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1、第四章 微积分问题的计算机求解微积分问题的解析解微积分问题的解析解函数的级数展开与级数求和问题求解函数的级数展开与级数求和问题求解*数值微分数值微分数值积分问题数值积分问题曲线积分与曲面积分的计算曲线积分与曲面积分的计算*4.1 微积分问题的解析解 4.1.1 极限问题的解析解单变量函数的极限格式1： L= limit( fun, x, x0)格式2： L= limit( fun, x, x0, left 或 right)例: 试求解极限问题 syms x a b; f=x*(1+a/x)x*sin(b/x); L=limit(f,x,inf) L = exp(a)*b例:求解单边极限问题 s
2、yms x; limit(exp(x3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x),x,0,right) ans =12在(-0.1,0.1)区间绘制出函数曲线： x=-0.1:0.001:0.1; y=(exp(x.3)-1)./(1-cos(sqrt(x-sin(x);Warning: Divide by zero.(Type warning off MATLAB:divideByZero to suppress this warning.) plot(x,y,-,0,12,o)多变量函数的极限：格式： L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或 L1=limit(
3、limit(f,y,y0), x,x0) 如果x0 或y0不是确定的值，而是另一个变量的函数，如x-g(y)，则上述的极限求取顺序不能交换。例：求出二元函数极限值 syms x y a; f=exp(-1/(y2+x2)*sin(x)2/x2*(1+1/y2)(x+a2*y2); L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y),y,inf)L =exp(a2)4.1.2 函数导数的解析解函数的导数和高阶导数格式： y=diff(fun,x) %求导数 y= diff(fun,x,n) %求n阶导数例： 一阶导数： syms x; f=sin(x)/(x2+4*x+3); f1=diff
4、(f); pretty(f1) cos(x) sin(x) (2 x + 4) - - - 2 2 2 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3)原函数及一阶导数图： x1=0:.01:5; y=subs(f, x, x1); y1=subs(f1, x, x1); plot(x1,y,x1,y1,:)更高阶导数： tic, diff(f,x,100); tocelapsed_time = 4.6860原函数4阶导数 f4=diff(f,x,4); pretty(f4) 2 sin(x) cos(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) - + 4 - - 12 -
5、2 2 2 2 3 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 3 sin(x) cos(x) (2 x + 4) cos(x) (2 x + 4) + 12 - - 24 - + 48 - 2 2 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 4 2 sin(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) sin(x) + 24 - - 72 - + 24 - 2 5 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3)多元函数的偏导：格式： f
6、=diff(diff(f,x,m),y,n) 或 f=diff(diff(f,y,n),x,m)例： 求其偏导数并用图表示。 syms x y z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); zx=simple(diff(z,x)zx = -exp(-x2-y2-x*y)*(-2*x+2+2*x3+x2*y-4*x2-2*x*y) zy=diff(z,y)zy =(x2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-x2-y2-x*y)直接绘制三维曲面 x,y=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,
7、y,z), axis(-3 3 -2 2 -0.7 1.5) contour(x,y,z,30), hold on % 绘制等值线 zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); % 偏导的数值解 quiver(x,y,zx,zy) % 绘制引力线例 syms x y z; f=sin(x2*y)*exp(-x2*y-z2); df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z); df=simple(df); pretty(df
8、) 2 2 2 2 2 -4 z exp(-x y - z ) (cos(x y) - 10 cos(x y) y x + 4 2 4 2 2 4 2 2sin(x y) x y+ 4 cos(x y) x y - sin(x y)多元函数的Jacobi矩阵:格式：J=jacobian(Y,X)其中，X是自变量构成的向量，Y是由各个函数构成的向量。例：试推导其 Jacobi 矩阵 syms r theta phi; x=r*sin(theta)*cos(phi); y=r*sin(theta)*sin(phi); z=r*cos(theta); J=jacobian(x; y; z,r the
9、ta phi) J = sin(theta)*cos(phi), r*cos(theta)*cos(phi), -r*sin(theta)*sin(phi) sin(theta)*sin(phi), r*cos(theta)*sin(phi), r*sin(theta)*cos(phi) cos(theta), -r*sin(theta), 0 隐函数的偏导数：格式：F=-diff(f,xj)/diff(f,xi)例： syms x y; f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); pretty(-simple(diff(f,x)/diff(f,y) 3 2 2 -2 x + 2
10、+ 2 x + x y - 4 x - 2 x y - - x (x - 2) (2 y + x)参数方程的导数已知参数方程 ，求 格式： diff(f,t,k)/diff(g,t,k)例： syms t; y=sin(t)/(t+1)3; x=cos(t)/(t+1)3; pretty(diff(y,t,4)/diff(x,t,4)4.1.3 积分问题的解析解不定积分的推导：格式： F=int(fun,x)例：用diff() 函数求其一阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。 syms x; y=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=diff(y); y0=int(y1); pre
11、tty(y0) % 对导数积分 sin(x) sin(x) - 1/2 - + 1/2 - x + 3 x + 1对原函数求对原函数求4 4 阶导数，再对结果进行阶导数，再对结果进行4 4次积分次积分 y4=diff(y,4); y0=int(int(int(int(y4); pretty(simple(y0) sin(x) - 2 x + 4 x + 3例:证明 syms a x; f=simple(int(x3*cos(a*x)2,x)f = 1/16*(4*a3*x3*sin(2*a*x)+2*a4 *x4+6*a2*x2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)-3*co
12、s(2*a*x)-3)/a4 f1=x4/8+(x3/(4*a)-3*x/(8*a3)*sin(2*a*x)+. (3*x2/(8*a2)-3/(16*a4)*cos(2*a*x); simple(f-f1) % 求两个结果的差ans = -3/16/a4定积分与无穷积分计算:格式： I=int(f,x,a,b)格式： I=int(f,x,a,inf)多重积分问题的MATLAB求解例： symssyms x y z; f0=-4*z*exp(-x2*y-z2)*( x y z; f0=-4*z*exp(-x2*y-z2)*(coscos(x2*y)-(x2*y)-10*10*coscos(x2
13、*y)*y*x2+.(x2*y)*y*x2+. 4*sin(x2*y)*x4*y2+4* 4*sin(x2*y)*x4*y2+4*coscos(x2*y)*x4*y2-sin(x2*y);(x2*y)*x4*y2-sin(x2*y); f1= f1=intint(f0,z);f1=(f0,z);f1=intint(f1,y);f1=(f1,y);f1=intint(f1,x);(f1,x); f1=simple( f1=simple(intint(f1,x)(f1,x)f1 =f1 = exp(-x2*y-z2)*sin(x2*y) exp(-x2*y-z2)*sin(x2*y) f2=int
14、(f0,z); f2=int(f2,x); f2=int(f2,x); f2=simple(int(f2,y)f2 =2*exp(-x2*y-z2)*tan(1/2*x2*y)/(1+tan(1/2*x2*y)2) simple(f1-f2)ans =0 顺序的改变使化简结果不同于原函数，但其误差为0，表明二者实际完全一致。这是由于积分顺序不同，得不出实际的最简形式。例： syms x y z int(int(int(4*x*z*exp(-x2*y-z2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi)ans =(Ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2)*pi
15、2*hypergeom(1,2,-pi2)Ei(n,z)为指数积分，无解析解，但可求其数值解： vpa(ans,60) ans = 3.108079402085412722834614647671385210191423063170218634835884.2 数值微分 4.2.1 数值微分算法两种中心差分：4.2.2 中心差分方法及其 MATLAB 实现 function dy,dx=diff_ctr(y, Dt, n) yx1=y 0 0 0 0 0; yx2=0 y 0 0 0 0; yx3=0 0 y 0 0 0; yx4=0 0 0 y 0 0; yx5=0 0 0 0 y 0; y
16、x6=0 0 0 0 0 y; switch n case 1 dy = (-diff(yx1)+7*diff(yx2)+7*diff(yx3)- diff(yx4)/(12*Dt); L0=3; case 2 dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)- 15*diff(yx3) +diff(yx4)/(12*Dt2);L0=3; case 3 dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)-6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+. 7*diff(yx5)-diff(yx6)/(8*Dt3); L0=5; case 4 dy = (-diff(yx1)+11*di
17、ff(yx2)-28*diff(yx3)+28* diff(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6)/(6*Dt4); L0=5; end dy=dy(L0+1:end-L0); dx=(1:length(dy)+L0-2-(n2)*Dt;调用格式： y为 等距实测数据， dy为得出的导数向量， dx为相应的自变量向量 。例：求导数的解析解,再用数值微分求取原函数的14 阶导数，并和解析解比较精度。 h=0.05; x=0:h:pi; syms x1; y=sin(x1)/(x12+4*x1+3);% 求各阶导数的解析解与对照数据 yy1=diff(y); f1=subs(yy1
18、,x1,x); yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x); yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x); yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x); y=sin(x)./(x.2+4*x+3); % 生成已知数据点 y1,dx1=diff_ctr(y,h,1); subplot(221),plot(x,f1,dx1,y1,:); y2,dx2=diff_ctr(y,h,2); subplot(222),plot(x,f2,dx2,y2,:) y3,dx3=diff_ctr(y,h,3); subplot(223),plot(
19、x,f3,dx3,y3,:); y4,dx4=diff_ctr(y,h,4); subplot(224),plot(x,f4,dx4,y4,:)求最大相对误差： norm(y4-f4(4:60)./f4(4:60)ans = 3.5025e-0044.2.3 插值多项式的导数基本思想：当已知函数在一些离散点上的函数值时，该函数可用插值多项式来近似，然后对多项式进行微分求得导数。选取x=0附近的少量点进行插值多项式拟合g(x)在x=0处的k阶导数为通过坐标变换用上述方法计算任意x点处的导数值令将g(x)写成z的表达式导数为可直接用 拟合节点 得到系数 d=polyfit(x-a,y,length
20、(xd)-1) 例：数据集合如下： xd: 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000 yd: 0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053计算x=a=0.3处的各阶导数。 xd= 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000; yd=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053; a=0.3;L=length(xd); d=polyfit(xd-a,yd,L-1);fact=1; for k=1:L-1;fact=factorial(k),fact;end der
21、iv=d.*factderiv = 1.8750 -1.3750 1.0406 -0.9710 0.6533 0.6376建立计算插值多项式各阶导数的poly_drv.mfunction der=poly_drv(xd,yd,a)m=length(xd)-1;d=polyfit(xd-a,yd,m);c=d(m:-1:1);fact(1)=1;for i=2:m; fact(i)=i*fact(i-1);endder=c.*fact;例： xd= 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000; yd=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614
22、 0.9053; a=0.3; der=poly_drv(xd,yd,a)der = 0.6533 -0.9710 1.0406 -1.3750 1.87504.2.4 二元函数的梯度计算格式： 若z矩阵是建立在等间距的形式生成的网格基础上，则实际梯度为例：计算梯度，绘制引力线图： x,y=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); fx,fy=gradient(z); fx=fx/0.2; fy=fy/0.2; contour(x,y,z,30); hold on; quiver(x,y,fx,fy)%绘制等高线与引
23、力线图绘制误差曲面: zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y,abs(fx-zx); axis(-3 3 -2 2 0,0.08) figure; surf(x,y,abs(fy-zy); axis(-3 3 -2 2 0,0.11)为减少误差，对网格加密一倍： x,y=meshgrid(-3:.1:3,-2:.1:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); fx,fy=gradie
24、nt(z); fx=fx/0.1; fy=fy/0.1; zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y,abs(fx-zx); axis(-3 3 -2 2 0,0.02) figure; surf(x,y,abs(fy-zy); axis(-3 3 -2 2 0,0.06)4.3 数值积分问题 4.3.1 由给定数据进行梯形求积Sum(2*y(1:end-1,:)+diff(y).*diff(x)/2格式： S=tr
25、apz(x,y)例： x1=0:pi/30:pi; y=sin(x1) cos(x1) sin(x1/2); x=x1 x1 x1; S=sum(2*y(1:end-1,:)+diff(y).*diff(x)/2S = 1.9982 0.0000 1.9995 S1=trapz(x1,y) % 得出和上述完全一致的结果S1 = 1.9982 0.0000 1.9995例：画图 x=0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2; % 这样赋值能确保 3*pi/2点被包含在内 y=cos(15*x); plot(x,y)% 求取理论值 syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2
26、)A =1/15随着步距h的减小，计算精度逐渐增加： h0=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001; v=; for h=h0, x=0:h:3*pi/2, 3*pi/2; y=cos(15*x); I=trapz(x,y); v=v; h, I, 1/15-I ;end vv = 0.1000 0.0539 0.0128 0.0100 0.0665 0.0001 0.0010 0.0667 0.0000 0.0001 0.0667 0.0000 0.0000 0.0667 0.0000 0.0000 0.0667 0.00004.3.2 单变量数值积分问
27、题求解格式： y=quad(Fun,a,b) y=quadl(Fun,a,b) % 求定积分 y=quad(Fun,a,b, ) y=quadl(Fun,a,b, ) %限定精度的定积分求解，默认精度为106。例：第三种：匿名函数(MATLAB 7.0)第二种：inline 函数第一种，一般函数方法函数定义被积函数： y=quad(c3ffun,0,1.5)y = 0.9661用 inline 函数定义被积函数： f=inline(2/sqrt(pi)*exp(-x.2),x); y=quad(f,0,1.5)y = 0.9661运用符号工具箱： syms x, y0=vpa(int(2/sq
28、rt(pi)*exp(-x2),0,1.5),60) y0 = .966105146475310713936933729949905794996224943257461473285749 y=quad(f,0,1.5,1e-20) % 设置高精度，但该方法失效例：提高求解精度： y=quadl(f,0,1.5,1e-20)y = 0.9661 abs(y-y0)ans = .6402522848913892e-16 format long 16位精度 y=quadl(f,0,1.5,1e-20)y = 0.96610514647531例：求解绘制函数: x=0:0.01:2, 2+eps:0.
29、01:4,4; y=exp(x.2).*(x2); y(end)=0; x=eps, x; y=0,y; fill(x,y,g)调用quad( ): f=inline(exp(x.2).*(x2)./(4-sin(16*pi*x),x); I1=quad(f,0,4)I1 = 57.76435412500863调用quadl( ): I2=quadl(f,0,4)I2 = 57.76445016946768 syms x; I=vpa(int(exp(x2),0,2)+int(80/(4-sin(16*pi*x),2,4) I = 57.7644501250530103333152353851
30、824.3.3 Gauss求积公式为使求积公式得到较高的代数精度对求积区间a,b，通过变换有以n=2的高斯公式为例：function g=gauss2(fun,a,b)h=(b-a)/2;c=(a+b)/2;x=h*(-0.7745967)+c, c, h*0.7745967+c;g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3)+0.88888889*gaussf(x(2);function y=gaussf(x)y=cos(x); gauss2(gaussf,0,1)ans = 0.84154.3.4 基于样条插值的数值微积分运算基于样条插值的数值微分运算格式
31、： Sd=fnder(S,k)该函数可以求取S的k阶导数。格式： Sd=fnder(S,k1,kn)可以求取多变量函数的偏导数例： syms x; f=(x2-3*x+5)*exp(-5*x)*sin(x); ezplot(diff(f),0,1), hold on x=0:.12:1; y=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x); sp1=csapi(x,y); dsp1=fnder(sp1,1); fnplt(dsp1,-) sp2=spapi(5,x,y); dsp2=fnder(sp2,1); fnplt(dsp2,:); axis(0,1,-0.8,5)例：拟合
32、曲面 x0=-3:.3:3; y0=-2:.2:2; x,y=ndgrid(x0,y0); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); sp=spapi(5,5,x0,y0,z); dspxy=fnder(sp,1,1); fnplt(dspxy)理论方法： syms x y; z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); ezsurf(diff(diff(z,x),y),-3 3,-2 2)基于样条插值的数值积分运算格式： f=fnint(S)其中S为样条函数。例：考虑考虑 中较稀疏的样本点中较稀疏的样本点,用用样条积分的方式求出定积分及积分函数。样条积分的方
33、式求出定积分及积分函数。 x=0,0.4,1 2,pi; y=sin(x); sp1=csapi(x,y); a=fnint(sp1,1); xx=fnval(a,0,pi); xx(2)-xx(1)ans = 2.0191 sp2=spapi(5,x,y); b=fnint(sp2,1); xx=fnval(b,0,pi); xx(2)-xx(1)ans = 1.9999绘制曲线 ezplot(-cos(t)+2,0,pi); hold on fnplt(a,-); fnplt(b,:)4.3.5 双重积分问题的数值解矩形区域上的二重积分的数值计算格式： 矩形区域的双重积分： y=dblqu
34、ad(Fun,xm,xM,ym,yM) 限定精度的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM， )例：求解 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); y=dblquad(f,-2,2,-1,1)y = 1.57449318974494任意区域上二元函数的数值积分 (调用工具箱）格式： 一般双重积分 J= quad2dggen(fun,ymin,ymax,xlower,xupper) 限定精度的双重积分 J= quad2dggen(fun,ymin,ymax,xlower,xupper, ) 例 fh=inline(sqrt(1-x.2/2
35、),x); % 内积分上限 fl=inline(-sqrt(1-x.2/2),x); % 内积分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),y,x); % 交换顺序的被积函数 y=quad2dggen(f,fl,fh,-1/2,1,eps)y = 0.41192954617630解析解方法： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y),y,-sqrt(1-x2/2),sqrt(1-x2/2); int(i1,x,-1/2,1)Warning: Explicit integral could not be found. In D:MATL
36、AB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58 ans = int(2*exp(-1/2*x2)*sin(x2)*sin(1/2*(4-2*x2)(1/2),x = -1/2 . 1) vpa(ans) ans = .41192954617629511965175994017601例：计算单位圆域上的积分： 先把二重积分转化为二次积分的形式： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y),x,-sqrt(1-y.2),sqrt(1-y.2);Warning: Explicit integral could not be found.
37、In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58对x是不可积的，故调用解析解方法不会得出结果，而数值解求解不受此影响。 fh=inline(sqrt(1-y.2),y); % 内积分上限 fl=inline(-sqrt(1-y.2),y); % 内积分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); %交换顺序的被积函数 I=quad2dggen(f,fl,fh,-1,1,eps)Integral did not converge-singularity likelyI = 0.536860382697954.3.6 三重定积分的数值求解格式: I=triplequad(Fun,xm,xM,ym,yM, zm,zM， ,quadl) 其中quadl为具体求解一元积分的数值函数,也可选用quad或自编积分函数,但格式要与quadl一致。例： triplequad(inline(4*x.*z.*exp(-x.*x.*y-z.*z), x,y,z), 0, 2, 0, pi, 0, pi,1e-7,quadl)ans = 3.10807945143834
