《高二数学获奖精品课件大集合1 新课标 人教版100147_数学竞赛辅导----立体几何_邓爱萍》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学获奖精品课件大集合1 新课标 人教版100147_数学竞赛辅导----立体几何_邓爱萍（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高二数学竞赛辅导第三讲高二数学竞赛辅导第三讲立体几何解题的基本策略立体几何解题的基本策略一、点、线、面间关系的转化 立体几何的知识告诉我们，最核心的内立体几何的知识告诉我们，最核心的内容是线面间的的垂直、平行关系，而它们又容是线面间的的垂直、平行关系，而它们又通过判定定理、性质定理而相互转化。定理通过判定定理、性质定理而相互转化。定理的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与转化。转化。 点面点面点点点点 点线点线 线面线面 面面面面 线线线线例例1 1 ( (如图如图) ) 二面角二面角 AB AB 的平面角为的平面角为 30300 0，在，在上作上作ADA
2、BADAB，AD=10AD=10，过，过D D作作 CDCD于于D,D,若若ACB = 60ACB = 600 0，求，求ACAC与与BDBD的的 距离。距离。解解 作作BEAC，CEAB,连连EC,ED，则，则AC面面BCE，直线，直线AC到到面面BDE的距离就是的距离就是AC到到BD的的 距离距离.这时，这时，AC上任一点到面上任一点到面BDE的距离的距离就是所求就是所求. CBEAHD 由由DC知，知，DCAC;又又AD AB，根据三垂线定理，根据三垂线定理 ，AC AB.但但ABAC,故故AC CE.从而从而AC 面面CDE 。又。又 BEAC ,得得BE 面面CDE, 进而面进而面B
3、DE面面CDE， 在在RtCDE上作高上作高CH，由，由RtACD中中, CAD = 30CAD = 300 0为二面为二面角的平面角角的平面角. AD =10, 得得AC = 5 , CD = 5; 又在又在RtABC 中，中，ACB = 600 ,有有CE=AB = AC = 15, 最后在最后在 RtACD中，由中，由CE=AB =15, 得得DE = 5 , 从而从而CH = = 三个步骤三个步骤:一、一、线线线线距离转化为距离转化为线面线面距离距离ABCDEH二、再转化为二、再转化为点面点面距离距离三、计算距离三、计算距离解法二解法二 用体积法计算用体积法计算 V VD-BCED-B
4、CE=V=VC-BDEC-BDE. .解法三解法三 外接于一个长方体用外接于一个长方体用补形补形的方法解决的方法解决CEBADH二二、 平平 面面 化化 的的 思思 考考 在空间在空间, ,选取一个恰当的平面选取一个恰当的平面, ,使问题在这个平面上获得突使问题在这个平面上获得突破性的进展破性的进展, ,甚至全部解决甚至全部解决, ,是一种自然而重要的思考是一种自然而重要的思考, ,怎样选怎样选取平面呢取平面呢? ?有以下几个主要有以下几个主要方法方法1、 截面法截面法2、隔离法、隔离法3、展平法、展平法4、投影法、投影法例例2 2、 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，设中，设C1
5、D1 B 所在的半所在的半平面为平面为 ，C D1 B所在的半平面为所在的半平面为 ，BD1 所在的直线是所在的直线是 与与 的交线。求二面角的交线。求二面角 BD1 的度数的度数ABCDA1B1C1D1MN 因为二面角的平面角的度数是因为二面角的平面角的度数是由相应平面角的来表示的，所以解由相应平面角的来表示的，所以解题的一个方向是找平面角。题的一个方向是找平面角。分析分析解解 在平面在平面 A B C1 D1 上，由上，由点点 A 向向 B D1 引垂线，与引垂线，与BD 1 交于交于M,与与BC1 交于交于N，连，连CM，由于正方体关于面由于正方体关于面BB1D1D的对的对称性，必有称性
6、，必有CMBD1 ，因此，因此， NMC就是二面角的平面就是二面角的平面设正方体的棱长为，则设正方体的棱长为，则AC2=CD12 =2a2 ，AM2 =MC2 = a2 ,在在 AMC中，由余弦定中，由余弦定理得理得 AMC=1200 ，从而，从而 MAC=600 ，即二面角，即二面角BD1 的度数为的度数为600。MCDABNABCDMN 例例5、若空间四边形的两组对边相等，则两条对角线的中点若空间四边形的两组对边相等，则两条对角线的中点连线垂直对角线。连线垂直对角线。三、三、 图图 形形 变变 换换证明证明 如图，空间四边形如图，空间四边形ABCD中，中，M,N是对角是对角AC,BD的中的
7、中点，现将点，现将A与与C交换交换,B与与D交换，得到同一位置的空间四边形，交换，得到同一位置的空间四边形，而这个四边形又可看作一个绕着某一轴（轴对称）而这个四边形又可看作一个绕着某一轴（轴对称）旋转旋转1800 得到另一个，由得到另一个，由A与与C关关M于对称，于对称，B与与D关于关于N 对称知，对称知，对称对称轴轴必经过必经过MN，从，从MNAC，MNBD。 ABCDMMCDABN证明证明2、 将将ACD 绕绕AC展平到面展平到面ACD上，得上，得 ABCD，则，则 BD与与AC相交与相交与M，BM=MD。再将图形复原，由。再将图形复原，由BM=MD，BN=ND知知MN是等腰三角形是等腰三
8、角形MBD 底边上的高，有底边上的高，有 MNBD。同理同理MNAC。DCBANM 图形变换包括图形变换包括1、空间的对称 2、空间的空间的旋转 3、空间的折叠4、空间的展平 直观上补充成为长方体，则MN是上下底面中心的连线，它与上下底面都垂直，当然是同时垂直于AC,BD.C1C1CAABCDDB1D1例例4 4、 如图，已知给一个长方体，其共顶点的如图，已知给一个长方体，其共顶点的3 3条棱互不相条棱互不相等，现在要由一顶点沿表面到对角顶点，求最短的线路。等，现在要由一顶点沿表面到对角顶点，求最短的线路。ABDCA1B1C1D1分析分析： 将长方体各面展于同一将长方体各面展于同一平面上（可省
9、去底面平面上（可省去底面ABCD）由两点间距离最短）由两点间距离最短知，知， 有三条相对短的走法，设有三条相对短的走法，设三条共点棱长为三条共点棱长为AB=a, AD=b， AA1 =c，且由勾，且由勾股定理可算股定理可算 得得AFC1最短。最短。FF 四、四、 体体 积积 法法 用用两种方法两种方法计算计算同一体积同一体积，从而得出未知数的等量关，从而得出未知数的等量关系，这是平面几何的面积法的直接推广，用这种方法求点系，这是平面几何的面积法的直接推广，用这种方法求点到平面的距离时，可免去找距离线段或论证垂直关系的推到平面的距离时，可免去找距离线段或论证垂直关系的推理过程，在种方法多用于四面
10、体和长方体，因为它们对底理过程，在种方法多用于四面体和长方体，因为它们对底面的选择有很大的自由度，可以方便地面的选择有很大的自由度，可以方便地“换底换底”例例5 5 如图，已知如图，已知ABCDABCD是边长是边长为为4 4的正方形，的正方形，E E，F F 分别是分别是 AB ,AD AB ,AD 的中点，的中点，CG CG 垂直于垂直于 ABCD ABCD 所在的平面，且所在的平面，且 CG=2CG=2，求求 B B 点到平面点到平面 GEF GEF 的距离。的距离。EFCABDGEFABCDGH解解连连BFBF，BG ,BG ,有有=2记记 H 为为AC与与EF的的交点，由交点，由CG为
11、平为平面面AC的垂线，的垂线，ACEF知，知，CHEF,且由且由 ， 知，知， 根据等积关系根据等积关系 ，有，有得到得到 B 到平面到平面 GEF 的距离是的距离是 . 五、五、 基基 本本 图图 形形 法法 立体几何中的立体几何中的基本图形基本图形是是正方体正方体，熟练掌握正方体的基，熟练掌握正方体的基本性质和各类线面关系，对于解题是非常有益的，一旦遇到本性质和各类线面关系，对于解题是非常有益的，一旦遇到新问题，我们或者补充为一个正方体，或者分割成几个正方新问题，我们或者补充为一个正方体，或者分割成几个正方体，体，“能割善补能割善补”是学习立体几何的诀窍。是学习立体几何的诀窍。 例例6 有
12、三个边长为的正方形，分别将每一个正方形的有三个边长为的正方形，分别将每一个正方形的一个角按两邻边中点连线剪下，按图分别接在边长为一个角按两邻边中点连线剪下，按图分别接在边长为 a a的的 正六边形各边上，然后沿正六边形各边将其余部分折起，如正六边形各边上，然后沿正六边形各边将其余部分折起，如图，求所成立体图形的体积。图，求所成立体图形的体积。PPPHHHKKKGGGABCDEFGKFEDCBAPH解法一解法一 （分割）将（分割）将 立体图形分割为一个正六棱立体图形分割为一个正六棱锥锥PABCDEF与三个三棱锥与三个三棱锥PGAF, PHBC,PKDE之之和。和。HPKGABCDEF解法二解法二
13、 （补充）将立体图形补充为一（补充）将立体图形补充为一个正方体如图，个正方体如图，得得V = a3则所求的则所求的立体图形体积立体图形体积是正方体体积的一半是正方体体积的一半 六、六、 投投 影影 法法 投影投影是实现平面化思考的一条途径是实现平面化思考的一条途径,同时也是处理更广同时也是处理更广泛空间问题的一个通法泛空间问题的一个通法. 例例7 设设PP1 , QQ1是空间中两条异面直线是空间中两条异面直线,A,B,C是直线是直线QQ1上上3点点,且点且点B在在A,C之间之间,A1,B1， C1是由是由A,B,C向直线，向直线，PP1所引垂线的垂足所引垂线的垂足,证明证明 BB1 max A
14、A 1, CC1 PQP1Q1OABCA1B1C1A2B2C2证明证明 作平面作平面 垂直于垂直于PP1 ，则直线，则直线PP1在平面在平面 上上 的投的投影为一点，记为影为一点，记为O，由，由 AA1 PP1，BB1 PP1, CCPP1 知知, AA1 , BB1 , CC1 从而从而 AA1在在 上的投影上的投影OA2=AA1, BB1在在上的投影上的投影OB2=BB1, CC1在在上的投影上的投影OC2=CC1且由且由B在在A,C 之间知之间知, B2 在在A2 ,C2 之间之间在在 OA2C2中中, 有有 maxOB 2A 2 , OB 2 C2 900 从而从而 OB2 maxOA2 OC2 即即 BB1 maxAA1 CC1 .
