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1、 二重积分的计算可以按照定义来进行，二重积分的计算可以按照定义来进行，同定积分按照定义进行计算一样，能够按照同定积分按照定义进行计算一样，能够按照定义进行计算的二重积分很少，对少数特别定义进行计算的二重积分很少，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对于一般的函数和积分区域却不可行。但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法本节介绍一种计算二重积分的方法把把 二重积分化为二次单积分二重积分化为二次单积分（定积分）（定积分）来来计算。计算。第二节第二节 二重积分的计算方法二重积分的计算方法一、利用直角坐标计算二重积分一、
2、利用直角坐标计算二重积分 在直角坐标系下用平行于坐标轴在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域的直线网来划分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积元素为则面积元素为 当函数当函数 在区域在区域D上连续时，我们可以用特定上连续时，我们可以用特定的分割来解决定积分的计算。的分割来解决定积分的计算。根据二重积分的几何意义：二重积分是以根据二重积分的几何意义：二重积分是以 为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求用定积分应用中求平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积的方法。的方法。 已知平行截面面积已知平行截面面积的立体
3、的体积的立体的体积用平面用平面x=x0截立体，截立体，截得截得A(x0). 应用计应用计算算“平行截面面积平行截面面积为已知的立体求体为已知的立体求体积积”的方法的方法,得得注意注意D的特殊之处。的特殊之处。如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.X型型 X型型区域的特点：区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型 Y型型区域的特点区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不
4、多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.对非对非X、Y型区域型区域解解积分区域如图积分区域如图解解积分区域如图积分区域如图解解原式原式解解解解解解 由以上各例可以看出，化为两次由以上各例可以看出，化为两次单积分来计算二重积分：单积分来计算二重积分：1 1、确定积分限是关键。、确定积分限是关键。2 2、既要考虑积分区域的形状，又要、既要考虑积分区域的形状，又要考虑被积函数的特性。考虑被积函数的特性。Z=0利用二重积分计算空间立体体积利用二重积分计算空间立体体积例例7 7解解X-型型例例8 8解解 先去掉绝
5、对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分 有些二重积分，积分区域的边有些二重积分，积分区域的边界曲线或被积函数用极坐标变量来界曲线或被积函数用极坐标变量来表示比较简单，则可以考虑用极坐表示比较简单，则可以考虑用极坐标来计算二重积分。标来计算二重积分。极坐标下二重积分化为二次积分的公式（）极坐标下二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图区域特征如图区域特征如图极坐标下二重积分化为二次积分的公式（）极坐标下二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积极极坐标下二重积分化为二次积分的公式（）坐标下二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图解解解解解解解解例例5 求由球面求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面与柱面x2+y2=2ay所围立体的体积。所围立体的体积。解：解： 计算第一挂限部分体积计算第一挂限部分体积xyoxyz解解 D=2D1例例7 7解解思考题思考题思考题解答思考题解答
