材料力学第3章剪切与扭转课件

第3章 剪切与扭转3.1 剪切与扭转的概念3.2 剪切的实用计算3.3 扭矩与扭矩图3.4 圆轴扭转时的应力和 变形计算3.5 非圆截面杆件扭转简介3.1 剪切与扭转的概念受力外力垂直于杆轴，相距很近剪切面上的内力为剪力变形相对错动（相邻截面）角度变化3.1.1 杆件剪切变形的概念FF剪切面FVFF产生剪切变形的构件连接件：螺栓、销钉、铆钉、键木材的齿连接剪切面个数nv单面剪切双面剪切三面剪切……FFFF/2F/2F/2F/2F/3F/3F/3外力特点外力偶作用面垂直于杆件轴线，右手定则平行于杆件轴线 外力偶矩平衡（静止不动，或匀角速度转动）变形特点外力偶作用面之间任意 两横截面发生相对转动（绕轴线）扭转角  MeMe扭转变形为主的构扭转变形为主的构件件=轴（轴（shaft））3.1.2 杆件扭转变形的概念扭转的工程实例传动轴 主动轮带动从动轮转动 每轮处存在外力偶汽车方向盘的转向轴 转向力通过方向盘 以力偶传给转向轴 ABCDB C   相邻截面发生相对错动相邻截面发生相对错动剪切位移（相对错动位移）剪切位移（相对错动位移）BB 或或CC  小变形假设小变形假设直角的改变量直角的改变量 （弧度）（弧度）称为剪应变（称为剪应变（shear strain），或角应变、切应变。

或角应变、切应变3.1.3 剪切胡克定律剪应变ABCDB C   剪切面上有剪应力剪切面上有剪应力     在比例极限内，剪应在比例极限内，剪应力力 与剪应变与剪应变 成正比成正比比例常数比例常数G称为剪切弹性称为剪切弹性模量，或切变模量模量，或切变模量具有应力的量纲，常具有应力的量纲，常以以GPa为单位为单位材料常数之间的关系材料常数之间的关系三个弹性常数三个弹性常数中仅两个独立中仅两个独立剪切胡克定律 图示正交平面构成的长方体x、y、z 方向力自动平衡对y、z 轴的矩自动平衡剪应力互等定理：剪应力互等定理：剪应力互等定理：剪应力互等定理：在相互垂直的面上，剪应力在相互垂直的面上，剪应力双生互等，对交线而言，同背向双生互等，对交线而言，同背向xyzOdydxdz    3.1.4 剪应力互等定理3.2 剪切的实用计算剪应力实用计算截面法求剪力3.2.1 剪应力和承压应力实用计算FF剪切面NcRNt剪应力在剪切面上分布复杂，很难精确计算剪应力在剪切面上分布复杂，很难精确计算剪应力在剪切面上分布复杂，很难精确计算剪应力在剪切面上分布复杂，很难精确计算对于单面剪切和螺栓双面剪切，设剪切面有对于单面剪切和螺栓双面剪切，设剪切面有nv个个剪应力实用计算实用计算假定剪应力实用计算假定剪应力实用计算假定剪应力实用计算假定剪应力在剪切面上均匀分布在剪切面上均匀分布在剪切面上均匀分布在剪切面上均匀分布则截面上的剪力则截面上的剪力物体之间的作用力 F，并非集中力，而是在一个面积内分布的分布压力，其集度成为承压应力或挤压应力（bearing stress）FF剪切面剪切面剪切面剪切面假定在计算承压面上均匀分布假定在计算承压面上均匀分布假定在计算承压面上均匀分布假定在计算承压面上均匀分布计算承压面计算承压面=真实面积（平面接触）真实面积（平面接触） =假面积假面积dt（（半圆柱面接触）半圆柱面接触）dt承压应力实用计算tABCD平面承压面平面承压面平面承压面平面承压面半圆柱面承压面半圆柱面承压面例3-1 图示榫接头，求剪切面上的剪应力和承压面上的承压应力。

解剪切应力剪切应力剪切应力剪切应力MPa承压应力承压应力MPa40040016080kN80kN6080kNF剪切面剪切面承压面承压面例3-2铆钉受力如图，承压应力计算有下列四种： A. bs=F/(td) B. bs=2F/(td) C. bs=2F/(td) D. bs=4F/(td)解承压高度 t/2FFdt/2t/2答案：答案：B例3-3 图示法兰盘由四个直径10mm的螺栓连接，承受力矩作用，砝兰盘厚度12mm计算连接的剪应力和承压应力解：每个螺栓承力每个螺栓承力F F1501200 N.mFN剪应力剪应力MPa承压应力承压应力MPaO极限状态设计法材料的抗剪材料的抗剪强度设计值强度设计值材料的承压材料的承压强度设计值强度设计值许用应力法材料的许用材料的许用(容许容许)剪应力剪应力材料的许用（容许）承材料的许用（容许）承压（挤压）应力压（挤压）应力3.2.2 剪切和承压强度条件及应用3.2.2.1 剪切和承压强度条件 工程上采用搭接和加盖板的对接，故为单面或双面剪切单个螺栓抗剪单个螺栓抗剪满足抗剪条件，一个满足抗剪条件，一个螺栓所能承担的（钢螺栓所能承担的（钢板上）轴力值板上）轴力值单个螺栓承压单个螺栓承压同一受力方向同一受力方向承压构件的较承压构件的较小总厚度小总厚度满足承压条件，一个螺满足承压条件，一个螺栓所能承担的轴力值栓所能承担的轴力值3.2.2.2 钢材螺栓受剪连接设计计算既满足抗剪，又满足承压，一个螺栓所能承既满足抗剪，又满足承压，一个螺栓所能承担的轴力担的轴力已知总的轴向拉力（或压力）设计值已知总的轴向拉力（或压力）设计值N，连接，连接所需螺栓数为所需螺栓数为收尾法取整收尾法取整例3-4 两块钢板用普通螺栓的盖板拼接。

钢板宽360mm，厚8mm；盖板厚6mm已知轴心拉力设计值N=325kN，钢材为Q235B，C级螺栓（4.8级）M20试求连接一侧所需螺栓个数附表3：已知螺栓抗剪强度设计值为140MPa，承压强度设计值305MPa.NNNN解答：N/mm2N/mm2一个螺栓承载力（双面剪切）一个螺栓承载力（双面剪切）一个螺栓承载力（双面剪切）一个螺栓承载力（双面剪切）NNNkN连接一侧所需螺栓数连接一侧所需螺栓数连接一侧所需螺栓数连接一侧所需螺栓数可取可取7个或个或8个螺栓个螺栓基本要求齿深hc：方木20mm，原木30mm支座节点齿深h/3，中间节点齿深h/3受剪面长度lv：4.5hc lv8hc 强度条件3.2.2.3 木材单齿连接设计计算介绍NcRNt齿面承压齿面承压齿槽根部受剪齿槽根部受剪1. 需要剪切破坏的情形（1）保险钉、保险栓（2）冲压加工（3）剪裁材料（剪断钢筋、钢板）2. 剪切破坏条件 剪切面上的计算剪应力不低于材料的抗剪强度极限tt3.2.3 剪切破坏条件例3-5 已知钢板厚度t=10mm，钢板的剪切强度极限b=400MPa，若用冲床在此钢板上冲出一个直径d=30mm的圆孔，问需要多大的冲切力F？解： 在冲孔中，剪切面是一个圆柱面冲孔冲孔条件条件所以所以NkNtt3.3 扭矩与扭矩图MexMe3.3.1 杆件外转矩计算已知力偶矩已知力偶矩Me不需要再计算已知力和力臂已知力F，力臂a外转矩Me=Fa旋转构件已知功率和转速设功率(Power)为P，转速为n(转/分，r/min)dMe所以所以当当当当P Pk k (kW), (kW), n n (r/min (r/min) )N.m当当当当P Ph h (horsepower (horsepower马力马力马力马力), ), n n (r/min) (r/min)N.m做功做功功率功率扭矩正负符号规定右手法则，大拇指所指为T的指向T与截面的外法线一致者为正，反之为负 任意截面的扭矩TTMe1Me1Me2Me3Me2Me3x左段平衡左段平衡3.3.2 杆件截面扭矩计算T= 截面以左外转矩之和（左指为正）T= 截面以右外转矩之和（右指为正）TTMe1Me1Me2Me3Me2Me3x左段平衡结果左段平衡结果右段平衡右段平衡规律总结：规律总结：扭矩图扭矩沿杆件截面位置变化的曲线（图线），称为扭矩图是内力图之一坐标系横坐标—杆件轴线纵坐标—扭矩T(N.m)x150150120120100100直观判断危险截面直观判断危险截面3.3.3 杆件的扭矩图例3-6作图示杆件扭矩图解：1800 N.m5000 N.m2000 N.m1200 N.mT (N.m)x180032001200例3-7：作扭矩图 已知轴之转速1000 r/min，B处输入功率20 kW，A、C 轮输出分别为12 kW和8 kW。

解：（1）外转矩 ABCN.mN.m（（（（2 2）扭矩图）扭矩图）扭矩图）扭矩图xT (N.m)114.5976.393.4 圆轴扭转时的应力和变形计算几何关系：平面假定，   物理关系：胡克定律        任一点的剪应力（切应力）与该点到圆心的距离成正比写成等式3.4.1 圆轴扭转横截面上剪应力3.4.1.1 剪应力分布规律剪应力分布规律实心圆截面：三角形分布空心圆截面：梯形分布最大剪应力：圆轴外边缘剪应力的方向垂直于半径线剪应力的方向垂直于半径线剪应力的指向与扭矩剪应力的指向与扭矩T的转向一致的转向一致所以所以其中其中——截面的极惯性矩截面的极惯性矩——截面的抗扭系数（模量）截面的抗扭系数（模量）max剪应力计算公式：静力关系xydDdA此处此处极惯性矩按定义计算极惯性矩按定义计算3.4.1.2 圆截面几何性质实心圆截面（实心圆截面（实心圆截面（实心圆截面（    = 0= 0））））xydDdA截面抗扭系数截面抗扭系数例3-8 圆轴直径D=100mm，承受扭矩14kN.m，求A、B、C三点剪（切）应力的数值及方向。

解：mm3MPa，水平向左水平向左MPa，竖直向上竖直向上MPa，竖直向上竖直向上D/4ABCTABc3.4.2 圆轴扭转剪应力强度条件计算点（危险点）危险截面—扭矩最大的截面—控制截面危险点—危险截面上剪应力最大的点—圆周剪应力强度条件或或三类问题截面设计：求最小直径强度校核：验算不等式是否成立许可荷载：求能承受的最大外荷载例3-9 已知图示受载圆轴的直径d=60 mm，材料的许用剪应力[]=50MPa校核其强度 解：（（1）） 危险截面：右起第二段危险截面：右起第二段0.60.60.61.23.0 kN.mkN.m（（2）几何值）几何值mm3（（3）强度校核）强度校核MPaMPa满足强度条件满足强度条件0.60.60.61.23.0 kN.m扭转刚度扭转刚度扭矩和刚度为常量时扭矩和刚度为常量时扭矩和刚度分段为常量时扭矩和刚度分段为常量时3.4.3 扭转变形计算扭转角弧度为单位时弧度为单位时度为单位时度为单位时最大单位长度扭转最大单位长度扭转角不超过允许值角不超过允许值或或rad/mrad/mm刚度条件单位长度扭转角为例3-10 图示受扭圆轴，已知G=80 GPa，[ ]=50MPa，[ ]=1/m，试设计直径d。

解：（（（（1 1）））） 危险截面：左边段危险截面：左边段危险截面：左边段危险截面：左边段2.01.23.2 kN.mkN.m（（（（2 2）强度条件确定直径）强度条件确定直径）强度条件确定直径）强度条件确定直径mm（（（（3 3）刚度条件确定直径）刚度条件确定直径）刚度条件确定直径）刚度条件确定直径/mrad/mm（4）最后结果mmmm可取可取 d = 62 mm例3-11 图示圆轴，Me1=5kN.m, Me2=3kN.m, l=0.5m, G=70GPa, []=50MPa, []=0.8/m校核轴的强度和刚度解（1）BC段危险 Tmax = 3 kN.m（2）强度校核 mm3Me1Me2（3）刚度校核MPa < []=50MPamm4rad/mm/m < [ ]=0.8/m强度条件强度条件强度条件强度条件和刚度条和刚度条和刚度条和刚度条件都满足件都满足件都满足件都满足3.5 非圆截面构件扭转简介一、基本规律平面假设不成立相邻截面相对转动横截面不再保持为平面，截面发生翘曲剪应力规律剪应力并不与所在点到截面中心的距离成正比边界点上的剪应力沿边界线的切线角点（尖角点）剪应力为零《《弹性力学弹性力学》》可可以给出理论解答以给出理论解答二、几个简单的非圆截面扭转1. 椭圆截面扭转aabbOxyAB A BT最大剪应力发生在边界线上最大剪应力发生在边界线上最靠近中心的最靠近中心的A、、B两点两点单位长度扭转角为单位长度扭转角为且且且且当当a=b=R=D/2时，公时，公式与圆截面的公式完式与圆截面的公式完全相同全相同2. 矩形截面扭转单位长度扭转角单位长度扭转角最大剪应力发生在长最大剪应力发生在长边中点边中点MeMebh max  系数、与矩形的边长比h/b的关系h/b1.01.52.02.53.04.05.06.010.00.2080.2310.2460.2580.2670.2820.2910.2990.3120.3330.1410.1960.2290.2490.2630.2810.2910.2990.3120.3333. 狭长矩形截面扭转单个狭长条截面单个狭长条截面h/b1.01.52.02.53.04.05.06.010.00.2080.2310.2460.2580.2670.2820.2910.2990.3120.3330.1410.1960.2290.2490.2630.2810.2910.2990.3120.333thT狭长条组合截面狭长条组合截面第第i个条长边个条长边中点剪应力中点剪应力最大剪应力最大剪应力出现在最厚出现在最厚的矩形条上的矩形条上例3-12 图示两种截面，承受相同的扭矩600N.m，试计算各自的最大剪应力，并比较大小。

解80108010(a)(b)设闭口圆环截面中设闭口圆环截面中最大剪应力为最大剪应力为 1设开口薄壁截面中设开口薄壁截面中最大剪应力为最大剪应力为  280108010(a)(b)（（1）） 计算计算 1mm3MPa（（2）） 计算计算 2mmmmmmMPa（（3）） 最大剪应力比值最大剪应力比值说明开口薄壁杆件的抗扭能力远远低于闭口薄壁说明开口薄壁杆件的抗扭能力远远低于闭口薄壁杆件，故大型桥梁通常采用箱形截面杆件，故大型桥梁通常采用箱形截面钢箱梁钢箱梁预应力钢筋混凝土箱梁预应力钢筋混凝土箱梁。