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1、22.322.3实际问题与一元二次方程（三）实际问题与一元二次方程（三）面积问题面积问题复习：复习：列方程解应用题有哪些步骤列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应通过解各种类型对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。解应用题。上一节，我们学习了解决上一节，我们学习了解决“平均平均增长增长( (下降下降) )率问题率问题”，现在，我们要学习，现在，我们要学习解决解决“面积、体积问题面积、体积问题。一、复习引入一、复习引入 1直角三角形的面积公式是什么？直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么呢？一般三角形
2、的面积公式是什么呢？ 2正方形的面积公式是什么呢？正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？长方形的面积公式又是什么？ 3梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？ 4菱形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？ 5平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？ 6圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？ 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下上、下边衬等宽边衬等
3、宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的应如何设计四周边衬的宽度宽度?2721探究探究3 3分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的依题知正中央的 矩形两边之比也为矩形两边之比也为9:7解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得依题意得解得解得 故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为:分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:
4、7解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm 依题意得依题意得解方程得解方程得方程的哪个根合方程的哪个根合乎实际意义乎实际意义?为什么为什么?例例1. 学校为了美化校园环境，在一块长学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽米、宽7米米的长方形花圃的长方形花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方
5、平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案案.（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由说明理由.应用解解: (1) 方案方案1：长为：长为 米，宽为米，宽为7米米;方案方案2：长为：长为16米，宽为米，宽为4米米;方案方案3：长：长=宽宽=8米米;注：本题方案有无数种注：本题方案有无数种（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积
6、不能增加圃面积不能增加2平方米平方米.由题意得长方形长与宽的和为由题意得长方形长与宽的和为16米米.设长方设长方形花圃的长为形花圃的长为x米，则宽为（米，则宽为（16-x）米）米.x(16-x)=63+2， 即即x2-16x+65=0， 此方程无解此方程无解. 在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加能增加2平方米平方米1 1、用、用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩的矩形形, ,若能够若能够, ,求它的长与宽求它的长与宽; ;若不能若不能, ,请说明理由请说明理由. .解解:设这个矩形的长为设这个矩
7、形的长为xcm,则宽为则宽为 cm,即即x2-10x+30=0这里这里a=1,b=10,c=30, 此方程无解此方程无解. 用用20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形的矩形.练习练习2 2：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余下余下部分作草坪部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在有现在有两位学生各设计了一种方案两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据两种根据两种设计方案各列出方程设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别求图中道路的宽分别是多少
8、是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2. .(1)(2)(1)解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米， 则则化简得，化简得，其中的其中的 x=25x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去. .图图(1)(1)中中道路的宽为道路的宽为1 1米米. .则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系是矩形面积分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于减去道路面积等于540540米米2 2。解法一、如图，设道路的宽为解法一、如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向
9、的路面面积为 。20x 20x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2 米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是图中的道路面积不是图中的道路面积不是米米2 2。(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是米米2所以正确的方程是：所以正确的方程是：化简得，化简得，其中的其中的 x=50x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. .取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为： =100 (米米2)草坪面积草坪面积= = 540（米（米2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。解法二：解法二
10、： 我们利用我们利用“图形经过移动，它的图形经过移动，它的面积大小不会改变面积大小不会改变”的道理，把纵、的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）工，仍可按原图的位置修路）(2)(2)横向路面横向路面 ，如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，32x32x米米2 2纵向路面面积为纵向路面面积为 。20x20x米米2 2草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向）草坪矩形的宽（纵向） 。相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=
11、540米米2 2(20-x)(20-x)米米（32-x)32-x)米米即即化简得：化简得：再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同。相同。3.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑同要修筑同样宽的三条道路样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂直且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的要使试验地的面积为面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，米， 则则化简得，化简得，其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽
12、，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.4.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外四周外围环绕着宽度相等的小路围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解: :设小路宽为设小路宽为x x米，米， 则则化简得，化简得，答答:小路的宽为小路的宽为3米米.1.如图（如图（1），宽为），宽为50cm的矩形图案由的矩形图案由10个全等的小长方个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为形拼成，则每个小长方形的面积为【 】 A400cm2 B500cm2 C600cm2 D4000cm22
13、. 在一幅长在一幅长80cm，宽，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图（色纸边，制成一幅矩形挂图，如图（2）所示，如果要使）所示，如果要使整个挂图的面积是整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为，设金色纸边的宽为xcm，那么那么x满足的方程是满足的方程是【 】 Ax2+130x-1400=0 Bx2+65x-350=0 Cx2-130x-1400=0 Dx2-65x-350=080cmxxxx50cmAB图（图（1）图（图（2）补充练习补充练习3.如图，面积为如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为的正方形的四个角是面积为2m
14、2的小正方形，用计算器求得的小正方形，用计算器求得a的长为（保留的长为（保留3个有效个有效数字）数字）【 】A2.70m B2.66m C2.65m D2.60mCa4如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围，所围的面积为的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为，则此长方形鸡场的长、宽分别为_图（图（3）图（图（4）这里要特别注意这里要特别注意:在列一元二次方程解应用在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求检验这两个根是否符合实际问题的要求 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次 方程解应用题的步骤类似，方程解应用题的步骤类似， 即即审、设、列、解、检、答审、设、列、解、检、答小结小结
