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1、 3.1.1方程的根方程的根 与与 函数的零点函数的零点 授课人：黄奕欢求函函数 y=x2 2x 3 的图像与 x 轴的交点的横坐标 -1，x代数法：几何法：.x1=-1x2=3(3,0)xy0y0y0y(-1,0)已知二次函函数 y=x2 2x 3，试问 x 取哪些值时 y=0 ？求方程 x2 2x 3=0 的根此时，-1与也称为函函数 y=x2 2x 3 的零零点 对于函数对于函数 yf (x),我们把使我们把使f (x) 0的实数的实数x叫做函数叫做函数yf (x)的零点。的零点。函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：零点是一个点吗?注意：零点指的是一个实数零点
2、指的是一个实数! ! 方程X2-2x+1=0X2-2x+3=0y= x2-2x-3y= x2-2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点X2-2x-3=0xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x2-2x+3函数的图象与x轴的交点 请完成下列表格请完成下列表格判别式判别式 =b24ac0=00方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图的图象象函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点函数的零点函数的零点两个不相等两个不相等的实数根的实数根
3、x1 、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xy0(x1,0)没有交点没有交点没有零点没有零点x1 、x2x1 结合零点的概念及上表，你能得出结合零点的概念及上表，你能得出方程的根、函数方程的根、函数图象与图象与x x轴的交点的横坐标、函数的零点轴的交点的横坐标、函数的零点有何关系？有何关系？(x1,0) , (x2,0)yx1x0x1yx2x0等价关系等价关系: :方程方程 f (x) 0 有实根有实根函数函数yf (x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数yf (x)有零点有零点函数函数 yf (x) 的零点的零点函数函数 yf (x) 的图象与
4、的图象与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标 方程方程f (x) 0 的实数根的实数根 解：令 f (x) 0，即 3x+2=0 ，得 2-1yx1、求函数 f (x) 3x+2 的零点x =23所以 f (x) 3x+2 的零点是23求函函数 yf (x) 的零点即解方程零点即解方程 f (x) 0 3、函数 f (x) x3-x 的图象与轴有（）个交点、CAxA、C、D、mmmm12122、已知函数 f (x)x2 2x + m 有两个不同的零点，则 的取值范围是（）m354-1-2-424-2351-1201-3xy探究探究 观察二次函函数 f (x) x2 2x 3的图象，如右图，我们发
5、现函函数在区间 -2,1 上有零零点。 计算 f (-2) 和 f (1) 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？ 在区间 2,4 上是否也具有这种特点呢?函函数 yf (x) 在区间 (a, b) 上_(有/无)零零点；1、 f (a) f (b) 0 (或)， 、在区间、在区间 (a, c) 和和 (c , d ) 上呢？上呢？由以上两步探索，由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？你可以得出什么样的结论？ x有有观察下面函数观察下面函数 yf (x) 的图象探究探究.c cd dy0ab 如果函数如果函数yf (x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续连续不断不断的一条曲线，并且有的
6、一条曲线，并且有 f (a) f (b)0 ，那么，函，那么，函数数yf (x)在区间在区间(a,b) 内有零点内有零点函数零点存在性定理函数零点存在性定理 使得 f (c) 0即存在c(a,b) ，这个c也就是方程 f (x) 0的根结结论论例xyoyxoxyoxyo 如果函函数yf (x)在区间（a , b）上有零零点，一定有 f (a) f (b)0吗？不一定如：Cabdxy0在什么条件下，函数的零点个在什么条件下，函数的零点个数唯一？数唯一？yf (x)连续yf (x)单调函数yf (x)在(a , b)内存在唯一零点若函数若函数yf (x)在区间在区间(a , b)上有零点，且有上有
7、零点，且有f (a) f (b)0 ，函数的零点个数是否唯一？，函数的零点个数是否唯一？d dyx0abf (a) f (b)0不一定唯一不一定唯一即即f (2) f (3)0,说明这个函数在区间说明这个函数在区间 (2,3)内有零点。内有零点。由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是内是增函数，所以它仅有一个零点。增函数，所以它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表的对应值表（表3-1）和图象（图和图象（图3.1-3） -41.3069 1.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.197
8、2例题例题1 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。123456789x x x xf f f f（x x x x）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .由表由表3-1和图和图3.1-3可知可知f (2)0 246yx0105241086121487643219课堂练习课堂练习：、已知、已知f(x)的图象是连续不断的，有如下的图象是连续不断的，有如下 的的x，f(x)的对应值表：的对应值表：x x1 12 23 34 45 56 6f(x)f(x)36.13636.13615.55215.552-3.
9、92-3.9210.8810.88-52.48-52.48-86.06-86.06函数在哪几个区间内有零点？为什么？函数在哪几个区间内有零点？为什么？（2,3），（3,4），（4,5）内有零零点理由： f(x)的图象在2,3上连续，且f(2)f(3)0, 所以函函数在（2,3）内有零零点，其他同理。课堂练习课堂练习：2、函数 f (x) = 2x +x- 9 的零点所在的大致区间是（ ） A B. C. D.(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)课堂小结 一、知识点一、知识点1、函数零点的概念、函数零点的概念 2、方程的根与函数的零点的关系、方程的根与函数的零点的关系3、函数零点存在性定理、函数零点存在性定理二、数学思想与方法二、数学思想与方法1、函数与方程转化思想、函数与方程转化思想2、数形结合的方法、数形结合的方法 2、若函数 f (x) = x2ax b 的两个零点是2和3， 求 今日课内作业： 1、求下列函数的零点： （）（）课后思考：课本P88 证明函数f (x) = lnx + 2x 6在定义域（0,+）内是增函数。y = - x2+7x - 6y = x3 - 4xlogloga a25 + b25 + b2 2谢谢！
