’(4,1),C(4,1),C’(1,3).(1,3).依依次连接次连接A A’B B’,B,B’C C’,C,C’A A’, ,就就得到得到△△ABCABC关于关于y y轴对轴对称的称的△△A A’B B’C C’. .····31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4 -3 -2 -1··AcBABC------------强化训练强化训练--------------3.下列图象中下列图象中,一定关于原点对称的图象是一定关于原点对称的图象是( )A.Y=1 / x B.y=2x+1 C.y=-2x+1 B.D.以上三种都有可能以上三种都有可能.AY1OXXy=2X+1y=-2x+1反比例函数的图反比例函数的图像关于原点对称像关于原点对称---------强化训练强化训练----------- 如如图图，，利利用用关关于于原原点点对对称称的的点点的的坐坐标标的的特特点点，，作出与线段作出与线段ABAB关于原点对称的图形．关于原点对称的图形．.A′A′. B′B′解：点解：点A（（0，，1），），B(0,3)关于原点对关于原点对称点的坐标分别是称点的坐标分别是A′(0,-1)，，B′(0-3),连接连接A′B′，就可得，就可得到线段到线段AB关于原关于原点对称的线段点对称的线段A′B′。

强化训练强化训练-----------关于关于 x , y 轴对称指轴对称指的是的是 轴轴对称对称关于原点对称指关于原点对称指的是的是 中中心对称心对称关于关于x轴对称轴对称的点的点 横横坐标相等坐标相等, 纵纵坐标互为相反数坐标互为相反数.关于关于y轴对称轴对称的点的点 横横坐标互为相反数坐标互为相反数, 纵纵坐标相等坐标相等.关于关于原点原点对称对称的点的点 横横坐标互为相反数坐标互为相反数, , 纵纵坐标互为相反数坐标互为相反数. .必须掌握必须掌握小资料小资料 第二十三章第二十三章《《旋转旋转》》§23.3课题学习课题学习 图案设计图案设计无极生太极,太极生两仪, 两仪生三才,三才生四象, 四象生五行,五行生六合, 六合生七星,七星生八卦, 八卦生九宫,一切归十方 生活中的对称美生活中的对称美美的存在，美的存在，有形有质，有形有质，太极的形状太极的形状体现了一种体现了一种美。

美【【想一想想一想】】这些美轮美奂的图案是怎样形成这些美轮美奂的图案是怎样形成?我我们自己能否设计呢？们自己能否设计呢？对对称称美美 梦里旋转知多少梦里旋转知多少旋转旋转90900 0旋转旋转1801800 0旋转旋转2702700 0做轴对称图做轴对称图形后平移形后平移 梦里平移知多少梦里平移知多少做轴对称图形做轴对称图形平移平移平移平移美不美不胜收！胜收！必须掌握必须掌握小资料小资料图案设计：图案设计： 我们可以利用平移、我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进轴对称和旋转中的一种进行图案设计，还可以利用行图案设计，还可以利用它们的组合进行图案设计它们的组合进行图案设计设计方式设计方式基本图案基本图案最终图案最终图案平移平移旋转旋转做一做做一做 生生活活中中很很多多美美丽丽的的图图案案和和几几何何图图形形都都有有密密切切联联系系，，复复杂杂美美丽丽的的图图案案都都是是由由简简单单图图形形按按一一定定规规律律（（如如平平移移、、对对称称、、旋旋转转……））排排列列组组合合而而成成 即即使使最最简简单单的的几几何何图图案案经经过过你你的的精精心心设设计计也会给人赏心悦目的感觉。

也会给人赏心悦目的感觉原来如此原来如此】】 试用两个圆、两个三角形、两试用两个圆、两个三角形、两条平行线设计出一些简单图案，并条平行线设计出一些简单图案，并标明你的设计意图标明你的设计意图做一做做一做】】吊吊 灯灯笑笑 脸脸【【我会做我会做】】【【我会做我会做】】一辆车一辆车企企 鹅鹅【【我会做我会做】】穿越云霞的山穿越云霞的山 鱼翔浅水鱼翔浅水 【【我会做我会做】】初中九年级数学上册教学课件初中九年级数学上册教学课件 第第 二十四章二十四章 圆圆第第1 1节节 圆的有关性质圆的有关性质（四课时）（四课时）第第2 2节节 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系（二课时）（二课时）第第3 3节节 正多边形和圆正多边形和圆第第4 4节节 弧长和扇形面积弧长和扇形面积 第二十四章第二十四章《《圆圆》》§24.1圆的有关性质圆的有关性质（第一课时：圆）（第一课时：圆）凄美的圆凄美的圆一个将一个将死之人，死之人，竟敢羞竟敢羞辱我罗辱我罗马的勇马的勇士？士？头可断，头可断，血可流，血可流，命可丢，命可丢，别碰我的别碰我的圆！圆！ 名字写在沙上，会被流水冲走：名字刻在石上，会被时间腐蚀；名字写在沙上，会被流水冲走：名字刻在石上，会被时间腐蚀；但阿基米德的圆将烙在人们的心中，永远不会被忘却！圆给了阿但阿基米德的圆将烙在人们的心中，永远不会被忘却！圆给了阿基米德神秘的魔力，基米德神秘的魔力，欲知魔力缘由，且先认识心中的圆。

欲知魔力缘由，且先认识心中的圆 梦里圆圈知多少梦里圆圈知多少 “一切立一切立体图形中最体图形中最美的是球，美的是球，一切平面图一切平面图形中最美的形中最美的是是圆圆”古古希希腊腊数数学家毕达学家毕达哥哥拉斯拉斯你的身影我随处可见你的身影我随处可见 画画 一一 画画““圆，一中同长也圆，一中同长也””．． - -------《《墨经墨经》》古时作圆古时作圆现代作圆现代作圆作圆作圆步骤步骤1 1、定长：、定长：两脚间的距离一定两脚间的距离一定2 2、定点：、定点：一只脚不动一只脚不动3 3、定向：、定向：一只脚旋转一周一只脚旋转一周哈哈！哈哈！脚在动，脚在动，心不动 如图，在一个平面内，线段如图，在一个平面内，线段OAOA绕它固定的一个绕它固定的一个端点端点O O旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点A A所形成的图形叫做圆．所形成的图形叫做圆．rOA固定的端点固定的端点O叫做叫做圆心圆心线段线段OA叫做叫做半径半径以点以点O为圆心的圆，记作为圆心的圆，记作“⊙ ⊙O”，读作，读作“圆圆O”．．我国古人很早我国古人很早对圆就有这样对圆就有这样的认识了，战的认识了，战国时的国时的《《墨经墨经》》就有就有“圆，圆，一中同长也一中同长也”的记载．它的的记载．它的意思是圆上各意思是圆上各点到圆心的距点到圆心的距离都等于半径离都等于半径．．圆的概念：圆的概念：必须掌握必须掌握小资料小资料（（1）圆上各点到定点（圆心）圆上各点到定点（圆心O）的距离）的距离都等于定长（半径都等于定长（半径r）；）； 归纳：归纳：圆心为圆心为O O、半径为、半径为r r的圆的圆可以看成是所有到定点可以看成是所有到定点O O的距离等于定的距离等于定长长r r 的点的集合．的点的集合．圆的规律：圆的规律：（（2）到定点的距离等于定长的点都在同）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．一个圆上．必须掌握必须掌握小资料小资料动态动态：在一个平面内，线段：在一个平面内，线段OA绕它绕它固定的一个端点固定的一个端点O旋转一周，另一个旋转一周，另一个端点端点A所形成的图形叫做所形成的图形叫做圆圆．．静态静态：圆心为：圆心为O、半径为、半径为r的圆可以的圆可以看成是所有到定点看成是所有到定点O的距离等于定长的距离等于定长r 的点组成的图形．的点组成的图形．必须掌握必须掌握小资料小资料圆的两种定义：圆的两种定义：------------强化训练强化训练-------------- 矩形矩形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC，，BDBD相交于一点相交于一点O O，求证：，求证：A,B,C,DA,B,C,D四个点在以点四个点在以点O O为圆心的一为圆心的一个圆上。

个圆上A AB BC CD DO O∵∵四边形四边形ABCDABCD是矩是矩 ∴∴OA=OC=AC / 2OA=OC=AC / 2 OB=OD=BD /2 OB=OD=BD /2 AC=BD AC=BD∴OA=OC=OB=OD∴OA=OC=OB=OD∴A,B,C,D,∴A,B,C,D,四个点在以点四个点在以点O O为为圆心，圆心，OAOA为半径的圆上为半径的圆上证明：证明： 把车轮做成圆形，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，，当车轮在平面上滚动时，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面车轮中心与平面的距离保持不变的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．这也是车轮都做成圆形的数学道理．车轮为什么均做成圆形？车轮为什么均做成圆形？------------强化训练强化训练-------------- 2、、经过圆心的弦（如图中的经过圆心的弦（如图中的AB）叫做）叫做直径；直径；1、连接圆上任意两点的线段（如图、连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做）叫做弦；弦；必修掌握必修掌握3、圆上任意两点间的部分叫做、圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧．以．以A、、B为端为端点的弧记作点的弧记作 ⌒⌒ ，读作，读作“圆弧圆弧AB”或或“弧弧AB”。

4、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做条弧都叫做半圆6、大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的、大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ⌒⌒ ）叫做）叫做优弧优弧5、小于半圆的弧（如图中的、小于半圆的弧（如图中的 ⌒⌒ ）叫做）叫做劣弧；劣弧；阅读教材，根据图形，理解下列概念：阅读教材，根据图形，理解下列概念：·AOCBABABACACABCABC判断下列说法的正误：判断下列说法的正误：(1)(1)弦是直径；弦是直径；(2)(2)半圆是弧；半圆是弧；(3)(3)过圆心的线段是直径；过圆心的线段是直径；(7)(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; ;(8)半径相等的两个圆是等圆半径相等的两个圆是等圆.(4)(4)过圆心的直线是直径；过圆心的直线是直径；(5)(5)半圆是最长的弧；半圆是最长的弧；(6)(6)直径是最长的弦；直径是最长的弦；( )( )( )( )( )( )( )( )------------强化训练强化训练--------------如如何在操场上画一个半径是何在操场上画一个半径是5m5m的的圆？说出你的理由圆？说出你的理由首先确定圆心首先确定圆心, , 然后用然后用5 5米长的绳米长的绳子一端固定为圆心端子一端固定为圆心端, ,另一端系在另一端系在一端尖木棒一端尖木棒, ,木棒以木棒以5 5米长尖端划米长尖端划动一周动一周, ,所形成的图形就是所画的所形成的图形就是所画的圆圆. .解：根解：根据圆的形成定义据圆的形成定义------------强化训练强化训练--------------你你见过树木的年轮吗见过树木的年轮吗?从树木的年轮从树木的年轮,可可以很清楚的看出树木生长的年龄以很清楚的看出树木生长的年龄,如果如果一棵一棵20年树龄的红杉树的树干直径是年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径每年增加多少这棵红杉树的半径每年增加多少?.解解: 23÷2÷20=0.575cm ------------强化训练强化训练--------------如图，请正确的如图，请正确的方方式表式表示出以点示出以点A A为为端端点的点的优弧及劣弧优弧及劣弧. . ⌒⌒ACD⌒⌒⌒⌒ ⌒⌒ACFADEADCACAEAFAD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒------------强化训练强化训练--------------FEDCBAOI优弧：优弧：劣弧：劣弧： 第二十四章第二十四章《《圆圆》》§24.1圆的有关性质圆的有关性质（第二课时：垂直于弦的直径）（第二课时：垂直于弦的直径）　　　　如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合互相重合，这个图形就叫做，这个图形就叫做轴对称图形轴对称图形，这条直，这条直 线就是它的线就是它的对对称轴称轴．这时，我们也说这个图形关于这条．这时，我们也说这个图形关于这条 直线（成轴）对称直线（成轴）对称．．回忆一下回忆一下复习小结复习小结　　把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图　　把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形形重合重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴），那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称对称，这，这条直线叫做条直线叫做对称轴对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点对称点．． 整体还是整体还是轴对称图轴对称图形形回忆一下回忆一下复习小结复习小结回忆一下回忆一下复习小结复习小结结论结论4 4：：成轴对称的两个图形任意对称的直线必定成轴对称的两个图形任意对称的直线必定平行或相交，且交点必定在对称轴上平行或相交，且交点必定在对称轴上结论结论1 1：：成轴对称的两个图形必定全等成轴对称的两个图形必定全等结论结论2 2：：成轴对称的两个图形的任意两对称点间成轴对称的两个图形的任意两对称点间的线段长度相等必定全等的线段长度相等必定全等结论结论3 3：：成轴对称的两个图形的任意两对应角必成轴对称的两个图形的任意两对应角必定全等定全等结论结论5 5：：成轴对称的两个图形任意两对称点的连线成轴对称的两个图形任意两对称点的连线必定垂直于对称轴，且两对称点到对称轴的距离必定相等必定垂直于对称轴，且两对称点到对称轴的距离必定相等回忆一下回忆一下复习小结复习小结 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的是任何一对对应点所连线段的垂直平分线垂直平分线；反过；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴称轴垂直平分垂直平分。

经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的叫做这条线段的垂直平分线垂直平分线，又叫做线段的，又叫做线段的中垂线中垂线轴对称的性质：轴对称的性质：线段的垂直平分线线段的垂直平分线：：回忆一下回忆一下复习小结复习小结1、、经过这条条线段的中点段的中点2、与、与这条条线段垂直 线段的垂直平分线是线段的垂直平分线是直直线线，且必须同时满足两个条件且必须同时满足两个条件OABl回忆一下回忆一下复习小结复习小结 小组活动：做一小组活动：做一做做 实验：实验：把一个圆沿着它的任意一条直径对把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？哈哈！完哈哈！完全重合全重合结论：结论：圆是圆是轴对称图形，轴对称图形，任何任何一条直径所在的直线都是圆的一条直径所在的直线都是圆的对称轴对称轴哈哈！完哈哈！完全重合全重合做一做做一做证明：证明：圆是轴对称图形，任何一条直径所圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴在的直线都是圆的对称轴分析：分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上。

点也在圆上A A’’M MD DA AC CO O证明：证明：设设CDCD是是⊙⊙O O的任意一条直径，的任意一条直径，A A为为⊙⊙O O上点上点C C，过点，过点A A作作AAAA’’⊥CD⊥CD，交，交⊙⊙O O于点于点A A’’，垂足为，垂足为M M，连接，连接OA,OAOA,OA’’. .∵∵OA=OAOA=OA’’ ∴△OAA ∴△OAA’’是等腰三角形是等腰三角形又又AAAA’’ ⊥CD ∴AM=MA ⊥CD ∴AM=MA’’∴∴CDCD是是AAAA’’的垂直平分线，即对于圆上任意的垂直平分线，即对于圆上任意一点一点A A，在圆上都有关于直线，在圆上都有关于直线CDCD的对称点的对称点A A’’，因此圆关于直线，因此圆关于直线CDCD对称圆周关于圆周关于CDCD对折后完全重合对折后完全重合弦、直径、弧之弦、直径、弧之间有何关系？间有何关系？结论结论1 1：：圆是轴对称图形，任何一条直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．所在直线都是它的对称轴．结论结论2 2（垂径定理）：（垂径定理）：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．弦，并且平分弦所对的两条弧．结论结论3 3：：平分弦（不是直径）的直径垂直平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧于弦，并且平分弦所对的两条弧．．【【做一做做一做】】解得：解得：R≈27．．3（（m））ODABCR在在Rt△△OAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.52+（（R－－7.23））2因此，赵州桥的主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.OA2=AD2+OD2AB=37cm，，CD=7.23cm，，OD=OC－－CD=R－－7.23解：在图中解：在图中 赵洲桥是我国隋代建造的石拱桥赵洲桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有距今约有1400多年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．多年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.23m，求赵洲，求赵洲桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）------------强化训练强化训练--------------根据实物图画根据实物图画出几何图形出几何图形如图，如图，ABAB是是⊙⊙O O的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CD⊥ABCD⊥AB于于E E，，则下列结论中不成立的是（则下列结论中不成立的是（ C C ））A、、∠∠COE=∠DOEOE=∠DOEB、、CE=DECE=DEC、、OE=AEOE=AED、、BD=BCBD=BC⌒⌒ ⌒⌒·OABECD------------强化训练强化训练--------------如图，如图，OE⊥ABOE⊥AB于于E E，若，若⊙⊙O O的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB= cmcm。

·OABE解：解：连接连接OAOA，，∵ ∵ OE⊥ABOE⊥AB∴∴∴ ∴ AB=2AE=16cmAB=2AE=16cm------------强化训练强化训练--------------如图，如图，CDCD是是⊙⊙O的直径，弦的直径，弦ABAB⊥CD⊥CD于于E E，，CE=1CE=1，，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的长·OABECD解：解：连接连接OAOA，，∵ ∵ CDCD是直径，是直径，OE⊥ABOE⊥AB∴ ∴ AE=1/2 AB=5AE=1/2 AB=5设设OA=xOA=x，则，则OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13∴ ∴ OA=13OA=13∴ ∴ CD=2OA=26CD=2OA=26即直径即直径CDCD的长为的长为26.26.------------强化训练强化训练--------------如图，在如图，在⊙ ⊙O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求⊙ ⊙O的半径．的半径．·OABE解：解：答：答：⊙ ⊙O的半径为的半径为5cm.------------强化训练强化训练--------------如图，在如图，在⊙ ⊙O中，中，AB、、AC为互相垂直且相等的两条为互相垂直且相等的两条弦，弦，OD⊥⊥AB于于D，，OE⊥⊥AC于于E，求证四边形，求证四边形ABOE是正方形．是正方形．·OABCDE证明：证明：∴∴四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又　又　∵∵AC=AB∴∴ AE=AD∴∴ 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.------------强化训练强化训练--------------已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的为圆心的两个同心圆中，大圆的弦两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，，D两点。

两点求证：求证：AC＝＝BD证明：过证明：过O作作OE⊥⊥AB，垂足为，垂足为E，， 则则AE＝＝BE，，CE＝＝DE AE－－CE＝＝BE－－DE 所以，所以，AC＝＝BDE.ACDBO------------强化训练强化训练-------------- 第二十四章第二十四章《《圆圆》》§24.1圆的有关性质圆的有关性质（第三课时：弧、弦、圆心角）（第三课时：弧、弦、圆心角）1、连接圆上任意两点的线段（如图、连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做）叫做弦；弦；回忆一下回忆一下2、圆上任意两点间的部分叫做、圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧．以．以A、、B为端为端点的弧记作点的弧记作 ⌒⌒ ，读作，读作“圆弧圆弧AB”或或“弧弧AB”4、大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的、大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ⌒⌒ ）叫做）叫做优弧优弧3、小于半圆的弧（如图中的、小于半圆的弧（如图中的 ⌒⌒ ）叫做）叫做劣弧；劣弧；想一想、说一说：想一想、说一说：·AOCBABABACACABCABC5、顶点在圆心的角叫做、顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角（如图（如图∠∠AOCAOC））弧、弦、圆弧、弦、圆心角之间有心角之间有何关系？何关系？圆的中心对称性圆的中心对称性（（1）若将圆以圆心为旋转中心，旋转）若将圆以圆心为旋转中心，旋转180°，你能发现什么？，你能发现什么？圆绕其圆心旋转圆绕其圆心旋转180°后能与原来图形相重合。

后能与原来图形相重合因此，因此，圆是中心对称图形，对称中心是圆心圆是中心对称图形，对称中心是圆心圆绕圆心旋转任意角度圆绕圆心旋转任意角度α，都能够与原来的图形重合都能够与原来的图形重合圆具有旋转不变性圆具有旋转不变性（（2）若旋转角度不是）若旋转角度不是180°，而是旋转，而是旋转任意角度，则旋转过后的图形能与原图形任意角度，则旋转过后的图形能与原图形重合吗？重合吗？ θθ 小组活动：做一小组活动：做一做做解析：解析：根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角∠∠AOB绕圆心绕圆心O旋转，使射线旋转，使射线OA与与OA’重合∵∵ ∠∠AOB＝＝∠∠A′OB′∴∴射线射线 OB与与OB′重合．又重合．又OA=OA′，，OB=OB′，，∴∴点点 A与与 A′重合，重合，B与与B′重合．重合．∴∴　　　　　　　　　　 重合，重合，AB与与A′B′重合重合．．在⊙ ⊙O中，当圆心角∠∠AOB= ∠∠A’OB’时，它们所对的弧AB与A’B’，弦AB与弦A’B’相等吗？⌒⌒A’·OABB’【【做一做做一做】】弧、弦与圆心角的关系定理：弧、弦与圆心角的关系定理： 在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．对的弧相等，所对的弦也相等．同圆或等同圆或等圆中，两圆中，两个圆心角个圆心角、两条弧、两条弧、两条弦、两条弦中有一组中有一组量相等，量相等，它们所对它们所对应的其余应的其余各组量也各组量也相等．相等．必须掌握必须掌握小资料小资料 在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的两条弧所相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的两条弦所相等的两条弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．对的圆心角相等，所对的弧也相等．①①②②③③ 如图，如图，AB、、CD是是⊙ ⊙O的两条弦．的两条弦．（（1）如果）如果AB=CD，那么，那么___________，，_________________．．（（2）如果）如果 ，那么，那么____________，，_____________．．（（3）如果）如果∠∠AOB=∠∠COD，那么，那么_____________，，_________．．（（4）如果）如果AB=CD，，OE⊥⊥AB于于E，，OF⊥⊥CD于于F，，OE与与OF相等吗相等吗？为什么？？为什么？·CABDEFOAB=CDAB=CD证明：证明：∵∵ OE⊥⊥AB OF ⊥⊥CD ∵∵ AB﹦CD ∴∴ AE﹦CF ∵∵ OA﹦OC ∴∴ RT△△AOE≌ ≌RT △△COF ∴∴ OE﹦OF1212------------强化训练强化训练--------------证明：证明：∴∴ AB=AC．．△△ABCABC是是等腰三角形等腰三角形又又∠∠ACB=60°∴∴ △△ABCABC是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CA.∴∴ ∠∠AOB＝＝∠∠BOC＝＝∠∠AOC.∵∵ 如图，在如图，在⊙ ⊙O中，中， ,∠∠ACB=60°,求证求证∠∠AOB=∠∠BOC=∠∠AOC·OBAC------------强化训练强化训练--------------如图，如图，AB是是⊙ ⊙O 的直径，的直径， ∠∠COD=35°，求，求∠∠AOE 的度数．的度数．·AOBCDE解：解：∵∵------------强化训练强化训练-------------- 第二十四章第二十四章《《圆圆》》§24.1圆的有关性质圆的有关性质（第四课时：圆周角）（第四课时：圆周角）顶点顶点在在圆心圆心的角叫的角叫圆心角圆心角圆心角圆心角。

下图中象下图中象∠∠ACBACB有什么特点？有什么特点？你能仿照圆心角的定义，给你能仿照圆心角的定义，给∠∠ACB ACB 这样的角下个定义吗？这样的角下个定义吗？顶点顶点在在圆上圆上，并且，并且两边两边都和都和圆圆相交相交的角叫做的角叫做圆周角圆周角圆周角圆周角．． 特征：特征：①① 角的顶点在圆上角的顶点在圆上.②② 角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.必须掌握必须掌握判断下列图形中所画的判断下列图形中所画的∠∠P是否为圆周角？是否为圆周角？PPPP不是不是是是不是不是不是不是顶点不在顶点不在圆上顶点在圆上，顶点在圆上，两边和圆相两边和圆相交两边不和两边不和圆相交有一边和圆有一边和圆不相交趁热打铁趁热打铁】】ABCO【【做一做做一做】】 如图圆周角如图圆周角∠∠BACBAC与圆心角与圆心角∠∠BOCBOC所对所对的是同一条弧的是同一条弧⌒⌒他们之间是不是有何规律？他们之间是不是有何规律？BCBC量一量，有量一量，有何发现？何发现？太神奇了！太神奇了！∠∠BOC=2∠BACBOC=2∠BAC，同，同弧所对圆周角与圆心角之间是弧所对圆周角与圆心角之间是不是都有这一规律呢？不是都有这一规律呢？一一个个圆同弧所对的圆同弧所对的圆心圆心与与圆周角圆周角可能可能有三种关系：有三种关系：ABCOABCOABCO【【想一想想一想】】太神奇了！太神奇了！∠∠BOC=2∠BACBOC=2∠BAC，，任然成立。

任然成立如图，圆心如图，圆心O在在∠∠BAC的边的边BA上，证明上，证明∠∠BAC= ∠∠BOCAOBC证明：证明：由于由于OA=OC因此因此∠∠C=∠∠BAC而而∠∠BOC=∠∠BAC+∠∠C所以所以∠∠BAC= ∠∠BOC12 理论证明理论证明12如图，圆心如图，圆心O在在∠∠BAC的内部，证明的内部，证明∠∠BAC= ∠∠BOC 理论证明理论证明OABCD证明：证明：作直径作直径AD.由于由于∠∠BAD= ∠∠BOD∠∠DAC= ∠∠DOC，，12所以所以∠∠BAD+∠∠DAC= （（∠∠BOD+∠∠DOC））12即即∠∠BAC= ∠∠BOC12OABCD证明：证明：作直径作直径AD.由于由于∠∠DAB= ∠∠DOB∠∠DAC= ∠∠DOC，，所以所以∠∠DAC-∠∠DAB= （（∠∠DOC-∠∠DOB））即即∠∠BAC= ∠∠BOC12如图，圆心如图，圆心O在在∠∠BAC的外部，证明的外部，证明∠∠BAC= ∠∠BOC 理论证明理论证明12121212圆周角定理：圆周角定理： 一条弧所对的圆周角一条弧所对的圆周角等于它所对所对的圆心等于它所对所对的圆心角的一半。

角的一半必须掌握必须掌握】】 如图所示，如果两条弧如图所示，如果两条弧 = ，它，它们所对的圆周角一定相等吗？们所对的圆周角一定相等吗？结论：结论：同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等【【想一想想一想】】ABCOF FE EG G⌒⌒BCBC⌒⌒EFEF证明：证明：∵∵ =⌒⌒BCBC⌒⌒EFEF ∴∴∠∠EOFEOF=∠BOC∠BOC 又又∵∠∵∠EOFEOF=2∠EGF∠EGF ∠∠BOCBOC=2∠BAC∠BAC ∴∴∠∠EGFEGF=∠BAC∠BAC如图所示，线段如图所示，线段ABAB是是⊙O⊙O的直径，点的直径，点C C是是⊙O⊙O上任上任意一点（除点意一点（除点A A、、B B），则直径），则直径ABAB所对的圆周角所对的圆周角∠∠ACBACB等于多少度？等于多少度？ 【【想一想想一想】】ACBO解：解：∵∵OAOA＝＝OBOB＝＝OCOC，， ∴∴ ∴∴∠∠ACB＝＝∠∠OCA＋＋∠∠OCB＝＝900又又∵∵∠∠OAC＋＋∠ ∠OBC＋＋∠ ∠ACB＝＝180°∠ ∠OAC＝＝∠ ∠OCA，， ∠ ∠OBC＝＝∠ ∠OCB.结论：结论：半圆或直径所对的圆周角是直角，半圆或直径所对的圆周角是直角， 900的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径规律：规律：在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果①①两个圆心角两个圆心角, ,②②两个圆周两个圆周角角③③两条弧两条弧, , ④④两条弦两条弦, , ⑤⑤两条弦心距两条弦心距中中, ,有一组量有一组量相等相等, ,那么它们所对应的其那么它们所对应的其余各组量都分别相等余各组量都分别相等. .必须掌握必须掌握小资料小资料如图，如图，⊙ ⊙O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，，∠∠ACB平分线交平分线交⊙ ⊙O于于D，求，求BC、、AD、、BD的长．四边形的长．四边形 ACBD的面积的面积.又在又在Rt△△ABD中，中，AD2+BD2=AB2，，解：连接解：连接OD∵∵AB是直径，是直径，∴∴ ∠∠ACB= ∠∠ADB=90°．．在在Rt△△ABC中，中，∵∵CD平分平分∠∠ACB，，∴∴AD=BD.∴∴AD=BD.⌒⌒⌒⌒OABCD------------强化训练强化训练--------------圆内接多边形圆内接多边形:所有顶所有顶点都在同一圆上的多点都在同一圆上的多边形。

这个圆叫做这边形这个圆叫做这个个多边形的外接圆多边形的外接圆 如图所示，四边形如图所示，四边形ABCDABCD是是⊙⊙O O的内接四边的内接四边形，形， ⊙ ⊙O O是四边形是四边形ABCDABCD的外接圆，的外接圆，题后反思题后反思小资料小资料O·BCAD四边形四边形ABCDABCD的四个的四个角有何关系？角有何关系？ 如图所示，四边形如图所示，四边形ABCDABCD是是⊙⊙O O的内接四边形，试分析其两的内接四边形，试分析其两组对角的关系组对角的关系O·BCAD做一做做一做 解：解：连接连接OB,ODOB,OD ∵∠∵∠A A所对的弧为所对的弧为BCD, BCD, ∠∠C C所对所对的弧为的弧为BAD,BAD,而这两弧所对的圆心角的和而这两弧所对的圆心角的和是周角是周角结论：结论：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补如图，在如图，在⊙ ⊙O中，中，∠∠ABC=50°，，则则∠∠AOC等于（等于（ ））A、、50°；； B、、80°；；C、、90°；； D、、100°ACBOD如图，如图，△△ABC是等边三角形，是等边三角形，动点动点P在圆周的劣弧在圆周的劣弧AB上，且不上，且不与与A、、B重合，则重合，则∠∠BPC等于（等于（ ））A、、30°；； B、、60°；；C、、90°；； D、、45°CABPB------------强化训练强化训练-------------- 如图，点如图，点A A、、B B、、C C、、D D在同一个圆上，四边在同一个圆上，四边形形ABCDABCD的对角线把的对角线把4 4个内角分成个内角分成8 8个角，这些个角，这些角中哪些是相等的角？角中哪些是相等的角？ABDC12345678∠∠1 = ∠∠4∠∠5 = ∠∠8∠∠2 = ∠∠7∠∠3 = ∠∠6------------强化训练强化训练--------------如图，你能设法确定一个如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流多少种方法？与同学交流一下．一下．DABCOOO·方法一方法一方法二方法二方法三方法三方法四方法四AB------------强化训练强化训练-------------- 如图，如图，P P是是 圆上的一点圆上的一点∠∠APC=∠∠CPB=60°。

求证：求证：△△ABC是等边三角形是等边三角形··APBCO证明：证明：∵∠∵∠ABC和和∠∠APC 都是都是 ⌒⌒ 所对的圆周角所对的圆周角 AC∴∠∴∠ABC=∠∠APC=60°(同弧所对的圆周角相等）同弧所对的圆周角相等）同理，同理，∵∠∵∠BAC和和∠∠CPB都是都是 ⌒⌒ 所对的圆周角，所对的圆周角，BC ∴∠∴∠BAC=∠∠CPB=60°∴△∴△ABC等边三角形等边三角形强化训练强化训练--------------已知：如图，在已知：如图，在△△ABC中，中，AB=AC,以以AB为直为直径的圆交径的圆交BC于于D,交交AC于于E,求证：求证：⌒⌒　　⌒⌒BD=DE证明：证明：连结连结AD.∵∵AB是圆的直径，点是圆的直径，点D在圆上，在圆上，∴∠∴∠ADB=90°，，∴∴AD⊥⊥BC，，∵∵AB=AC，，∴∴AD平分顶角平分顶角∠∠BAC，即，即∠∠BAD=∠∠CAD，，∴∴ ⌒⌒ ⌒⌒BD= DE（（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧等）同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧等）ABCDE------------强化训练强化训练--------------·ABCO求证：求证： △△ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：CO= AB,以以AB为直径作为直径作⊙ ⊙O，，∵∵AO=BO，，∴∴AO=BO=CO.∴∴点点C在在⊙ ⊙O上上.又又∵∵AB为直径为直径,∴∠∴∠ACB=90°.已知：已知：△△ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线， 且且CO= AB∴∴ △△ABC 为直角三角形为直角三角形.------------强化训练强化训练-------------- 第二十四章第二十四章《《圆圆》》§24.2点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系（第一课时：点和圆的位置关系）（第一课时：点和圆的位置关系） 我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图，它是由许多同心得荣誉，图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？解决这个问题要研究解决这个问题要研究点和圆的位置关系．点和圆的位置关系．【【想一想想一想】】容易看出容易看出：：OC > r.观察图中点观察图中点A A，点，点B B，点，点C C与圆的位置关系？与圆的位置关系？点点C在圆外：在圆外：点点A在圆内：在圆内：点点B在圆上：在圆上：OA < r，，OB = r，，火眼金睛火眼金睛CBrOA· 设设⊙⊙O O 的的半半径径为为r r，，点点P P到到圆心的距离圆心的距离OP=OP=d d，，则有：则有：点点P在在⊙ ⊙O内内 点点P在在⊙ ⊙O上上 点点P在在⊙ ⊙O外外 点与圆的位置关系点与圆的位置关系d＜＜r d=r d＞＞r必须掌握必须掌握·ArOPPP符号符号 读作读作“等价于等价于”，，它表示从符号的左端可以它表示从符号的左端可以得到右端从右端也可以得得到右端从右端也可以得到左端．到左端．点与圆的位置关系点与圆的位置关系圆外的点圆外的点圆内的点圆内的点圆上的点圆上的点 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点。

圆的内部可以看成是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是 到圆心的距离大于半径的点的集合必须掌握必须掌握 射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，他们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示．弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩越好.你知道击中靶上不同你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计位置的成绩是如何计算的吗算的吗 ？？【【趁热打铁趁热打铁】】 1、、⊙ ⊙O的半径的半径10cm，，A、、B、、C三点到圆心的距离分别为三点到圆心的距离分别为8cm、、10cm、、12cm，，则点则点A、、B、、C与与⊙ ⊙O的位置关系是：的位置关系是：点点A在在 ；点；点B在在 ；点；点C在在 2、、⊙ ⊙O的半径的半径6cm，当，当OP=6时，点时，点A在在 ；；当当OP 时点时点P在圆内；当在圆内；当OP 时，点时，点P不在圆外。

不在圆外 3、正方形、正方形ABCD的边长为的边长为2cm，以，以A为圆心为圆心2cm为半为半径作径作⊙ ⊙A，，则点则点B在在⊙ ⊙A ；点；点C在在⊙ ⊙A ；点；点D在在⊙ ⊙A 圆内圆内圆上圆上圆外圆外圆上圆上＜＜6≤6上上外外上上 4、已知、已知AB为为⊙ ⊙O的的直径直径P为为⊙ ⊙O 上任意一点，则点关上任意一点，则点关于于AB的对称点的对称点P′与与⊙ ⊙O的位置为的位置为( ) (A)在在⊙ ⊙O内内 (B)在在⊙ ⊙O 外外 (C)在在⊙ ⊙O 上上 (D)不能确定不能确定c------------强化训练强化训练--------------如图已知矩形如图已知矩形ABCD的边的边AB=3厘米，厘米，AD=4厘米厘米（（1 1）以点）以点A A为圆心，为圆心，3 3厘米为半径厘米为半径作圆作圆A A，，则点则点B B、、C C、、D D与圆与圆A A的位置的位置关系如何？关系如何？(B(B在圆上，在圆上，D D在圆外，在圆外，C C在圆外在圆外) )（（2 2）以点）以点A A为圆心，为圆心，4 4厘米为半厘米为半径作圆径作圆A A，，则点则点B B、、C C、、D D与圆与圆A A的的位置关系如何？位置关系如何？(B(B在圆内，在圆内，D D在圆上，在圆上，C C在圆外在圆外) )（（3 3）以点）以点A A为圆心，为圆心，5 5厘米为半径作圆厘米为半径作圆A A，，则点则点B B、、C C、、D D与圆与圆A A的位置关系如何？的位置关系如何？(B(B在圆内，在圆内，D D在圆内，在圆内，C C在圆上在圆上) )ADCB------------强化训练强化训练-------------- 平面上有一点平面上有一点A A，，经过已知经过已知A A点的圆有几点的圆有几个？圆心在哪里？个？圆心在哪里？ ●O●A●O●O●O●O 无数个，圆心为点无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这以外任意一点，半径为这点与点点与点A的距离的距离【【想一想想一想】】 平面上有两点平面上有两点A A、、B B，，经过已知点经过已知点A A、、B B的圆有几的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？个？它们的圆心分布有什么特点？ ●O● O●O●OAB以线段以线段ABAB的垂直平分线上的任意一点为的垂直平分线上的任意一点为圆心圆心, ,以这点以这点到到A A或或B B的距离为的距离为半径半径作圆作圆. .无数个。

它们的圆心都段无数个它们的圆心都段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上想一想想一想】】结论结论：：不在同一条直线上不在同一条直线上的三个点确定一个圆的三个点确定一个圆 如图如图 三点三点A、、B、、C不在同一条直线上，因为所求的圆要经过不在同一条直线上，因为所求的圆要经过A、、B、、C三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要段三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要段AB的垂直的平分线上，又要段的垂直的平分线上，又要段BC的垂直的平分线上．的垂直的平分线上．l23.以点以点O为圆心，为圆心，OA（或（或OB、、OC）为）为半径作圆，便可以作出经过半径作圆，便可以作出经过A、、B、、C的圆．的圆．1.分别连接分别连接AB、、BC、、AC；；2. 分别作出线段分别作出线段AB的垂直平分线的垂直平分线l1和和l2，设他们的交点为，设他们的交点为O ，则，则OA=OB=OC；；由于过由于过A、、B、、C三点的圆的圆心只能是点三点的圆的圆心只能是点O，半径等于，半径等于OA，，所以这样的圆只能有一个，即所以这样的圆只能有一个，即必须掌握必须掌握小资料小资料画圆过程：画圆过程：1.分别连接分别连接AB、、BC、、AC；；·Cl1OAB经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

三角形的外心就是三角形三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分三条边的垂直平分线的交点线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等它到三角形三个顶点的距离相等 这个三角形叫做这个圆的这个三角形叫做这个圆的内内接三角形接三角形 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心●OABC必须掌握必须掌握小资料小资料 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O必须掌握必须掌握小资料小资料经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？l1l2ABCP 如图，假设过同一条直线如图，假设过同一条直线l上三上三点点A、、B、、C可以做一个圆，设这个可以做一个圆，设这个圆的圆心为圆的圆心为P，那么点，那么点P既段既段AB的垂直平分线的垂直平分线l1上，又段上，又段BC的的垂直平分线垂直平分线l2上，即点上，即点P为为l1与与l2的交的交点，而点，而l1⊥⊥l，，l2⊥⊥l这与我们以前学这与我们以前学过的过的“过一点有且只有一条直线与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以过同一已知直线垂直相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能做圆．条直线上的三点不能做圆．【【趁热打铁趁热打铁】】分析：分析： 上面的证明上面的证明“过同一条直线上的三点过同一条直线上的三点不能做圆不能做圆”的方法与我门以前学过的证明不的方法与我门以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得结论，而是同，它不是直接从命题的已知得结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一条直假设命题的结论不成立（即假设过同一条直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理线上的三点可以作一个圆），由此经过推理的出矛盾，由矛盾判定假设不正确，从而得的出矛盾，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做到原命题成立，这种方法叫做反证法反证法．．必须掌握必须掌握小资料小资料 如图，如图，CD所在的直线垂直平分线段所在的直线垂直平分线段AB，，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．DABCO解：解：∵∵A、、B两点在圆上，所两点在圆上，所以圆心必与以圆心必与A、、B两点的距离两点的距离相等，相等，又又∵∵和一条线段的两个端点距和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直离相等的点在这条线段的垂直平分线上，平分线上，所以圆心在所以圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心直径，它们的交点为圆心.------------强化训练强化训练-------------- 任意四个点是不是可以画一个圆？请举例说明任意四个点是不是可以画一个圆？请举例说明. 不一定不一定(1) (1) 四点在一条直线上不能作圆；四点在一条直线上不能作圆；四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能做不出四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能做不出一个圆一个圆.ABCDABCDABCDABCD(2)(2)三点在同一直线上三点在同一直线上, , 另一点不在这条直线上不能做圆；另一点不在这条直线上不能做圆；------------强化训练强化训练-------------- 第二十四章第二十四章《《圆圆》》§24.2点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系（第二课时：直线和圆的位置关系）（第二课时：直线和圆的位置关系） 设设⊙⊙O O 的的半半径径为为r r，，点点P P到到圆心的距离圆心的距离OP=OP=d d，，则有：则有：点点P在在⊙ ⊙O内内 点点P在在⊙ ⊙O上上 点点P在在⊙ ⊙O外外 点与圆的位置关系点与圆的位置关系d＜＜r d=r d＞＞r回忆一下回忆一下·ArOPPP《《使至塞上使至塞上》》作者：作者：王维王维 单车欲问边，单车欲问边， 属国过居延。

属国过居延征蓬出汉塞，征蓬出汉塞， 归雁入胡天归雁入胡天大漠孤烟直，大漠孤烟直， 长河落日圆长河落日圆萧关逢候骑，萧关逢候骑， 都护在燕然都护在燕然 诗里数学知多少诗里数学知多少地地平平线线两图形有多两图形有多少公共点？少公共点？.OL特点：特点：.O叫做直线和圆叫做直线和圆相离相离直线和圆没有公共点，直线和圆没有公共点，L特点：特点：直线和圆有唯一的公共点，直线和圆有唯一的公共点，叫做直线和圆叫做直线和圆相切相切这时的直线叫这时的直线叫切线切线，， 唯一的公共点叫唯一的公共点叫切点切点OL特点：特点：直线和圆有两个公共点，直线和圆有两个公共点，叫直线和圆叫直线和圆相交相交，，这时的直线叫做圆的这时的直线叫做圆的割线割线 直线与圆的位置关系( ( ( (图形特征图形特征图形特征图形特征----------------用公共点的个数来区分）.A.A.B切点切点必须掌握必须掌握小资料小资料直线与圆相离、相切、相交的定义：直线与圆相离、相切、相交的定义： 直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的，即直线与圆没有公共点、来定义的，即直线与圆没有公共点、只有只有一个公共点、一个公共点、有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。

有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交思考：一条直线和一个圆，如果有公共点能不能多于思考：一条直线和一个圆，如果有公共点能不能多于两个呢？两个呢？相离相离相交相交相切相切切点切点切线切线割线割线交点交点交点交点必须掌握必须掌握小资料小资料 １１、直线与圆最多有两个公共点、直线与圆最多有两个公共点 … （　）（　） √×3 、若、若A是是⊙ ⊙O上一点，上一点， 则直线则直线AB与与⊙ ⊙O相切相切 ).A.O２２、若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内 ) 4 、若、若C为为⊙ ⊙O外的一点，则过点外的一点，则过点C的直线的直线CD与与 ⊙ ⊙O 相交或相离相交或相离………（（ ））××.C【【趁热打铁趁热打铁】】 除了用公共点的个数来除了用公共点的个数来区分区分直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系外外,能否像能否像点和圆的位置点和圆的位置关系一样用关系一样用数量关系数量关系的方的方法来判断直线与圆的位置法来判断直线与圆的位置关系？关系？换一换思路换一换思路二、二、连结直线外一点与直线所连结直线外一点与直线所有点的线段中有点的线段中,最短的是最短的是______ 一一、直线外一点到这条直线、直线外一点到这条直线 垂线段的长度叫垂线段的长度叫点到直线点到直线 的的距离距离。

垂线段垂线段aD必须掌握必须掌握 .A<<< 观察讨论观察讨论:当直线与圆相离、当直线与圆相离、相切、相交时，相切、相交时，圆心到直线的距圆心到直线的距圆心到直线的距圆心到直线的距离离离离d d与半径与半径r有有何何关系？关系？dr相离相离Adr相切相切H1、、直线与圆相离直线与圆相离 => d>r2、、直线与圆相切直线与圆相切 => d=r3、、直线与圆相交直线与圆相交 => d 5cmd = 5cmd < 5cm0cm≤2103. 3.直线和圆有直线和圆有直线和圆有直线和圆有2 2个交点个交点个交点个交点, ,则直线和圆则直线和圆则直线和圆则直线和圆_________;_________; 直线和圆有直线和圆有直线和圆有直线和圆有1 1个交点个交点个交点个交点, ,则直线和圆则直线和圆则直线和圆则直线和圆_________;_________; 直线和圆有没有交点直线和圆有没有交点直线和圆有没有交点直线和圆有没有交点, ,则直线和圆则直线和圆则直线和圆则直线和圆_________;_________;相交相交相交相交相切相切相切相切相离相离相离相离【【趁热打铁趁热打铁】】在在 Rt△△ABC 中，中，∠∠C = 90°，，AC = 3 cm , BC = 4 cm , 以以 C 为圆心，为圆心，r 为半径的圆与为半径的圆与 AB 有怎样的关系？为什么？有怎样的关系？为什么？（（1））r = 2 cm ; (2) r = 2.4 cm ; (3) r = 3 cm .ACBD解：解：过过 C 作作 CD⊥⊥AB 于于 D，，在在 Rt △△ABC 中中,根据三角形面积公式有根据三角形面积公式有CD · AB = AC · BC即即圆心圆心 C 到到 AB 的距离的距离 d = 2.4 cm.(1) 当当 r = 2 cm 时，时， 有有 d > r ，，因此因此⊙ ⊙C 和和 AB 相离相离. (2) 当当 r = 2.4 cm 时，时，有有 d = r ，，因此因此⊙ ⊙C 和和 AB 相切相切. (3) 当当 r = 3 cm 时，时，有有 d < r ，，因此因此⊙ ⊙C 和和 AB 相交相交. 【【趁热打铁趁热打铁】】在在⊙ ⊙O中中,经过半径经过半径OA的的外端点外端点A作直线作直线L⊥⊥OA,则圆心则圆心O到直线到直线L的距离的距离是多少是多少?______,直线直线L和和⊙ ⊙O有什么位置关系有什么位置关系?_________..OOA AOAOA相切相切相切相切L L 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线.几何语言几何语言几何语言几何语言: : ∵∵∵∵OAOA⊥⊥⊥⊥L L ∴∴∴∴L L是是是是⊙ ⊙ ⊙ ⊙OO的切线的切线的切线的切线必须掌握必须掌握 直线与圆相切实直线与圆相切实例例 直线直线直线直线ABAB经过经过经过经过⊙ ⊙ ⊙ ⊙OO上的点上的点上的点上的点C,C,并且并且并且并且OA=OB,CA=CB,OA=OB,CA=CB, 求证求证求证求证: :直线直线直线直线ABAB是是是是⊙ ⊙ ⊙ ⊙OO的切线的切线的切线的切线. .证明证明: 连接连接OC∵∵∵∵OA=OB, CA=CBOA=OB, CA=CB∴△∴△∴△∴△OABOAB是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形,OC,OC 是底边是底边是底边是底边ABAB上的中线上的中线上的中线上的中线∴∴∴∴OCOC⊥⊥⊥⊥ABAB∴∴∴∴ABAB是是是是⊙ ⊙ ⊙ ⊙OO的切线的切线的切线的切线------------强化训练强化训练--------------O OA AB BC C.OOA AL L 将上页思考中的问题将上页思考中的问题反过来反过来,如果如果L是是⊙ ⊙O的切线的切线,切点为切点为A,那么那么半径半径OA与直线与直线L是不是不是一定垂直呢是一定垂直呢?一定垂直一定垂直一定垂直一定垂直切线的性质定理切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径必须掌握必须掌握 切线长定理切线长定理:如如图：过图：过⊙ ⊙O外一点外一点P有两条直线有两条直线PA、、PB与与⊙ ⊙O相切相切.ABPO在在经过圆外一点的圆的切经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点间的线线上，这点和切点间的线段的长，叫做段的长，叫做切线长切线长.切线长定理：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角夹角.平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.必须掌握必须掌握已知，如图，已知，如图，PA、、PB是是⊙ ⊙O的两条切线，的两条切线，A、、B为切点为切点.直线直线 OP 交交 ⊙ ⊙O 于于点点 D、、E，，交交 AB 于于 C.（（1））写出图中所有的垂直写出图中所有的垂直关系；（关系；（2）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形.（（3）如果）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径求半径 OA 的长的长.AOCDPBE解：解：(1) OA⊥⊥PA , OB⊥⊥PB , OP⊥⊥AB(2) △△OAP ≌△≌△ OBP , △△OCA≌△≌△OCB , △△ACP≌△≌△BCP.(3) 设设 OA = x cm , 则则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在在 Rt△△OAP 中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得解得 x = 3 cm 所以，半径所以，半径 OA 的长为的长为 3 cm. ------------强化训练强化训练-------------- 如图如图如图如图, ,一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮, ,如何在它上面截下如何在它上面截下如何在它上面截下如何在它上面截下一块圆形的用料一块圆形的用料一块圆形的用料一块圆形的用料, ,并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢? ?内切圆和内心的定义内切圆和内心的定义内切圆和内心的定义内切圆和内心的定义: :与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点, ,叫叫叫叫做做做做三角形的内心三角形的内心.【【做一做做一做】】A AB BC CC CB BA AN NM MD DO O作角平分线的交点作角平分线的交点 △△△△ABCABC的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆⊙ ⊙ ⊙ ⊙OO与与与与BCBC、、、、CACA、、、、ABAB分别相切于分别相切于分别相切于分别相切于 点点点点D D、、、、E E、、、、F F，且，且，且，且AB=9cmAB=9cm，，，，BC=14cmBC=14cm，，，，CA=13cmCA=13cm，，，， 求求求求AFAF、、、、BDBD、、、、CECE的长的长的长的长. .解解:设设设设AF=AF=x(cmx(cm), ),则则则则AE=AE=x(cmx(cm) )∴∴∴∴CD=CE=AC-AE=13-xCD=CE=AC-AE=13-x BD=BF=AB-AF=9-x BD=BF=AB-AF=9-x由由由由 BD+CD=BCBD+CD=BC可得可得可得可得 (13-x)+(9-x)=14(13-x)+(9-x)=14解得解得解得解得 x=4x=4∴∴∴∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).------------强化训练强化训练--------------∟∟∟∟∟∟A AB BC CD DE EF FO O 如图：已知如图：已知∠∠ AOB=30°，，M为为OB上一点，且上一点，且OM=5cm，以，以M为圆心，以为圆心，以r为半径的圆与直线为半径的圆与直线OA有怎有怎样的位置关系？为什么？（样的位置关系？为什么？（1））r=2cm; (2)r=4cm; (3)r=2.5cm.解：解：过点过点M作作MN⊥⊥OA于点于点N ∵∵在在Rt△△OMN中，中，∠∠AOB=30°,OM=5cm. ∴∴MN=2.5CM即圆心即圆心M到直线到直线OA的距离的距离d=2.5cm（（1）当）当r=2cm时，时， ∵∵d> r，， ∴⊙∴⊙M与直线与直线OA相离。

相离2）当）当r=4cm时，时， ∵∵d< r，， ∴⊙∴⊙M与直线与直线OA相交3）当）当r=2.5cm时，时， ∵∵d = r，， ∴⊙∴⊙M与直线与直线OA相切 ------------强化训练强化训练--------------NMBOA 第二十四章第二十四章《《圆圆》》§24.3正多边形和圆正多边形和圆 优美的多边形欣优美的多边形欣赏赏各边相等各边相等, ,各角也相等的多边形叫做正多边形各角也相等的多边形叫做正多边形. . 正正n边形边形: :如果一个正多边形有如果一个正多边形有n条边条边, ,那么那么这个正多边形叫做这个正多边形叫做正正n边形边形. .三条边相等三条边相等, ,三个角相等三个角相等(60(60°°).).四条边相等四条边相等, ,四个角相等四个角相等(90(90°°).).正三正三角形角形正方形正方形一、正多边形的定义一、正多边形的定义必须掌握必须掌握小资料小资料正多边形与圆的关系：正多边形与圆的关系： 把一个圆分成把一个圆分成n等份等份,顺次连接各分点就可顺次连接各分点就可以作出这个圆的内接正以作出这个圆的内接正n边形边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆这个圆就是这个正多边形的外接圆.必须掌握必须掌握小资料小资料 如图如图,把把⊙ ⊙O分成把分成把⊙ ⊙O分成相等的分成相等的5段弧段弧,依次连接各分点得到正五边形依次连接各分点得到正五边形ABCDE.∴∴ AB=BC=CD=DE=EA,∴∴ ∠∠A=∠∠B.·ABCDEO同理同理∠∠B=∠∠C=∠∠D=∠∠E.又五边形又五边形ABCDE的顶点都在的顶点都在⊙ ⊙O上上,∴∴ 五边形五边形ABCD是是⊙ ⊙O的内接正五边形的内接正五边形, ⊙ ⊙O是五边形是五边形ABCD的外接圆的外接圆.我们以圆内接正五边形为例证明我们以圆内接正五边形为例证明.∵∵AB=BC=CD=DE=EA∴∴BCE=CDA=3AB【【做一做做一做】】EFCD.. .O O O O中心角半径半径半径半径R R R R边心距r正多边形的中心正多边形的中心正多边形的中心正多边形的中心: : : :一个正多边形的外接圆的圆心一个正多边形的外接圆的圆心一个正多边形的外接圆的圆心一个正多边形的外接圆的圆心. . . .正多边形的半径正多边形的半径正多边形的半径正多边形的半径: : : :外接圆的半径外接圆的半径外接圆的半径外接圆的半径正多边形的中心角正多边形的中心角正多边形的中心角正多边形的中心角: : : :正多边形的每一条边所正多边形的每一条边所正多边形的每一条边所正多边形的每一条边所对的圆心角对的圆心角对的圆心角对的圆心角. . . .正多边形的边心距：正多边形的边心距：正多边形的边心距：正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边中心到正多边形的一边中心到正多边形的一边中心到正多边形的一边 的距离的距离的距离的距离. . . .AB以中心为圆心以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切边心距为半径的圆为正多边形的内切圆圆必须掌握必须掌握小资料小资料EFCD.. .O O中心角中心角中心角中心角A AB BG G G G边心距把△AOB分成2个全等的直角三角形设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.Ra必须掌握必须掌握小资料小资料 有一个亭子有一个亭子,它的地基半径为它的地基半径为4m的正六边形的正六边形,求求地基的周长和面积地基的周长和面积(精确到精确到0.1m2).解解: 如图由于如图由于ABCDEF是正六边形是正六边形,所以所以它的中心角等于它的中心角等于 ，，△△OBC是等边是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半三角形，从而正六边形的边长等于它的半径径.因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长l =4×6=24(m).在在Rt△△OPC中中,OC=4, PC=利用勾股定理利用勾股定理,可得边心距可得边心距亭子地基的面积亭子地基的面积OABCDEFRPr------------强化训练强化训练--------------分别求出半径为分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积边心距和面积.解：作等边解：作等边△△ABC的的BC边上的高边上的高AD,垂足为垂足为D连接连接OB，则，则OB=R在在Rt△△OBD中中,∠∠OBD=30°,在在Rt△△ABD中中,∠∠BAD=30°,·ABCDO∴∴AB=∴∴S△△ABC=边心距＝边心距＝OD=------------强化训练强化训练--------------解：连接解：连接OB，，OC 作作OE⊥⊥BC垂足为垂足为E，， ∠∠OEB=90° ∠∠OBE= ∠∠ BOE=45°在在Rt△△OBE中为等腰直角三角形中为等腰直角三角形·ABCDOE------------强化训练强化训练--------------正多边形正多边形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿轴对称图形，一个正轴对称图形，一个正n n边形共有边形共有＿＿＿＿＿＿条对称轴，每条对称轴都通过条对称轴，每条对称轴都通过正正n n边形的边形的＿＿＿＿。

都是n中心必须掌握必须掌握小资料小资料 边边数是数是偶数偶数的正多边形还是的正多边形还是中心中心对称图形对称图形，它的中心就是对称中心它的中心就是对称中心必须掌握必须掌握小资料小资料 由于正多边形在生产、由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能以会画正多边形应是学生必备能力之一 问题一：怎样画一个半径问题一：怎样画一个半径为为3cm3cm的正五边形呢？的正五边形呢？ 【【想一想想一想】】 你能尺规作出正八边形吗？你能尺规作出正八边形吗？据此你还能作出哪些正多边形？据此你还能作出哪些正多边形？·ABCDO只要作出已知只要作出已知⊙ ⊙O的的互相垂直的直径即得互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与圆心作各边的垂线与⊙ ⊙O相交，或作各中相交，或作各中心角的角平分线与心角的角平分线与⊙ ⊙O相交，即得圆接相交，即得圆接正八边形，照此方法正八边形，照此方法依次可作正十六边形、依次可作正十六边形、正三十二边形、正六正三十二边形、正六十四边形十四边形…… 【【做一做做一做】】 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？二边形吗？OABCEF·D 以半径长在圆以半径长在圆周上截取六段相周上截取六段相等的弧，依次连等的弧，依次连结各等分点，则结各等分点，则作出正六边形作出正六边形. 先作出正六边先作出正六边形，则可作正三形，则可作正三角形，正十二边角形，正十二边形，正二十四边形，正二十四边形形……… 【【做一做做一做】】归纳归纳 ：：（（1）用量角器等分圆周作正）用量角器等分圆周作正n边形；边形； （（2）用尺规作正方形及由此扩）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形展作正八边形, 用尺规作正六边用尺规作正六边形及由此扩展作正形及由此扩展作正12边形、正边形、正三角形．三角形． 必须掌握必须掌握小资料小资料　1、正方形、正方形ABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O叫做正方形叫做正方形ABCD的的______．．　　2、正方形、正方形ABCD的内切圆的内切圆⊙ ⊙O的半径的半径OE叫做正叫做正方形方形ABCD的的______．．　　3、若正六边形的边长为、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中，那么正六边形的中心角是心角是____度，半径是度，半径是___，边心距是，边心距是 ，它，它的每一个内角是的每一个内角是______．．　　4、正、正n边形的一个外角度数与它的边形的一个外角度数与它的______角的角的度数相等．度数相等．中心中心边心距边心距601120°中心中心------------强化训练强化训练--------------5.正多边形一定是正多边形一定是 对称图形对称图形,一个正一个正n边边形共有形共有 条对称轴条对称轴,每条对称轴都通过每条对称轴都通过 ;如果一个正如果一个正n边形是中心对称图形边形是中心对称图形,n一定一定是是 数数.6.将一个正五边形绕它的中心旋转将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要至少要旋转旋转 度度,才能与原来的图形位置重合才能与原来的图形位置重合.7.两个正三角形的内切圆的半径分别为两个正三角形的内切圆的半径分别为12和和18,则它们的周长之比为则它们的周长之比为 ,面积之比面积之比为为 .轴轴n中心中心偶偶722﹕34﹕9------------强化训练强化训练--------------8.下列说法中正确的是下列说法中正确的是( )A.平行四边形是正四边形平行四边形是正四边形 B. 矩形是正四边形矩形是正四边形C. 菱形是正四边形菱形是正四边形 D. 正方形是正四边形正方形是正四边形9. 下列命题中下列命题中,真命题的个数是真命题的个数是( )①①各边都相等的多边形是正多边形各边都相等的多边形是正多边形; ②②各角都相等的多边形是正多边形各角都相等的多边形是正多边形;③③正多边形一定是中心对称图形正多边形一定是中心对称图形; ④④边数相同的正多边形一定全等边数相同的正多边形一定全等.A.1 B.2 C. 3 D. 4DA------------强化训练强化训练--------------10.已知正已知正n边形的一个外角与一个内角的比为边形的一个外角与一个内角的比为1﹕﹕3,则则n等于等于( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 11. 如果一个正多边形绕它的中心旋转如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就和就和原来的图形重合原来的图形重合,那么这个正多边形是那么这个正多边形是( ) A.正三角形正三角形 B.正方形正方形 C.正五边形正五边形 D.正六边形正六边形 CB------------强化训练强化训练--------------6、、⊙ ⊙O是正五边形是正五边形ABCDE的外接圆，弦的外接圆，弦AB的的弦心距弦心距OF叫正五边形叫正五边形ABCDE的的 　　　　，它是正五边形它是正五边形ABCDE的　　　　　圆的半径。

的　　　　　圆的半径7、、 ∠∠AOB叫做正五边形叫做正五边形ABCDE的　　　　角，的　　　　角，它的度数是它的度数是DEABC.OF边心距边心距内切内切中心中心72度度------------强化训练强化训练-------------- 第二十四章第二十四章《《圆圆》》§24.4弧长和扇形面积弧长和扇形面积1、圆的周长公式、圆的周长公式C= .2、圆的面积公式、圆的面积公式S= .3、圆上任意、圆上任意 的部分叫做弧的部分叫做弧.两点间两点间你知道吗？你知道吗？圆心角与弧长之间圆心角与弧长之间有什么关系呢？有什么关系呢？圆的周长可以看作圆的周长可以看作___度的圆心角所对的弧．度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是 .2°的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是 .3603°的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是 .…… n°的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是 . 做一做做一做R·n°1°O制制造造弯弯形形管管道道时时，，要要先先按按中中心心线线计计算算“展展直直长长度度”，，再再下下料料，，试试计计算算图图所所示示管管道道的的展展直直长长度度L(单单位位：：mm，精确到，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧AB AB 的长的长 （（mm）） 因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 （（mm）） 答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm．． 700mm700mm100°R=900mmCAB●●OD●●【【趁热打铁趁热打铁】】700mm700mm100°R=900mmCAB●●OD●●【【题后反思题后反思】】优美的图形中我感优美的图形中我感受到了风的味道？受到了风的味道？扇形面积扇形面积Sln0rOQ 如图，由组成圆心角的如图，由组成圆心角的两条半两条半径径和圆心角所对的和圆心角所对的弧弧所围成的图形所围成的图形叫叫扇形．扇形． 怎样计算圆半径为怎样计算圆半径为R，，圆心角圆心角是是n0的扇形面积？的扇形面积？扇形定义：扇形定义：规律：规律：扇形面积与组成扇形的扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关圆心角的大小有关.圆心角越大，圆心角越大，扇形面积也就越大扇形面积也就越大.必须掌握必须掌握小资料小资料 3. 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？的圆心角所对的扇形面积是多少？ 圆心角为圆心角为n°的扇形面积是的扇形面积是1. 你还记得圆面积公式吗？你还记得圆面积公式吗？2. 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？形的面积？4. n°的圆心角呢？的圆心角呢？圆的面积公式：圆的面积公式：360°的圆心角所对的扇形的面积的圆心角所对的扇形的面积,R·n°1°O【【想一想想一想】】ABO比较扇形面积与弧长公式比较扇形面积与弧长公式, , 用弧长表示扇形面积用弧长表示扇形面积: :必须掌握必须掌握小资料小资料圆心角为圆心角为n°的扇形面积是：的扇形面积是：解：解：如图，连接如图，连接OA、、OB，过圆心，过圆心O作作AB的垂线，垂足的垂线，垂足为为D，交弧，交弧AB于点于点C. ∵∵OC=0.6，，DC=0.3 ∴∴OD=OC-DC=0.3在在Rt△△OAD中，中，OA=0.6，利用勾股定理可得：，利用勾股定理可得：AD=0.3√3在在Rt△△ OAD中，中，∵∵OD=1/2OA∴∠∴∠ OAD=30° ∴∠∴∠A OD=60°，， ∠∠ AOB=120°有水部分的面积有水部分的面积如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，，其中水面高其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。

求截面上有水部分的面积0BACD------------强化训练强化训练--------------组合图形的面积：组合图形的面积：（（1））割补法割补法（（2）组合法）组合法其中：其中：①①当弓形面积小于半圆时当弓形面积小于半圆时S弓形弓形= S扇形扇形-S△△②②当弓形面积大于半圆时当弓形面积大于半圆时S弓形弓形= S扇形扇形+S△△数学思想数学思想（（1 1）转化思想、（）转化思想、（2 2）整体思想）整体思想0BA0一句话小结一句话小结：四个公式、一个问题、：四个公式、一个问题、两种思想、两个方法两种思想、两个方法. .【【题后反思题后反思】】 圆锥可以看做是一圆锥可以看做是一个直角个直角三角三角形绕它形绕它的一条直角边旋转的一条直角边旋转一周所成的图形一周所成的图形. .OA AB BC C 梦里圆锥知多少梦里圆锥知多少A AA A2 2A A1 1h hr r母母线线高高底面半径底面半径底面底面侧面侧面B BO O 梦里圆锥知多少梦里圆锥知多少2. 2.2.圆锥的母线圆锥的母线圆锥的母线圆锥的母线圆锥的母线圆锥的母线 把把把把连结连结连结连结连结连结圆锥顶点圆锥顶点圆锥顶点圆锥顶点圆锥顶点圆锥顶点和和和和和和底面圆周上的任意一底面圆周上的任意一底面圆周上的任意一底面圆周上的任意一底面圆周上的任意一底面圆周上的任意一点点点点点点的的的的的的线段线段线段线段线段线段叫做圆锥的母线。

叫做圆锥的母线叫做圆锥的母线叫做圆锥的母线叫做圆锥的母线叫做圆锥的母线 1. 1.圆锥的高圆锥的高圆锥的高圆锥的高h h连结连结连结连结顶点顶点顶点顶点与与与与底面圆心底面圆心底面圆心底面圆心的的的的线段线段线段线段. . 圆锥是由圆锥是由一个底面和一个侧面一个底面和一个侧面围成的围成的, ,它的底面是一它的底面是一个个圆圆，侧面是一个，侧面是一个曲面曲面. .思考：圆锥的母线有几条？思考：圆锥的母线有几条？ 3.底面半径底面半径rhrO设圆锥的底面半径为设圆锥的底面半径为r r，母线长为，母线长为l, ,高为高为h h，则有：，则有：l 2 2＝＝r r2 2+h+h2 2. .必须掌握必须掌握小资料小资料 把准备好的圆锥模型沿着母线剪把准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的侧面展开图．　开，观察圆锥的侧面展开图．　hrOOPABrhl【【做一做做一做】】哈哈！是一哈哈！是一个扇形问题问题问题问题1:1:1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形扇形，这个扇形的，这个扇形的弧长与底面的周长弧长与底面的周长有什么关系？有什么关系？相等相等母线母线问题问题2：：【【做一做做一做】】2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？哪一条线段相等？底面底面底面底面hrO设圆锥的母线长为设圆锥的母线长为L,底面底面半径为半径为r.则圆锥的则圆锥的侧面积侧面积公式为：公式为： =全面积公式为：全面积公式为：=πr l ＋πr2OPABrhl必须掌握必须掌握小资料小资料解解: :如图是一个蒙古包的示意图如图是一个蒙古包的示意图依题意依题意, ,下部圆柱的底面积下部圆柱的底面积35m35m2 2, ,高为高为1.5m;1.5m;蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的. .如果想如果想用毛毡搭建用毛毡搭建2020个底面积为个底面积为35 m35 m2 2, ,高为高为3.5 m3.5 m，外围高，外围高1.5 m1.5 m的蒙古包的蒙古包, ,至少需要多少至少需要多少m m2 2的毛毡的毛毡? (? (结果精确结果精确到到1 m1 m2 2).).rrh1h2上部圆锥的高为上部圆锥的高为3.53.5－－1.5=2 m;1.5=2 m;≈≈3.34 (m)3.34 (m)圆柱圆柱底面圆半径底面圆半径r=r=ππ3535(m)(m)侧面积为侧面积为: :2π2π××3.343.34××1.51.5≈≈31.46 (m31.46 (m2 2) )圆锥的母线长为圆锥的母线长为3.343.342 2+2+22 2≈≈3.89 (m)3.89 (m)侧面展开积扇形的弧长为侧面展开积扇形的弧长为: :2π×3.34 ≈20.98(m)圆锥侧面积为圆锥侧面积为: :≈≈40.81 (m40.81 (m2 2) )××3.893.89××20.9820.981 12 2因此因此, ,搭建搭建2020个这样的蒙古包至少需要毛毡个这样的蒙古包至少需要毛毡: :2020×× (31.46+40.81)≈1446(m(31.46+40.81)≈1446(m2 2) )【【趁热打铁趁热打铁】】1.1.根据圆锥的下面条件，求它的侧面积和全面根据圆锥的下面条件，求它的侧面积和全面积：积：（（ 1 1 ）） r=12cm, r=12cm, l=20cm =20cm （（ 2 2 ）） h=12cm, r=5cm h=12cm, r=5cm 2.2.一个圆锥的侧面展开图是半径为一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,18cm,圆圆心角为心角为240240度的扇形度的扇形. .则这个圆锥的底面半则这个圆锥的底面半径为径为_______._______.12cm12cmS S侧侧=240π, S=240π, S全全=384π=384πS S侧侧=65π, S=65π, S全全=90π=90π------------强化训练强化训练-------------- 圆锥形烟囱帽圆锥形烟囱帽( (如图如图) )的母线长为的母线长为80cm80cm，高为，高为38.7cm,38.7cm,求求这个烟囱帽的面积这个烟囱帽的面积. .（（ 取取3.143.14，结果保留，结果保留2 2个有效数字）个有效数字）【【解析解析】】∵∵l=80cm=80cm，，h=38.7cmh=38.7cm∴∴r=r=∴∴S S侧侧=πr=πrl≈3.14≈3.14××7070××80≈1.880≈1.8××10104 4 cmcm2 2答：答：烟囱帽的面积约为烟囱帽的面积约为1.81.8××10104 4cmcm2 2. .hrO------------强化训练强化训练--------------如图，已知如图，已知RtΔABC中，中，∠∠ACB=90°，，AC= 4，，BC=3，以，以AB边所在的直线为轴，将边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是旋转一周，则所得几何体的表面积是（（ ）．）．•A．． B．． •C．． D．．------------强化训练强化训练--------------A AB BC C∟∟C C童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子, ,其圆锥形帽其圆锥形帽身的母线长为身的母线长为15cm,15cm,底面半径为底面半径为5cm,5cm,生产这种帽身生产这种帽身1000010000个个, ,你能帮玩具厂算一算至少需多少平方你能帮玩具厂算一算至少需多少平方 米的材料吗米的材料吗( (不计接缝用料和余料不计接缝用料和余料, , ππ取取3.14 )?3.14 )?解解:∵ l =15 cm,r=5 cm,:∵ l =15 cm,r=5 cm,∴∴S S 圆锥侧圆锥侧 = = ××2 2ππrlrl∴ ∴ 235.5235.5××10000=2355000 (cm10000=2355000 (cm2 2) )答答: :至少需至少需 235.5 235.5 平方米的材料平方米的材料.≈≈3.143.14××1515××5 5 =235.5 (cm=235.5 (cm2 2) ) = =ππ××1515××5 5 1 12 2rL------------强化训练强化训练--------------初中九年级数学上册教学课件初中九年级数学上册教学课件 第第 二十五章二十五章 概率初步概率初步第第1 1节节 随机事件与概率随机事件与概率（二课时）（二课时）第第2 2节节 用列举法求概率用列举法求概率（二课时）（二课时） 第第3 3节节 用频率估计概率用频率估计概率 第二十五章第二十五章《《概率初步概率初步》》§25.1随机事件与概率随机事件与概率（第一课时：随机事件）（第一课时：随机事件） 《《江南江南》》 江南可采莲，江南可采莲，莲叶何田田，莲叶何田田，鱼戏莲叶间。

鱼戏莲叶间鱼戏莲叶鱼戏莲叶东东，，鱼戏莲叶鱼戏莲叶西西，，鱼戏莲叶鱼戏莲叶南南，，鱼戏莲叶鱼戏莲叶北北 古诗词中的数学古诗词中的数学鱼儿下一鱼儿下一刻游动的刻游动的方向你能方向你能确定吗？确定吗？下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？生的？（（1））太阳从西边落下；太阳从西边落下；（（2））某人的体温是某人的体温是100℃；；（（3））a2+b2=-1(a，，b都是实数都是实数））；；（（4））水往低处流；水往低处流；（（5）铁和硫酸铜溶液反应生成铜和硫酸亚铁）铁和硫酸铜溶液反应生成铜和硫酸亚铁；；（（6））三人性别各不相同；三人性别各不相同；（（7））一元二次方程一元二次方程x2+2x+3=0无实数解无实数解. .【【做一做做一做】】 我们把上面的事件我们把上面的事件（（1）、（）、（4）、（）、（5）、）、（（7））称为必然事件称为必然事件 ，把事件，把事件（（2）、（）、（3）、）、（（6））称为不可能事件称为不可能事件. .确定性事件确定性事件必然事件：必然事件：不可能事件：不可能事件：在一定条件下，有些事件必然在一定条件下，有些事件必然会发生会发生. .在一定条件下，有些事件必然在一定条件下，有些事件必然不会发生不会发生. .必须掌握必须掌握小资料小资料问题问题1 1 五五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序顺序. .为了抽签，我们在盒中放五个完全一样的纸团，每个纸团里为了抽签，我们在盒中放五个完全一样的纸团，每个纸团里分别写着表示出场顺序的数字分别写着表示出场顺序的数字1，，2，，3，，4，，5.把纸团充分搅拌，把纸团充分搅拌，小小颖先抽签，她任意（随机）从盒中抽取一纸团颖先抽签，她任意（随机）从盒中抽取一纸团. .请考虑以下问题：请考虑以下问题： 【【做一做做一做】】随机事件随机事件可能可能（（4））抽到的序号是抽到的序号是1，可能，可能吗？这是什么事件？吗？这是什么事件？ 必然事件必然事件一定会一定会（（3））抽到的序号小于抽到的序号小于6，可能，可能吗？这是什么事件？吗？这是什么事件？ 不可能事件不可能事件不可能不可能（（2））抽到的序号是抽到的序号是0，可能，可能吗？这是什么事件？吗？这是什么事件？ （（1））抽到的序号有几种可能的结果？抽到的序号有几种可能的结果？ 5种种 问题问题2 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有面上分别刻有1到到6的点数的点数. .请思考以下问题：请思考以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面：掷一次骰子，在骰子向上的一面： 【【做一做做一做】】随机事件随机事件可能可能（（4））出现的点数是出现的点数是4，，可能吗？这是什么事件？可能吗？这是什么事件？ 必然事件必然事件一定会一定会（（3））出现的点数大于出现的点数大于0，，可能吗？这是什么事件？可能吗？这是什么事件？ 不可能事件不可能事件不可能不可能（（2））出现的点数是出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？，可能吗？这是什么事件？ （（1））可能出现哪些点数？可能出现哪些点数？ 1点，点，2点，点，3点，点，4点，点，5点，点，6点，共点，共6种种一、一、上述两个活动中的必然事件和不可能事件的上述两个活动中的必然事件和不可能事件的区别在哪里？区别在哪里？二、二、怎样的事件称为随机事件呢？怎样的事件称为随机事件呢？ 前者是随机事件，在发生之前不可预前者是随机事件，在发生之前不可预测；后者是确定事件，在发生之前可以预测；后者是确定事件，在发生之前可以预测发生结果测发生结果. . 在一定条件下，可能发生也可能不发在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件生的事件称为随机事件. .火眼金睛火眼金睛确定事件确定事件必然事件：必然事件：不可能事件：不可能事件：在一定条件下，有些事件必然会发生在一定条件下，有些事件必然会发生. .在一定条件下，有些事件必然不会发生在一定条件下，有些事件必然不会发生. .确定事件：确定事件：（随机事件）（随机事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.事件事件必须掌握必须掌握 问题问题3 3 袋中装有袋中装有4个黑球，个黑球，2个白球，这些球的形个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球随机地从袋子中摸出一个球. . （（1））这个球是白球还是黑球？（（2））如果两种球都有可能被摸出，那么摸出如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？黑球和摸出白球的可能性一样大吗？答：可能是白球也可能是黑球.答：摸出黑球的可能性大答：摸出黑球的可能性大. .【【趁热打铁趁热打铁】】结论：结论：由于两种球的数量不等，所以由于两种球的数量不等，所以““摸出黑球摸出黑球””和和 ““摸出白球摸出白球””的可能性的大小是不一样的，且的可能性的大小是不一样的，且““摸出摸出 黑球黑球””的可能性大于的可能性大于““摸出白球摸出白球””的可能性的可能性. .球的颜色球的颜色 黑黑 球球 白白 球球 摸取次数摸取次数 53想一想：想一想：能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使““摸出黑球摸出黑球””和和““摸出白球摸出白球””的可能性大小相同？的可能性大小相同？答：可以答：可以. .例如：白球个数不变，拿出两个黑球或黑球个数不例如：白球个数不变，拿出两个黑球或黑球个数不变，加入变，加入2个白球个白球. .【【题后反思题后反思】】通过以上从袋中摸球的试验，你能得到什通过以上从袋中摸球的试验，你能得到什么启示？么启示？一般地：一般地：1.随机事件发生的可能性是有大小的；随机事件发生的可能性是有大小的；2.不同的随机事件发生的可能性的大小不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同有可能不同. .随机事件的特点【【题后反思题后反思】】1.下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件? ?（（1）太阳从东边升起）太阳从东边升起. .（必然事件）（必然事件）（（2））篮球明星林书豪投篮球明星林书豪投10次篮，次次命中次篮，次次命中. .（随机事件）（随机事件）（（3））打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片. .（随机事件）（随机事件）（（4））一个三角形的内角和为一个三角形的内角和为181度度. .（不可能事件）（不可能事件）------------强化训练强化训练--------------2.如果袋子中有如果袋子中有4个黑球和个黑球和x个白球，从袋子中随机摸出一个，个白球，从袋子中随机摸出一个，““摸出白球摸出白球””与与““摸出黑球摸出黑球””的可能性相同，则的可能性相同，则x= . .3.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7，如果宇宙，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里落在海洋里”发生的可能性发生的可能性（（ ））“落在陆地上落在陆地上”的可能性的可能性. A.大于大于 B.等于等于 C.小于小于 D.三种情况都有可能三种情况都有可能4A------------强化训练强化训练--------------4. 桌上扣着背面图案相同的桌上扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中张扑克牌，其中3张黑桃、张黑桃、2张红桃张红桃. .从中随机抽取从中随机抽取1张扑克牌张扑克牌. .（（1））能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？（（2））你认为抽到哪种花色扑克牌的可能性大？你认为抽到哪种花色扑克牌的可能性大？（（3））能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使““抽到抽到黑桃黑桃””和和““抽到红桃抽到红桃””的可能性大小相同？的可能性大小相同？解：解：（（1））不能确定；不能确定； （（2））黑桃；黑桃； （（3））可以，去掉一张黑桃或增加一张红桃可以，去掉一张黑桃或增加一张红桃. .------------强化训练强化训练--------------你能说出几个与必然事件、随机事件、不可能事件相你能说出几个与必然事件、随机事件、不可能事件相联系的成语吗？数量不限，尽力．联系的成语吗？数量不限，尽力． 如：必然事件：如：必然事件：　　　　 随机事件：随机事件：　　　　 不可能事件：不可能事件：种瓜得瓜，种豆得豆，黑白分明种瓜得瓜，种豆得豆，黑白分明. .海市蜃楼，守株待兔海市蜃楼，守株待兔. .海枯石烂，画饼充饥，拔苗助长海枯石烂，画饼充饥，拔苗助长. .------------强化训练强化训练--------------随随机机事事件件事事件件确确定定事事件件特点：特点：u事先不能预料事件是否发生，即事件的发生具有不确定性事先不能预料事件是否发生，即事件的发生具有不确定性. .u一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同件发生的可能性的大小可能不同. . 不不 可可 能能 事事 件件必必 然然 事事 件件定定 义义特特 点点必须掌握必须掌握小资料小资料 第二十五章第二十五章《《概率初步概率初步》》§25.1随机事件与概率随机事件与概率（第二课时：概率）（第二课时：概率） 田中有株，兔走触株，折颈而死。

释其耒而守株，冀复得兔 《韩非子·五蠹》 守株待兔守株待兔冀复得兔？可冀复得兔？可能性有多大？能性有多大？必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件;不可能事件：必然不会发生的事件;随机事件：可能会发生，也可能不发生的事件.也叫不确定性事件.什么是必然事件，不可能事件和随机事件？ 回忆一下回忆一下下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件?（1）北京市举办2022年冬季奥运会.（必然事件）（2）篮球明星Stephen·Curry投10次篮，次次命中.（随机事件）（3）打开电视正在播恒大夺冠的比赛.（随机事件）（4）一个正方形的内角和为361度.（不可能事件）【【做一做做一做】】思考思考 在同样条件下，随机事件可能发生，也可能不发生，那在同样条件下，随机事件可能发生，也可能不发生，那么它发生的可能性有多大呢？能否么它发生的可能性有多大呢？能否用数值进行刻画用数值进行刻画呢？呢？活动活动1 从分别有数字从分别有数字1,2,3,4,5的五个纸团中随机抽取一个，的五个纸团中随机抽取一个，这个纸团里的数字有这个纸团里的数字有5种可能，即种可能，即1,2,3,4,5.解析：解析：因为纸团看上去完全一样，又是随机抽取，所以每因为纸团看上去完全一样，又是随机抽取，所以每个数字被抽取的可能性大小相等，所以我们可以用个数字被抽取的可能性大小相等，所以我们可以用 表表示每一个数字被抽到的可能性大小示每一个数字被抽到的可能性大小. .活动活动2 掷一枚骰子，向上一面的点数有掷一枚骰子，向上一面的点数有6种可能，即种可能，即1,2,3,4,5,6. 解析：解析：因为骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷出，所因为骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷出，所以每种点数出现的可能性大小相等以每种点数出现的可能性大小相等. .我们用我们用 表示每一种表示每一种点数出现的可能性大小点数出现的可能性大小. .【【做一做做一做】】数值数值 和和 刻画了实验中相应随机事件发刻画了实验中相应随机事件发生的可能性大小生的可能性大小. . 概率：概率：一般地，对于一个随机事一般地，对于一个随机事件件A，，我们把刻画其发生可能性大小我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件的数值，称为随机事件A发生的概率，发生的概率，记为记为P（（A））.必须掌握必须掌握小资料小资料(1)每一次试验中，可能出现的结果只有每一次试验中，可能出现的结果只有有限个有限个；；(2)每一次试验中，各种结果出现的每一次试验中，各种结果出现的可能性相等可能性相等. .试验具有两个共同特征：试验具有两个共同特征： 具有上述特点的实验，我们可以用事件所具有上述特点的实验，我们可以用事件所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果包含的各种可能的结果数在全部可能的结果数中所占的比，来表示事件发生的概率数中所占的比，来表示事件发生的概率. .具有这些特点的试验称为古典概率具有这些特点的试验称为古典概率. .在这些试在这些试验中出现的事件为等可能事件验中出现的事件为等可能事件. .必须掌握必须掌握小资料小资料 一般地，如果在一次实验中，有一般地，如果在一次实验中，有n种可能的种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中的包括其中的m种结果，那么事件种结果，那么事件A发生的概率发生的概率 ∴ ∴ 特别的特别的事件A发生的结果种数试验的总共试验的总共结果种数结果种数归纳总结归纳总结小资料小资料01事件发生的可能性越来越大事件发生的可能性越来越大事件发生的可能性越来越小事件发生的可能性越来越小不可能发生不可能发生必然发生必然发生概率的值概率的值 事件发生的可能性越大，它的概率越接近事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近接近0.必须掌握必须掌握小资料小资料掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：件的概率：(1)点数为点数为2；；(2)点数为奇数；点数为奇数；(3)点点数大于数大于2小于小于5.【【趁热打铁趁热打铁】】（（3））点数大于点数大于2且小于且小于5有有2种可能，即点数为种可能，即点数为3，，4，，因此因此 P（点数大于（点数大于2且小于且小于5））= = . .解：解：（（1））点数为点数为2有有1种可能，因此种可能，因此P（点数为（点数为2））= = ；；（（2））点数为奇数有点数为奇数有3种可能，即点数为种可能，即点数为1，，3，，5，，因此因此P（点数为奇数）（点数为奇数）= = ；； 如图所示是一个转盘，转盘分成如图所示是一个转盘，转盘分成7 7个相同的扇形，颜色分为红黄绿三个相同的扇形，颜色分为红黄绿三种，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的种，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置，（指针指向交线时当作指向右边的扇形）求下列事件的概率位置，（指针指向交线时当作指向右边的扇形）求下列事件的概率. .（（1 1）指向红色；（）指向红色；（2 2）指向红色或黄色；（）指向红色或黄色；（3 3）不指向红色）不指向红色. .------------强化训练强化训练--------------解：一共有解：一共有7 7种等可能的结果种等可能的结果. .（（1 1）指向红色有）指向红色有3 3种结果，种结果， P( (指向红色指向红色)=_____)=_____；；（（2 2）指向红色或黄色一共有）指向红色或黄色一共有5 5种种等可能的结果，等可能的结果，P( ( 指向红或黄）指向红或黄）=_____;=_____;（（3 3）不指向红色有）不指向红色有4 4种等可能的结果种等可能的结果 P( ( 不指向红色）不指向红色）= ______.= ______.想一想想一想 把这个例中的把这个例中的（（1）、（）、（3））两问及答案联系起来，你有什么发现？两问及答案联系起来，你有什么发现？““指向红色或不指向红色指向红色或不指向红色””是必然事件，其概率为是必然事件，其概率为1.1.如图是计算机中如图是计算机中““扫雷扫雷””游戏的画面游戏的画面. .在一个有在一个有9×9的方格的的方格的正方形雷区中，随机埋藏着正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能颗地雷，每个方格内最多只能藏藏1 1颗地雷颗地雷. .小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现如图所示的情况出现如图所示的情况. .我们把与标号我们把与标号3的方格相邻的方格记为的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），区域（画线部分），A区域外的部分记为区域外的部分记为B区域区域. .数字数字3表示在表示在A区域有区域有3颗地雷颗地雷. .下一步应该点击下一步应该点击A区域还是区域还是B区域？区域？------------强化训练强化训练-------------- 由于由于 ＞＞ ，，即点击即点击A区域遇到地雷的可能性大于点击区域遇到地雷的可能性大于点击B区域区域遇到地雷的可能性，因而第二步应该点击遇到地雷的可能性，因而第二步应该点击B区域区域. . 解：解：A区域的方格总共有区域的方格总共有8个，标号个，标号3表示在这表示在这8个方格中有个方格中有3个个方格各藏有方格各藏有1颗地雷颗地雷. .因此，点击因此，点击A区域的任一方格，遇到地雷的区域的任一方格，遇到地雷的概率是概率是 ; B区域方格数为区域方格数为9×9-9=72.其中有地雷的方格数为其中有地雷的方格数为10-3=7.因因此，点击此，点击B区域的任一方格，遇到地雷的概率是区域的任一方格，遇到地雷的概率是 ; ;袋子里有袋子里有1个红球，个红球，3个白球和个白球和5个黄球，每一个黄球，每一个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则则P( (摸到红球摸到红球)=)= ; ;P( (摸到白球摸到白球)=)= ; ;P( (摸到黄球摸到黄球)=)= . .------------强化训练强化训练-------------- 从1、、2、、3、、4、、5、、6、、7、、8、、9、、10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（ ）￿￿￿￿￿￿A.￿￿￿￿￿B. C.￿￿￿￿￿ D. B------------强化训练强化训练-------------- 话说唐僧师徒越过石砣岭话说唐僧师徒越过石砣岭, ,吃完午饭后吃完午饭后, ,三徒弟商量着今天由三徒弟商量着今天由谁来刷碗谁来刷碗, ,可半天也没个好主意可半天也没个好主意. .还是悟空聪明还是悟空聪明, ,他灵机一动他灵机一动, ,扒扒根猴毛一吹根猴毛一吹, ,变成一粒骰子，对八戒说道变成一粒骰子，对八戒说道: :我们三人来掷骰子：我们三人来掷骰子：如果掷到如果掷到2 2的倍数就由八戒来刷碗；的倍数就由八戒来刷碗；如果掷到如果掷到3 3就由沙僧来刷碗；就由沙僧来刷碗；如果掷到如果掷到7 7的倍数就由我来刷碗；的倍数就由我来刷碗；------------强化训练强化训练--------------如图如图, ,能自由转动的转盘中能自由转动的转盘中, , A、、B、、C、、D四个扇四个扇形的圆心角的度数分别为形的圆心角的度数分别为180°、、 30 °、、 60 °、、 90 °, ,转动转盘转动转盘, ,当转盘停止时当转盘停止时, , 指针指向指针指向B的概率的概率是是_____,_____,指向指向C或或D的概率是的概率是__________. .ABCD------------强化训练强化训练--------------概概 率率定义定义适用适用对象对象计算计算公式公式一般地，对于一个随机事件一般地，对于一个随机事件A，，我们把我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件机事件A发生的概率，记为发生的概率，记为P（（A））. 等可能事件，其特点：等可能事件，其特点：（（1）有限个；（）有限个；（2）可能性一样）可能性一样.必须掌握必须掌握 第二十五章第二十五章《《概率初步概率初步》》§25.2用列举法求概率用列举法求概率（第一课时：（第一课时：运用直接列举或列表法求概率运用直接列举或列表法求概率）） 我们在日常生活中经常会碰到一些游戏，我们在日常生活中经常会碰到一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这是一个常重要，其实这是一个游戏双方获胜概率游戏双方获胜概率大小大小的的问问题题. .【【远离赌博远离赌博】】概率概率可以可以人为人为设置设置 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：率：( (1)1)两枚硬币全部正面向上；两枚硬币全部正面向上； (2)(2)两枚硬币全部反两枚硬币全部反面向上；面向上；(3)(3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；做一做做一做反正正正解析解析：：“掷两枚硬币掷两枚硬币”所有结果共有四种，如下所示：所有结果共有四种，如下所示：正反反反解：（（1））两枚硬币全部正面向上的结果只有两枚硬币全部正面向上的结果只有1 1种，所种，所以正正的概率是以正正的概率是 1/4 1/4 （（3））一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上, ,共有共有反正，正反两种情形；所以老师赢的概率是反正，正反两种情形；所以老师赢的概率是 2 / 4 = 1/22 / 4 = 1/2∵∵P( (学生赢）学生赢）=P( (老师赢）老师赢）. .∴∴这个游戏是公平的这个游戏是公平的. .（（2））两枚硬币全部反面向上的结果只有两枚硬币全部反面向上的结果只有1 1种，种，所以反反的概率是所以反反的概率是 1/4 1/4 做一做做一做上述这种列举法我们称为上述这种列举法我们称为直接列举法直接列举法，即把，即把事件可能出现的结果一事件可能出现的结果一 一列出一列出. . 注意： 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的可能性事件.【【必须掌握必须掌握】】想一想想一想 ““同时掷两枚硬币同时掷两枚硬币””与与““先后两次掷一枚硬币先后两次掷一枚硬币””，这两种试验的所，这两种试验的所有可能结果一样吗？有可能结果一样吗？开始开始第一掷第一掷第二掷第二掷所有可能出现的结果所有可能出现的结果（正、正）（正、正）（正、反）（正、反）（反、正）（反、正）（反、反）（反、反）发现：发现： 结果一样结果一样. .【【题后反思题后反思】】 随机事件随机事件“同时同时”与与“先后先后”的关系：的关系：“两个相同的随两个相同的随机事件同时发生机事件同时发生”与与 “一一个随机事件先后两次发生个随机事件先后两次发生”的结果是一样的的结果是一样的.必须掌握必须掌握一个因素所包含的可能情况一个因素所包含的可能情况另一个另一个因素所因素所包含的包含的可能情可能情况况两个因素所组合的所两个因素所组合的所有可能情况有可能情况, ,即即n列表法中表格构造特点列表法中表格构造特点: :说明：说明：如果第一个因素如果第一个因素包含包含2种情况；第二个种情况；第二个因素包含因素包含3种情况；那种情况；那么所有情况么所有情况n=2×3=6.问题问题1 利用直接列举法可以比较快地求出简单事件发生的概利用直接列举法可以比较快地求出简单事件发生的概率，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？率，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？你知道吗？你知道吗？把两个骰子分别标记为第把两个骰子分别标记为第1个和第个和第2个，列表如下：个，列表如下：123456123456第第一一个个第第二二个个(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)注意注意有序有序数对数对要统要统一顺一顺序序（（3））至少有一个骰子的点数为至少有一个骰子的点数为2. .（（2））两个骰子点数的和是两个骰子点数的和是9；；同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（（1））两个骰子的点数相同；两个骰子的点数相同；【【趁热打铁趁热打铁】】解：由列表得，同时掷两枚骰子，可能出现解：由列表得，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有的结果有36个，它们出现的可能性相等个，它们出现的可能性相等. .（（1））满足两枚骰子的点数相同（记为事件满足两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结果有）的结果有6个，则个，则P（（A））= ；；（（2））满足两枚骰子的点数之和是满足两枚骰子的点数之和是9（记为事（记为事件件B）的结果有）的结果有4个，则个，则P（（B））= ；；（（3））满足至少有一枚骰子的点数为满足至少有一枚骰子的点数为2（记为（记为事件事件C）的结果有）的结果有11个，则个，则P（（C））= = . 【【趁热打铁趁热打铁】】 我们发现：我们发现：与前面掷硬币问题一样，与前面掷硬币问题一样，““同时掷两个质地相同的同时掷两个质地相同的骰子骰子””与与““把一个骰子掷两次把一个骰子掷两次””，所得到的结果没有变化，所得到的结果没有变化. . 所所以，当试验涉及两个因素时，可以以，当试验涉及两个因素时，可以““分步分步””对问题进行分析对问题进行分析. .分析分析 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用用列表法列表法. . 列表法对于列举涉及两个因素或分两步进行的试验列表法对于列举涉及两个因素或分两步进行的试验 结果是一种有效的方法结果是一种有效的方法.【【题后反思题后反思】】列表法求概率应注意的问题： 确保试验中每种结果出现的可能性大小相等确保试验中每种结果出现的可能性大小相等. . 第一步：列表格； 第二步：在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m；； 第三步：代入概率公式 计算事件的概率.列表法求概率的基本步骤：必须掌握必须掌握小资料小资料 1.小明与小红玩一次小明与小红玩一次““石头、剪刀、布石头、剪刀、布””游戏，则小明赢的游戏，则小明赢的概率是（概率是（ ））2.某次考试中，每道单项选择题一般有某次考试中，每道单项选择题一般有4 4个选项，某同学有个选项，某同学有两道题不会做，于是他以两道题不会做，于是他以““抓阄抓阄””的方式选定其中一个答的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（案，则该同学的这两道题全对的概率是（ ））CDA. B. C. D. A. B. C. D. ------------强化训练强化训练-------------- 第二十五章第二十五章《《概率初步概率初步》》§25.2用列举法求概率用列举法求概率（第二课时：（第二课时：画树状图法求概率画树状图法求概率））一、一、你已经掌握了用什么方法求概率？你已经掌握了用什么方法求概率？ 二、二、刚才的这个问题如果从甲、乙、丙三刚才的这个问题如果从甲、乙、丙三位同学中随机地选择一位来回答，那么选中位同学中随机地选择一位来回答，那么选中丙同学的概率是多少？丙同学的概率是多少？直接列举法、列表法直接列举法、列表法. .回忆一下回忆一下如果老师从甲和乙两位同学中选择一位同学回答，且由甲和如果老师从甲和乙两位同学中选择一位同学回答，且由甲和乙两位同学以猜拳一次（剪刀、锤子、布）的形式谁获胜就乙两位同学以猜拳一次（剪刀、锤子、布）的形式谁获胜就谁来回答，那么你能用列表法求得甲同学获胜的概率吗？谁来回答，那么你能用列表法求得甲同学获胜的概率吗？布锤（布,锤）（布,布）（锤,布）（剪,布）（锤,锤）（剪，锤）（布剪）（锤,剪）（剪,剪）剪布锤剪乙甲【【做一做做一做】】解析：由表可以看出，甲和乙两位同学猜拳可能出现由表可以看出，甲和乙两位同学猜拳可能出现的结果有的结果有9 9个，它们出现的可能性相等个，它们出现的可能性相等. .其中能确定胜其中能确定胜负的结果有负的结果有6 6个，而满足甲同学赢（记为事件个，而满足甲同学赢（记为事件B）的结）的结果有果有3 3个，即：锤剪个，即：锤剪 ，， 布锤布锤 ，， 剪布，所以剪布，所以 【【做一做做一做】】 上述问题如果想让甲、乙、丙三位同学猜拳（剪刀、锤子、上述问题如果想让甲、乙、丙三位同学猜拳（剪刀、锤子、布）布） ，由最先一次猜拳就获胜的同学来回答，那么你能用列，由最先一次猜拳就获胜的同学来回答，那么你能用列表法算出甲同学获胜的概率吗？表法算出甲同学获胜的概率吗？ 可以，但若再用列表法表示所有结果已经不方便，可以，但若再用列表法表示所有结果已经不方便，非常复杂！非常复杂！树状图的画法树状图的画法一个试验一个试验第一个因素第一个因素第二个因素第二个因素如一个试验中涉及如一个试验中涉及2个因数个因数, ,第一个因数第一个因数中有中有2种可能情况种可能情况; ;第第二个因数中有二个因数中有3种可种可能的情况能的情况. .AB123123则其树形图如图则其树形图如图. .n=2×3=6画树状图法：画树状图法：按事件发生的次序，列出事按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果件可能出现的结果. .必须掌握必须掌握小资料小资料甲乙丙ACDEHI HI H IBCDEHI H I H IBCHACHACIADHADIAEHAEIBCIBDHBDIBEHBEI解：由树状图得，所有可能出现的结果有12个，它们出现的可能性相等.（（1））满足只有一个元音字母的结果有5个，则 P（一个元音）=满足三个全部为元音字母的结果有1个，则 P（三个元音）=满足只有两个元音字母的结果有4个，则 P（两个元音）= =甲口袋中装有甲口袋中装有2个小球，分别写有字母个小球，分别写有字母A和和B；乙口袋中装有；乙口袋中装有3个小球，分别写有字母个小球，分别写有字母C、、D和和E；丙口袋中装有；丙口袋中装有2个小球，分别写有字母个小球，分别写有字母H和和I；从；从3个口袋中各随机取出个口袋中各随机取出1个小球．个小球．（（1））取出的取出的3个小球中恰好有个小球中恰好有1个，个，2个，个，3个写有元音字母的概率各是多少？个写有元音字母的概率各是多少？【【趁热打铁趁热打铁】】（（2））取出的取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？个小球上全是辅音字母的概率是多少？甲乙丙ACDEHI H I HIBCDEHI HI HIBCHACHACIADHADIAEHAEIBCIBDHBDIBEHBEI用树状图列举的用树状图列举的结果看起来一目结果看起来一目了然，了然，当事件要当事件要经过多个经过多个( (三个三个或三个以上或三个以上) )步步骤完成时，用树骤完成时，用树状图法求事件的状图法求事件的概率很有效概率很有效. .解：满足全是辅音字母的结果有2个，则 P（三个辅音）= = .【【趁热打铁趁热打铁】】一、画树状图求概率的基本步骤：（（1））明确一次试验的几个步骤及顺序；明确一次试验的几个步骤及顺序；（（2））画树状图列举一次试验的所有可能结果；画树状图列举一次试验的所有可能结果；（（3））数出随机事件数出随机事件A包含的结果数包含的结果数m，试验的所有可，试验的所有可 能结果数能结果数n；；（（4））用概率公式进行计算用概率公式进行计算. .【【题后反思题后反思】】二、方法选择￿￿当试验包含两步时，列表法比较方便；当然，此时也可以用树形图法； 当事件要经过当事件要经过多个多个( (三个或三个以上三个或三个以上) )步骤完成时，应选用步骤完成时，应选用树状图法求事件的概率树状图法求事件的概率. .1.a、、b、、c、、d四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放多放2本，共有本，共有 种不同的放法种不同的放法. .2.三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不同的概三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不同的概率为（率为（ ））3.在一个不透明的布袋中装有在一个不透明的布袋中装有2 2个白球和个白球和n个黄球，它们除颜个黄球，它们除颜色外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概色外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为率为 ，则，则n= . .6B8A. B. C. D. ------------强化训练强化训练--------------在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，，-2，，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同同. .先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字盒子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. .请请你用列表或画树状图的方法求下列事件的概率你用列表或画树状图的方法求下列事件的概率. .（（1 1）两次取出的小球上的数字相同；）两次取出的小球上的数字相同；（（2 2）两次取出的小球上的数字之和大于）两次取出的小球上的数字之和大于10. .------------强化训练强化训练--------------(1)(1)两次取出的小球上的数字相同的可能性只有两次取出的小球上的数字相同的可能性只有3 3种，种，所以所以P( (数字相同数字相同)=)=(2)(2)两次取出的小球上的数字之和大于两次取出的小球上的数字之和大于10的可能的可能性只有性只有4种，所以种，所以P( (数字之和大于数字之和大于10)=10)=解：根据题意，画出树状图如下解：根据题意，画出树状图如下第一个数字第一个数字第二个数字第二个数字66-27-26-2776-27------------强化训练强化训练-------------- 现有现有A、、B、、C三盘包子，已知三盘包子，已知A盘中有两个酸盘中有两个酸菜包和一个糖包，菜包和一个糖包，B盘中有一个酸菜包和一个糖盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包，包和一个韭菜包，C盘中有一个酸菜包和一个糖盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头包以及一个馒头. .老师就爱吃酸菜包，如果老师老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子（馒头除外），那请你从每个盘中各选一个包子（馒头除外），那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少？？------------强化训练强化训练--------------解：根据题意，画出树状图如下解：根据题意，画出树状图如下 由树状图得，所有可能出现的结果有由树状图得，所有可能出现的结果有18个，它们出现的可个，它们出现的可能性相等能性相等. .选的包子全部是酸菜包有选的包子全部是酸菜包有2个，所以个，所以选的包子全部选的包子全部是酸菜包的概率是是酸菜包的概率是：：A盘盘B盘盘C盘盘酸酸酸酸糖糖韭韭酸酸糖糖 酸酸糖糖酸酸糖糖酸酸酸酸糖糖韭韭酸酸糖糖 酸酸糖糖酸酸糖糖糖糖酸酸糖糖韭韭酸酸糖糖 酸酸糖糖酸酸糖糖酸酸酸酸酸酸酸酸酸酸糖糖酸酸糖糖酸酸酸酸糖糖糖糖酸酸韭韭酸酸酸酸韭韭糖糖酸酸酸酸酸酸酸酸酸酸糖糖酸酸糖糖酸酸酸酸糖糖糖糖酸酸韭韭酸酸酸酸韭韭糖糖糖酸酸酸酸糖糖酸酸糖糖糖糖糖糖酸酸糖糖糖糖糖糖糖糖韭韭酸酸糖糖韭韭糖糖------------强化训练强化训练--------------树状图树状图步骤步骤用法用法是一种解决试验有多步（或涉及多是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）的好方法个因素）的好方法. .注意注意①①弄清试验涉及弄清试验涉及试验因素个数试验因素个数或或试试验步骤分几步验步骤分几步；；②②在摸球试验一定要弄清在摸球试验一定要弄清““放回放回””还是还是““不放回不放回””. .①①关键要弄清楚每一步有几种结果；关键要弄清楚每一步有几种结果；②②在树状图下面对应写着所有可能的在树状图下面对应写着所有可能的结果；结果；③③利用概率公式进行计算利用概率公式进行计算. .必须掌握必须掌握小资料小资料列举法列举法关关键键常常用用方方法法直直接接列列举举法法列列表表法法画画树树状状图图法法适适 用用 对对 象象两两 个个 试试 验验因因 素素 或或 分分两两 步步 进进 行行的的试试验验. .基基 本本 步步 骤骤①①列表；列表；②②确定确定m、、n值值代入概率公式计代入概率公式计算算. .在于正确列举出试验结果的各种可能性在于正确列举出试验结果的各种可能性. .确保试验中每种确保试验中每种结果出现的可能结果出现的可能性大小相等性大小相等. .前前 提提 条条 件件【【归纳总结归纳总结】】①①关键要弄清楚每一步有几种结果；关键要弄清楚每一步有几种结果；②②在树状图下面对应写着所有可能的在树状图下面对应写着所有可能的结果；结果；③③利用概率公式进行计算利用概率公式进行计算. . 第二十五章第二十五章《《概率初步概率初步》》§25.3用频率估计概率用频率估计概率 养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼( (假设这个塘里养的是同一种鱼假设这个塘里养的是同一种鱼),),先捕上先捕上100条做上标条做上标记，然后放回塘里，过一段时间，待带标记的鱼完全记，然后放回塘里，过一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记条，发现其中带标记的鱼有的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？条，塘里大约有鱼多少条？ 池里游鱼知知多池里游鱼知知多少少你用了什么你用了什么数学方法？数学方法？问题问题1 抛掷一枚硬币，正面（有数字抛掷一枚硬币，正面（有数字的一面）向上的概率是二分之一，这的一面）向上的概率是二分之一，这个概率能否利用试验的个概率能否利用试验的方法方法────通过统计很多通过统计很多掷硬币的结果来得到呢？掷硬币的结果来得到呢？ 想想 一一 想想【【试验要求试验要求】】1.全班同学分组，每组六名同学分为三小组，分全班同学分组，每组六名同学分为三小组，分别做投掷试验。

别做投掷试验2.统计试验结果，按要求计算频率（频率结果保统计试验结果，按要求计算频率（频率结果保留两位小数），向组长汇报，并由组长填写好表留两位小数），向组长汇报，并由组长填写好表格格. .投掷试验的总次数不少于投掷试验的总次数不少于100次次. .【【做一做做一做】】试验者（一组）试验者（一组）1号与号与6号号2号与号与5号号3号与号与4号号 小组合计小组合计正面向上次数正面向上次数m4678102226 总投掷次数总投掷次数n100150200450正面向上频率正面向上频率m/n 试验者（二组）试验者（二组）1号与号与6号号2号与号与5号号3号与号与4号号 小组合计小组合计正面向上次数正面向上次数m8488109281 总投掷次数总投掷次数n160180210550正面向上频率正面向上频率m/n 0.46 0.52 0.510.5020.530.490.520.5100.500.51 做做 一一 做做实验者实验者一组一组二组二组三组三组四组四组 五组五组六组六组全班全班合计合计正面向正面向上次数上次数m 226 281 260 238 246259总投掷总投掷次数次数n 450 550 503 487 510495正面向上正面向上频率频率m/n试验汇报试验汇报：（以一组为例）：（以一组为例）0.5020.510 0.517 0.49 0.483149029950.5230.497=0.50 做做 一一 做做问题问题2 分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据，分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据，大家有何发现？大家有何发现？试验者试验者抛掷次数抛掷次数n ““正面向上正面向上””次数次数m““正面向上正面向上””频率频率( )棣莫弗204810610.518布 丰404020480.5069费 勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005 做做 一一 做做问题问题3 分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据，分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据，大家有何发现？大家有何发现？试验次数越多频率越接近试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率。

即频率稳定于概率抛掷次数抛掷次数n0.52048 4040 100001200024000““正面向上正面向上””频率频率( )0必须掌握必须掌握小资料小资料人们在长期的实践中发现人们在长期的实践中发现, ,在随机试验中在随机试验中, ,由于众多微小的由于众多微小的偶然因素的影响偶然因素的影响, ,每次测得的结果虽不尽相同每次测得的结果虽不尽相同, ,但大量重复但大量重复试验所得结果却试验所得结果却能反应客观规律能反应客观规律. .这称为这称为大数法则大数法则, ,亦称亦称大大数定律数定律. .由频率可以估计概率是由瑞士数学由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅各布家雅各布··伯努利（伯努利（16541654－－17051705））最早阐明的，因而他被公认为是概最早阐明的，因而他被公认为是概率论的先驱之一．率论的先驱之一．你知道吗？你知道吗？频率稳定性原理频率稳定性原理问题问题4 为什么可以用频率估计概率？为什么可以用频率估计概率？ 一般地，在大量重复试验中，如果事一般地，在大量重复试验中，如果事件件A发生的概率发生的概率 会会稳定稳定在某个常数在某个常数p附近，那么事件附近，那么事件A发生的概率发生的概率P(A)=p. .必须掌握必须掌握小资料小资料频率与概率的区别与联？频率与概率的区别与联？ 所谓频率，是在相同条件下进行重复试验时事件发生的所谓频率，是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，次数与试验总次数的比值，其本身是随机的其本身是随机的，，在试验前不在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变能够确定，且随着试验的不同而发生改变. . 而一个而一个随机事随机事件发生的概率件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，是确定的常数，是客观存在的，与试验次数与试验次数无关无关. . 从以上角度上讲，频率与概率是有区别的，但在大从以上角度上讲，频率与概率是有区别的，但在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性：随着试验次数的增加，频率将会越来越集中在一个律性：随着试验次数的增加，频率将会越来越集中在一个常数附近，具有稳定性，即试验频率稳定于其理论概率常数附近，具有稳定性，即试验频率稳定于其理论概率. .必须掌握必须掌握小资料小资料u 一般地一般地, ,当试验的可能结果有很多且各种可能结当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时果发生的可能性相等时, , 则用则用列举法列举法，利用概率公，利用概率公式式P(A)= 的方式得出概率的方式得出概率. .u 当试验的所有可能结果不是有限个当试验的所有可能结果不是有限个, ,或各种可能或各种可能结果发生的可能性不相等时结果发生的可能性不相等时, ,常常是通过统计频率来常常是通过统计频率来估计概率估计概率, ,即在同样条件下即在同样条件下, ,大量重复试验大量重复试验所得到的所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率的概率. .必须掌握必须掌握小资料小资料0.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103填表：填表：由上表可知：柑橘损坏率是由上表可知：柑橘损坏率是 ，完好率是，完好率是 . .0.100.90【【趁热打铁趁热打铁】】 某水果公司以某水果公司以2元元/ /千克的成本新进了千克的成本新进了10000千克柑千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？定价为多少元比较合适？分析分析 根据上表估计柑橘损坏的概率为根据上表估计柑橘损坏的概率为0.1，，则柑橘完好的概率为则柑橘完好的概率为0.9.------------强化训练强化训练--------------解：根据估计的概率可以知道，在解：根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑千克柑橘中完好柑橘的质量为橘的质量为10000×0.9=9000千克，完好柑橘的实际成本为千克，完好柑橘的实际成本为设每千克柑橘的销价为设每千克柑橘的销价为x元，则应有元，则应有（（x-2.22））×9000=5000，，解解得得 x≈2.8.因此，出售柑橘时每千克大约定价为因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润元可获利润5000元元. .------------强化训练强化训练-------------- 养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼( (假设这假设这个塘里养的是同一种鱼个塘里养的是同一种鱼),),先捕上先捕上100条做上标记，然后放回条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上再捕上100条，发现其中带标记的鱼有条，发现其中带标记的鱼有10条，鱼塘里大约有条，鱼塘里大约有鱼多少条？鱼多少条？解：设鱼塘里有鱼解：设鱼塘里有鱼x条，根据题意可得条，根据题意可得 解得解得 x=1000.答：鱼塘里有鱼答：鱼塘里有鱼1000条条. . ------------强化训练强化训练--------------抛掷硬币抛掷硬币““正面向上正面向上””的概率是的概率是0.5.如果连续抛掷如果连续抛掷100次，而结果并不一定是出现次，而结果并不一定是出现““正面向上正面向上””和和““反反面向上面向上””各各50次，这是这什么？次，这是这什么？答：这是因为频数和频率的随机性以及答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律性一定的规律性. .或者说概率是针对大量重或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生律并非在每一次试验中都发生. .------------强化训练强化训练-------------- 某池塘里养了鱼苗某池塘里养了鱼苗10万条，根据这几年的经万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间准备打捞，一段时间准备打捞出售，第一网捞出出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重条，称得平均每条鱼重 2.5千千克，第二网捞出克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重条，称得平均每条鱼重2.2千克，千克，第三网捞出第三网捞出35条，称得平均每条鱼重条，称得平均每条鱼重2.8千克，试千克，试估计这池塘中鱼的重量估计这池塘中鱼的重量. .解：先计算每条鱼的平均重量是：解：先计算每条鱼的平均重量是：（（2.5×40+2.2×25+2.8×35））÷（（40+25+35））=2.53（千克）；（千克）；所以这池塘中鱼的重量是所以这池塘中鱼的重量是2.53×100000× 95%=240350（千克）（千克）.------------强化训练强化训练--------------频率估频率估计概率计概率大量重大量重复试验复试验求非等可求非等可能性事件能性事件概率概率列举法列举法不能适应不能适应频率稳定频率稳定常数附近常数附近统统计计思思想想用样本（频用样本（频率）估计总率）估计总体（概率）体（概率）一一种种关关系系频频率率与与概概率率的的关关系系频率稳定时可看作是概率频率稳定时可看作是概率但概率与频率无关但概率与频率无关必须掌握必须掌握小资料小资料。