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1、9.11球和它的性质球和它的性质球面距离球面距离四川省安岳中学 刘 波9.11球和它的性质球和它的性质 假如你要乘坐从上海直飞好莱坞的飞机假如你要乘坐从上海直飞好莱坞的飞机, ,设想一下设想一下, ,它需要沿着怎样的航线飞行呢它需要沿着怎样的航线飞行呢? ?航程航程大约是多少呢大约是多少呢? ? (1)在某一高度上，上海和好莱坞间的距离是一条在某一高度上，上海和好莱坞间的距离是一条线段的长吗线段的长吗?(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢经过球面上的这两点有多少条弧呢? (3)这无数条弧长哪条最短这无数条弧长哪条最短?为了解决这个问题我们这节课就来研究一下地为了解决这个问题我们这节课就来研究一
2、下地球上两点之间的最短距离（球面距离）球上两点之间的最短距离（球面距离）答：不是，是一段圆弧的长。答：不是，是一段圆弧的长。答：无数条。答：无数条。9.11球和它的性质球和它的性质球面距离：球面上两点球面距离：球面上两点A、B之间的最短距离，就是之间的最短距离，就是经过经过A、B两点的两点的大圆大圆在这在这两点间的一段两点间的一段劣弧劣弧AB的长的长度，我们把这个弧长叫做度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离A AB BO一一. .定义定义球面距离距离公式距离公式： （其中（其中R为球半径，为球半径， 为为A,B所对应的球心角的弧度数所对应的球心角的弧度数 ）RR9.11球和它的性
3、质球和它的性质1.位于同一经线上两点的球面距离位于同一经线上两点的球面距离例例1. 求东经求东经线上，纬度分别为北纬线上，纬度分别为北纬和和的两地的两地A，B B的球面距离的球面距离 (设地球半径为设地球半径为R).赤道赤道，根据，根据A ，B B的球面距离为的球面距离为解解 二二. .应用举例应用举例9.11球和它的性质球和它的性质例例2.已知地球半径为已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬两点均位于北纬45度度线上，点线上，点A在东经在东经30度，点度，点B在东经在东经120度。度。求求(1)在北纬在北纬45度圈上劣弧度圈上劣弧 的长度的长度; (2) 求经过求经过A、B两地的球面距离？两
4、地的球面距离？OO1ABm2.位于同一纬线上两点的球面距离位于同一纬线上两点的球面距离纬线圈中纬线圈中 的长度为的长度为9.11球和它的性质球和它的性质OO1ABm (2) 求经过求经过A、B两地球面距离？两地球面距离？ A、B两地的球面距离为两地的球面距离为9.11球和它的性质球和它的性质的的纬线上，上， A、 B B两地的球面距两地的球面距 变式：把地球当作半径式：把地球当作半径为的球，的球， 地球上两地地球上两地A B B均在北均在北纬离离为 , ,且且A在西经在西经 处，求点，求点B B的位置。的位置。 B9.11球和它的性质球和它的性质解：假设解：假设AB B的弧的弧长为在直角三角形
5、在直角三角形为正三角形，为正三角形，B9.11球和它的性质球和它的性质同理得：同理得：B所以所以 B B在西经在西经因为因为A在西经在西经处处,9.11球和它的性质球和它的性质例例3 3 （0404全国）已知球全国）已知球的半径的半径为1 1， A 、 B B 、 C三三 点都在球面上，且每两点点都在球面上，且每两点间的球面距离都的球面距离都为 ，则球球心到平面心到平面AB BC距离距离为（ ） ABC D 9.11球和它的性质球和它的性质，同理得：，同理得：，在直角三角形，在直角三角形 A 、 B B 、 C三点三点 解法一解法一 每两点每两点间的球面距离都的球面距离都为 为正三角形，为正三
6、角形，9.11球和它的性质球和它的性质，在直角三角形，在直角三角形注：我们可以把球的问题转化成棱锥注：我们可以把球的问题转化成棱锥(或棱柱或棱柱)问题来处理问题来处理9.11球和它的性质球和它的性质解法二解法二：建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系假设平面假设平面AB BC的法向量为的法向量为XYZ9.11球和它的性质球和它的性质则，则，注：只要有三条互相垂直的直线我们都可以建立空间直角坐注：只要有三条互相垂直的直线我们都可以建立空间直角坐标系标系XYZ令令得得平面的一个法向量为平面的一个法向量为，因为，因为B B点在平点在平面面AB BC内，内，9.11球和它的性质球和它的性质三三、小结小结
7、1.两种形式的球面距离的求解两种形式的球面距离的求解2.球面距离公式球面距离公式 P83 2 、 3 、 4(1).位于同一经线上两点的球面距离位于同一经线上两点的球面距离(2).位于同一纬线上两点的球面距离位于同一纬线上两点的球面距离方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化为弧度，最后代公式。为弧度，最后代公式。方法：直接代公式方法：直接代公式9.11球和它的性质球和它的性质练习：练习：（0808辽宁）已知在半径宁）已知在半径为的球面上有的球面上有 A 、 B B 、 C三三 点，点， , A 、 C两点两点间的球面距离的球面距离为 则球心到平面球心到
8、平面AB BC距离距离为多少多少？ 9.11球和它的性质球和它的性质解：解： A 、 C两点的球面距离两点的球面距离为为直角三角形，为直角三角形， A 、 B B 、 C三点共三点共圆 球心球心在平面在平面AB BC内的射影一定在内的射影一定在上，上，所以点所以点到平面到平面AB BC的距离的距离为9.11球和它的性质球和它的性质9.11球和它的性质球和它的性质9.11球和它的性质球和它的性质练习：练习：球面上有球面上有3个点，其中任意两点的球面距离个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的都等于大圆周长的经过经过3点的小圆的周点的小圆的周长为长为那么这个球的半径为（那么这个球的半径为（ ）ABC D
