代数学的新生代数学的新生代数学的新生代数学的新生 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现 l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回五次或更高次方程的代数求五次或更高次方程的代数求解公式解公式的探索的探索拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）1770年发表论文《关于代数方程解的思考》提出根的置换理论是解决代数方程的关键 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回19世纪初挪威青年数学家阿贝尔•论代数方程，证明一般五次方程的不可解性法国青年数学家伽罗瓦•论方程可以用开方法求解的条件代数学的全新时期 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回 阿贝尔（N.Abel 1802~1829）是挪威的一个乡村牧师的儿子，幼年丧父阿贝尔只活了27岁，但留下了许多创造性贡献。
1824年当时只有22岁的大学生阿贝尔第一次作出了“五次方程代数解法不可能存在”的正确证明阿贝尔（阿贝尔（N.Abel 1802~1829）） 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现 1824年，年，阿贝尔在自费出版的小册子在自费出版的小册子 《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》中，严格证明了中，严格证明了以下以下事实事实：： 如果方程的次数如果方程的次数n>4，并且系数看成是字母，，并且系数看成是字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的解方程的解 l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回 阿贝尔的理论并未解决具体方程能不能用根式求解的问题这个问题为法国青年数学家伽罗瓦彻底解决 法国青年数学家伽罗瓦在1829—1831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解这一经历了三百年的难题的彻底解决 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回 伽罗瓦（E.Galois 1811~1832）是法国巴黎附近一个小村镇长的儿子。
一生只有短短的21年时光，却对世间留下许多宝贵的财富伽罗瓦提出了群的概念，用群的理论彻底解决了高次方程根式可解性的问题伽罗瓦（伽罗瓦（E.Galois 1811~1832）） 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回 他首先确定了一个方程根的置换群的子群，现在称为“伽罗瓦群”如果令方程系数域为 ，方程的根域为 ，那么伽罗瓦群就是 在 上的自同构群 伽罗瓦证明，方程根式可解的充要条件是方程的伽罗瓦群是可解群 伽罗瓦发展了拉格朗日的置换理论，他更进一步提出了群的概念用他所提出的群的概念，伽罗瓦彻底解决了方程根式可解性问题 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回 1870年，法国数学年，法国数学家家若尔当（若尔当（C.Jordan 1838~1922））根据伽罗瓦的思想写一本大书根据伽罗瓦的思想写一本大书《论置换与代数方程》《论置换与代数方程》 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现近代群理论的完善l矩阵、四元数l同一判别式的二次型类l运动群l无限变换群l李群l群的定义l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回 从四元数到超复数•复数与向量复数与向量•复数的推广复数的推广——哈密尔顿与格拉斯曼哈密尔顿与格拉斯曼•超复数与向量超复数与向量 从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广——哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回复数与向量复数与向量 从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广——哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回 复数与向量能够很好的对应，人们开始用复数表示向量及其运算，用复数表示力、速度这类有大小和方向的量，这种方法带给人们很多便利复数相加向量求和平行四边形法则 从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广——哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回 爱尔兰数学家哈密尔顿（William Rowan Hamilton 1805-1865）在英国数学史上的地位仅次于牛顿。
1843年10月16日哈密尔顿发现了“四元数”（Quaternion），“四元数”的发现是19世纪代数学方面继群概念后的一个最重要的发现 从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广——哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回哈密尔顿首先把复数看成是有序实数偶哈密尔顿首先把复数看成是有序实数偶并且这种数偶有如下加法和乘法并且这种数偶有如下加法和乘法哈密尔顿发现他要找的数应该具有四个分量，哈密尔顿发现他要找的数应该具有四个分量，他将其命名为四元数，形如：他将其命名为四元数，形如： 从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广——哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回 格拉斯曼格拉斯曼(H.G.Grassmann) 德国数学家，语言学家德国数学家，语言学家 ，社会，社会活动家，与哈密尔顿活动家，与哈密尔顿(Hamilton)同时分别建立了超复数同时分别建立了超复数 从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广——哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回1844，格拉斯曼出版了，格拉斯曼出版了《《线性扩张论线性扩张论》》第一个明白地解释了第一个明白地解释了“n维向量空间维向量空间”“扩张的量扩张的量”——n个分量的超复数个分量的超复数超复数的两个乘法超复数的两个乘法——内积与外积内积与外积 从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广——哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回 从格拉斯曼的定义中，我们可以知道超复数从格拉斯曼的定义中，我们可以知道超复数对于外积满足交换律，但是内积不满足交换律对于外积满足交换律，但是内积不满足交换律 我们在我们在n=2时对内积和外积做一个直观了解时对内积和外积做一个直观了解 从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广——哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回麦克斯韦对四元数的改造麦克斯韦对四元数的改造数量部分数量部分向量部分向量部分 从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广——哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回19世纪80年代美国数学物理学家吉布斯(J.W.Gibbs)英国数学物理学家亥维赛(O.Heaviside)三维向量代数和向量分析 从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广——哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回 布尔代数•逻辑数学的发展逻辑数学的发展•布尔布尔•布尔代数布尔代数 布尔代数布尔代数Ø逻辑数学逻辑数学的发展的发展Ø布尔布尔Ø布尔代数布尔代数l返回逻辑数学化思想：逻辑数学化思想： 建立一种推理的代数，通过符号的组合表达复杂的思想，用代数演算来完成正确的推理过程 布尔代数布尔代数Ø逻辑数学逻辑数学的发展的发展Ø布尔布尔Ø布尔代数布尔代数l返回谓词的量化：谓词的量化：传统逻辑“主—谓”形式的命题1．全称肯定命题：所有X是Y；2．全称否定命题：所有X不是Y；3．特称肯定命题：有些X是Y；4．特称否定命题：有些X不是Y。
传统命题只有主词是被量化的，19世纪上半叶逻辑学家开始考虑谓词的量化，而谓词量化使 用等式处理命题成为可能 布尔代数布尔代数Ø逻辑数学逻辑数学的发展的发展Ø布尔布尔Ø布尔代数布尔代数l返回 布尔（Boole·George）英国数学家及逻辑学家1815年生于法国撒·雷旺村1864年12月8日卒于爱尔兰的科克布尔：布尔： 布尔代数布尔代数Ø逻辑数学逻辑数学的发展的发展Ø布尔布尔Ø布尔代数布尔代数l返回布尔代数：布尔代数：《《逻辑的数学分析的数学分析》》•——1847年《《思思维规律研究律研究》》•——1854年 布尔代数布尔代数Ø逻辑数学逻辑数学的发展的发展Ø布尔布尔Ø布尔代数布尔代数l返回布尔代数：布尔代数：Ø小写x、y、z表示类（集合）Ø大写X，Y，X代表个体元素Ø1表示全类或称论域Ø0代表空类Ø两个类x和y相加用x+y表示Ø两个类x和y相乘用xy表示Ø1-x代表那些所有不在x中的个体元素组成的类Ø两个类相减x-yØx包含y则可写成y=xy——类类 布尔代数布尔代数Ø逻辑数学逻辑数学的发展的发展Ø布尔布尔Ø布尔代数布尔代数l返回布尔代数：布尔代数：——命题命题l所有X是Y……x(1-y)=0l所有X不是Y……xy=0l有些X是Y……xy≠0l有些X不是Y……x(1-y)≠0 布尔代数布尔代数Ø逻辑数学逻辑数学的发展的发展Ø布尔布尔Ø布尔代数布尔代数l返回布尔代数：布尔代数：——原理原理1.xy=yx2.x+y=y+x3.x(y+z)=xy+xz4.X(y-z)=xy-xz5.如果x=y,则xz=yz6.如果x=y，则x+z=y+z7.如果x=y，则x-z=y-z8.x(1-x)=09.或者x=0，或者x=1 布尔代数布尔代数Ø逻辑数学逻辑数学的发展的发展Ø布尔布尔Ø布尔代数布尔代数l返回布尔代数：布尔代数：——改进改进u杰文斯（W. S. Jevons） ——去掉了相加的类必须是不相交的这一限制，使得x+x=x成为一个合法的逻辑规律u皮尔斯（C. S. Peirce） ——区分了命题和命题函数u施罗德（F. W. K. E. Schroder） ——《逻辑代数讲义》（1890—1905）u弗雷格（G. Frege） ——数学基础传统u佩亚诺（G. Peano）、怀特黑德和罗素 代数数论•高斯高斯•数论数论•库默尔库默尔•现代代数数的理论现代代数数的理论 代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回高斯与高斯与数论数论: 高斯（C. F. Gauss，1777—1855） C.F. Gauss 是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。
他有数学王子的 美誉，并被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名 代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回高斯与高斯与数论数论:《算术研究》•a≡b(modm)同余理论•代数数论的开端复整数理论型的理论——数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展 代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回高斯与高斯与数论数论:同余理论 代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回高斯与高斯与数论数论:二次非剩余二次互反律 代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回高斯与高斯与数论数论:二次互反律三次互反律？四次互反律？ 代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回高斯与高斯与数论数论:复整数理论u复整数——形如a+bi，其中a，b是整数的复数u复整数论中的可逆元素是±1和±iu复素数——不能分解为除可逆元素及其本身以外的复整数的乘积的复整数u复整数算术基本定理u…… 代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回库默尔库默尔: 库默尔（E. E. Kummer，1810—1893）德国人数学家。
库默尔在数论、几何学、函数论、数学分析、方程论等方面都有较大的贡献，但最主要的是在函数论、数论和几何三个方面 代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回库默尔库默尔:费马大定理xp+yp=zp，p是奇素数xp=zp－ypxp=(z－y)(z－ξy)…(z－ξp-1y)ξ p-1+ ξ p-2+…+ ξ +1=0f(ξ)=a0+a1ξ+…+ap-1ξp-1理想数 代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ，1831—1916）又译狄德金，伟大的德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱据《辞海》，戴德金还是格丁根大学哲学博士、柏林科学院院士现代代数数的理论现代代数数的理论: 代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回现代代数数的理论现代代数数的理论:Øn次代数数如果一个数r是整系数代数方程 的根，但不是次数低于n的这种方程的根，就称它是一个n次代数数Ø数域 如果a，β￠F，则a+β，a－β，aβ，a/β(β≠0)￠F,F为数域Ø代数数类 。