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1、1.1 状态变量及状态空间表达式1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一)1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 1.5 状态矢量的线性变换(坐标变换)1.4 状态变量及状态空间表达式的建立(二) 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵1.1 1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式1.1.1 状态及状态变量pp定义定义：动态系统的状态,是指能够完全描述系统时间域动态行为的一个最小变量组。该变量组的每个变量称为状态变量。该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。 p“状态”定义的三要素完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值和初始时刻后(tt0)的输入
2、,则系统在任何瞬时(tt0)的行为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。动态时域行为。最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立相互独立l减少变量,描述不全。l增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必要。1.1 1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式1.1.2 状态矢量 若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t),x2(t), ,xn(t). 若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下: 多输入多输出系统示意图多输入多输出系统示意图p状
3、态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。1.1.3 状态空间p若以n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空间,并称为n维状态空间,记为Rn.p状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状态空间构成一条轨迹,它称为状态轨迹。状态轨迹如右图所示。二维空间的状态轨迹根据电学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：亦即（1）1.1.4 状态方程
4、由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。用下图所示的R-L-C 网络，说明如何用状态变量描述这一系统。图一或式中(2) 式(1)就是图一系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号表示，即令x1=uC, x2=i ，并写成矢量矩阵形式，则状态方程变为：式（3）就是图一系统的输出方程，它的矩阵表示式为：或（3）式中或（4）1.1.5 输出方程 在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。如在图一系统中，指定uC作为输出，输出一般用y表示，则有： 状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。 在经典控制理论中，用
5、指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。如上图一所示的系统，在以uC作输出，从式(1)消去中间变量i，得到二阶微分方程为：其相应的传递函数为：（6）（5）1.1.6 状态空间表达式（8） 设单输入一单输出定常系统，其状态变量为 则状态方程的一般形式为：输出方程式则有如下形式： 回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选 和 作为两个状态变量，即令 则得一阶微分方程组为：同一物理系统，状态空间表达式不唯一 因而多输入一多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：式中，x和A与单输入系统相同，分别为n维状态矢量和nn系统矩阵；为r维输入(或控制)矢量；为m维输出矢量；（9）（10）用矢量矩阵
6、表示时的状态空间表达式则为：1.1.7 状态空间表达式的系统框图 p线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。在采用模拟或数字计算机仿真时,它是一个强有力的工具。系统结构图主要有三种基本元件: 积分器，加法器，比例器1.1.7 状态空间表达式的系统框图 式（9）和（10）可以用框图表示系统信号传递的关系。1.2 1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 状态空间表达式的框图可按如下步骤绘制：积分器的数目应等于状态变量数，将它们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状
7、态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。例1：对于一阶标量微分方程：例2：三阶微分方程：将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成它的模拟结构图如下：例3：已知状态空间表达式，画出相应的模拟结构图。它的模拟结构图如下：例4：求下列二输出的二阶系统的模拟结构图。它的模拟结构图如下：1.3 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立( (一一) )状态空间表达式的建立一般可以从三个途径求得：由系统框图来建立，即根据系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空问表达式；从系统的物理或化学的机理出发进行推导；由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数
8、予以演化而得。1.3 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立( (一一) )1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式几个典型环节的模拟结构图图几个典型环节的模拟结构图图 （1）积分环节：）积分环节： （2）一阶惯性环节：）一阶惯性环节： 1.3 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立( (一一) )1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式几个典型环节的模拟结构图几个典型环节的模拟结构图 （3）一阶微分惯性环节：）一阶微分惯性环节：（4）二阶环节）二阶环节: 后一部分是前向通道后一部分是前向通道为为 的单位负反馈系统的单位负反馈系统
9、 而前向通道又可分解而前向通道又可分解为为比例器比例器a0 、积分器和一阶、积分器和一阶惯性环节惯性环节 三部分三部分 1.3 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立( (一一) )1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式几个典型环节的模拟结构图几个典型环节的模拟结构图 1.3 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立( (一一) )1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式例例1：控制系统的结构图如下图，试画出模拟结构图并求出：控制系统的结构图如下图，试画出模拟结构图并求出状态空间表达式状态空间表达式 1.3 1.3 状态变量及状态
10、空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立( (一一) )1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式例例2：控制系统的结构图如下图，试画出模拟结构图并求出：控制系统的结构图如下图，试画出模拟结构图并求出状态空间表达式状态空间表达式 1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式 一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的输出方程。1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式例例1：求下图电路的状态空间表达式：求下图电路的状态空间表达式
11、解：选择三个储能元件解：选择三个储能元件L1、L2、C上的物理量上的物理量i1、i2、uc为状态变量为状态变量x1x2、x3，则有，则有1.4 1.4 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立( (二二) ) 1.4 1.4 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立( (二二) ) 1.4 1.4 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立( (二二) ) 1.4.1 传递函数中没有零点时的实现在这种情况下，系统的微分方程为：在这种情况下，系统的微分方程为： 相应的系统传递函数为相应的系统传递函数为若取若取y/b0及其各阶导数作为状态变
12、量，则有及其各阶导数作为状态变量，则有 输出方程为：输出方程为： 表示成矩阵形式，则为：表示成矩阵形式，则为： 顺便指出，当顺便指出，当A矩阵具有式上矩阵的形式时，称为友矩阵，矩阵具有式上矩阵的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为1；最后一行的元素可；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均为零。取任意值；而其余元素均为零。其模拟结构图为：其模拟结构图为：1.4 1.4 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立( (二二) ) 1.4.1 传递函数中没有零点时的实现若取若取y及其各阶导数作为状态变量，则有及其各阶导数作为
13、状态变量，则有输出方程：输出方程： y=x1将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有：将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有：其模拟结构图为：其模拟结构图为：例：将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型例：将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型此时，系统的微分方程为此时，系统的微分方程为：相应地，系统传递函数为：相应地，系统传递函数为：不是一般性，以三阶系统为例，设待实现的系统传递函数为：不是一般性，以三阶系统为例，设待实现的系统传递函数为：因为因为 上式可变换为上式可变换为（26） 1.4.2 传递函数中有零点时的实现 令令则则对上式求拉氏反变换，可得：对上式求拉氏反变换，可得：或表示为：或
14、表示为：系统模拟结构图为：系统模拟结构图为：传递传递传递传递函数函数函数函数有零有零有零有零点时点时点时点时( (推广推广推广推广到到到到N N阶阶阶阶系统系统系统系统) ) 求状态空间表达式求状态空间表达式1.5 1.5 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换( (坐标变换坐标变换) )1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性 对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际上是统可以有多种结构形
15、式。所选取的状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换一种矢量的线性变换(或称坐标变换或称坐标变换)。 设给定系统为：设给定系统为：（37）即代入式（37），得到新的状态空间表达式：（38） 我们总可以找到任意一个非奇异矩阵T，将原状态矢量x作线性变换，得到另一状态矢量z，设变换关系为：系统特征值就是系统矩阵A的特征值，也即特征方程：（43） 的根。n*n方阵A且有n个特征值；实际物理系统中，A为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对共轭复数；如A为实对称方阵，则其特征值都是实数。1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量 1.系统特征值系统 式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，
16、即系统的非奇异变换，其特征值是不变的系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：2系统的不变量与特征值的不变性同一系统，经非奇异变换后，得：其特征方程为：（44） 将特征方程写成多项式形式:3特征矢量（向量）由于特征值全由特征多项式的系数an-1，an-2，a1，a0 唯一确定，而特征值经非奇异变换是不变的，那么这些系统an-1，an-2，a1，a0也是不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。一个n维矢量Pi：经过以A作为变换阵的变换，得到一个新的矢量 即 如果此 即矢量Pi ，经A线性变换后，方向不变，仅长度变化 倍，则称Pi为A的对应于 的特征矢量，此时有 1.5.3 状态空
17、间表达式变换为约旦标准型(特征值规范型）这里的问题是将 (45) 变换为：(46) 根据系统矩阵A求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准型矩阵J。无重根时有重根时欲得到变换的控制矩阵T-1B和输出矩阵CTCT，则必须求出变换矩阵T T。下面根据A A阵形式及有无重根的情况，分别介绍几种求T T的方法。 1.A1.A阵为任意形式阵为任意形式(1)A阵的特征值无重根时 设 是A A的n个互异特征根，求出A A的特征矢量Pi,则变换矩阵T由A A的特征矢量Pi构成，即化成对角线标准型1.A1.A阵为任意形式阵为任意形式(2)A阵的特征值有q个重根 时化为约旦标准型2 2A A阵为标准型阵为标准型(
18、(友矩阵友矩阵) )，即，即 (1)A A的特征值无重根时，其变换是一个范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)矩阵矩阵，为：(2)A A特征值有重根时，以有 的三重根为例：化为约旦标准型已知系统传递函数：（55）现将式(55)展开成部分分式。由于系统的特征根有两种情况：一是所有根均是互异的，一是有重根。 3 3系统的并联型实现系统的并联型实现（1）无重根时此时（无重根），状态空间表达式（1）为模拟结构图入右所示：此时（无重根），状态空间表达式（2）为模拟结构图入右所示：（2）有重根时此时，状态空间表达式为：模拟结构图为：1.6 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
19、从状态空间表达式求传递函数阵其中各元素Wij(s)都是标量函数，它表征第j个输入对第i个输出的传递关系。当ij时 ,意味着不同标号的输入与输出有相互关联，称为有耦合关系，这正是多变量系统的特点。W(S)还可以表示为： 可以看出，W(s)的分母就是系统矩阵A A的特征多项式，W(s)的分子是一个多项式矩阵。 应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传递函数阵是不变的。当做坐标变换，即令z=T-1x时，则该系统的状态空间表达式为：（71）那么对应上式的传递函数阵 应为：即线性变换不改变系统的传递函数阵设系统2为：简记为：1.6.2 子系统在各种连接时的传递函数阵 实际的控制系统，往往由多个子系统组合而成，或并联，或串联，或形成反馈连接。现仅以两个子系统作各种连接为例，推导其等效的传递函数阵。简记为：设系统1为：（72） 1并联连接 所谓并联连接，是指各子系统在相同输入下，组合系统的输出是各子系统输出的代数和，结构简图如下图所示。从而系统的传递函数阵为：故子系统并联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵的代数和。 1串联连接串联连接结构简图如下图所示。 即子系统串联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵之积。但应注意，传递函数阵相乘，先后次序不能颠倒。3具有输出反馈的系统具有输出反馈的系统如下图所示：
