电磁学中科大第一章

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1、张璞扬张璞扬 制作制作中国科学技术大学理学院电磁学课题组中国科学技术大学理学院电磁学课题组1我曾对中国科技大学的同学们提出过我曾对中国科技大学的同学们提出过“三三P” ：Perception，Persistence，Power 意思是：直觉，坚持，力量。要有科学的意思是：直觉，坚持，力量。要有科学的直觉意识去创造，用坚持不懈的努力去奋斗，直觉意识去创造，用坚持不懈的努力去奋斗，以扎实的知识力量去克服困难。以扎实的知识力量去克服困难。杨振宁杨振宁2电电 磁磁 学学 电磁学是研究电荷和电流产生电场和磁场的规律，电磁学是研究电荷和电流产生电场和磁场的规律，电场和磁场的相互联系，电磁场对电荷和电流的作

2、用电场和磁场的相互联系，电磁场对电荷和电流的作用，电磁场对实物的作用及所引的各种效应。，电磁场对实物的作用及所引的各种效应。主要参考教材：主要参考教材：电磁学与电动力学胡友秋等编电磁学与电动力学胡友秋等编 科学出版社科学出版社电磁学电磁学张玉民等编张玉民等编 科学出版社科学出版社电磁电磁学学赵凯华赵凯华 编编 高教出版社高教出版社电磁电磁学学专题研究陈秉乾等编专题研究陈秉乾等编 高教出版社高教出版社电磁电磁学学千题解张之翔编千题解张之翔编 科学出版社科学出版社3一、迎接挑战一、迎接挑战关于电磁学的教学关于电磁学的教学1.电磁学研究对象的重大变化，必将引起基本观念、规律电磁学研究对象的重大变化，

3、必将引起基本观念、规律 性质的深刻变化，必将导致新的概念、新的研究方法、新性质的深刻变化，必将导致新的概念、新的研究方法、新 的描述手段和新的数学工具的出现，从而标志新的研究领域的描述手段和新的数学工具的出现，从而标志新的研究领域 的开辟，的开辟，预示新的理论的诞生预示新的理论的诞生。3.电磁学的难点在于电磁学的难点在于“场场”。场是在一定空间范围内连续分布的。场是在一定空间范围内连续分布的 客体，从概念到方法，对学生来说都是全新的。认识场要从客体，从概念到方法，对学生来说都是全新的。认识场要从 它的空间分布规律入手，从总体上去把握它，掌握恰当的描它的空间分布规律入手，从总体上去把握它，掌握恰

4、当的描 述方式和新的概念。述方式和新的概念。静电学是整个电磁学的基础和重点静电学是整个电磁学的基础和重点。2.电磁场理论的研究由静止转为运动，由稳恒步入变化，最终电磁场理论的研究由静止转为运动，由稳恒步入变化，最终 建立了一组十分优美而简洁的建立了一组十分优美而简洁的麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组。它概括了麦。它概括了麦 克斯韦之前所有的电磁经验定律。它不仅是物理学史上划时克斯韦之前所有的电磁经验定律。它不仅是物理学史上划时 代的伟大成就，也为代的伟大成就，也为理解什么是物理理论、怎样建立物理理理解什么是物理理论、怎样建立物理理 论提供了光辉的范例。论提供了光辉的范例。4二、物理学思维特点二、物

5、理学思维特点 物理教学，重要的是要启发学生的思维，加强科学方法论的物理教学，重要的是要启发学生的思维，加强科学方法论的教学。如果学生能从学习中体会到物理学特有的思维方式，将教学。如果学生能从学习中体会到物理学特有的思维方式，将终生受益。终生受益。物理学思维特点主要表现在：物理学思维特点主要表现在： 1. 敢于想像。敢于想像。要认识敢想才有物理学，不敢想就没有物理学。要认识敢想才有物理学，不敢想就没有物理学。爱因斯坦说：爱因斯坦说：“想像力比知识更重要。想像力比知识更重要。”例如，麦克斯韦的位移例如，麦克斯韦的位移电流假说，爱因斯坦的狭义相对论和光电效应的论述。电流假说，爱因斯坦的狭义相对论和光

6、电效应的论述。 科学的历程就是在假设求证中不断进步。科学的历程就是在假设求证中不断进步。一 2. 善于归纳。善于归纳。物理学的构架是一系列大大小小的定律。这些物理学的构架是一系列大大小小的定律。这些定律都是从实验（或观察）中归纳出来的。但这种所用的科学定律都是从实验（或观察）中归纳出来的。但这种所用的科学方法，只能是方法，只能是“不完全不完全”归纳法，而不是数学的完全归纳法。例归纳法，而不是数学的完全归纳法。例如如“势势”概念的应用。概念的应用。5学好物理学，关键是勤于思考，悟物穷理。学好物理学，关键是勤于思考，悟物穷理。 3. 创设模型。创设模型。物理学并不讳言自身只研究模型。模型并不全同物

7、理学并不讳言自身只研究模型。模型并不全同于真实，但物理学的成功正在于创造出许多成功的模型。模型是于真实，但物理学的成功正在于创造出许多成功的模型。模型是“理想化理想化”的，但不是的，但不是“伪劣伪劣”的，它突出了许多表面上看是千差万的，它突出了许多表面上看是千差万别的物体最本质的特征别的物体最本质的特征,例如法拉第的例如法拉第的“力线力线”模型的建立。模型的建立。三、悟物穷理三、悟物穷理“细推细推物理须行乐，何用浮名绊此身物理须行乐，何用浮名绊此身”唐朝唐朝 杜甫（中文的杜甫（中文的“物理物理”一词源出此）一词源出此）“求学问，需学问；只学答，非学问求学问，需学问；只学答，非学问”李政李政道（

8、道（1957年与杨振宁同获诺贝尔年与杨振宁同获诺贝尔 物理学奖）物理学奖）6 第一章第一章 真空中的静电场真空中的静电场1. 电荷电荷 库仑定律库仑定律2. 电场电场 电场强度电场强度3. 电通量电通量 高斯定理高斯定理4. 静电场的环路定理静电场的环路定理5. 电势能电势能 电势电势6.电场强度与电势的关系电场强度与电势的关系7.静电场的基本微分方程静电场的基本微分方程目目 录录7（一）（一） 电荷电荷 库仑定律库仑定律一、对电荷的基本认识一、对电荷的基本认识3. 电荷量子化电荷量子化. 密立跟实验密立跟实验(19061917年年)Q=Ne, e=1.6021892（46） 10 19C 理

9、论研究认为，夸克带分数电荷。迄今为止尚未在实验中理论研究认为，夸克带分数电荷。迄今为止尚未在实验中找到自由夸克。今后即使真的发现了自由夸克，仍不会改变找到自由夸克。今后即使真的发现了自由夸克，仍不会改变电荷量子化的结论。电荷量子化的结论。4. 电荷守恒电荷守恒.在一个和外界没有电荷交换的系统内在一个和外界没有电荷交换的系统内, 正负电荷正负电荷 的代数和在任何物理过程中保持不变的代数和在任何物理过程中保持不变.具有相对论不变性。具有相对论不变性。 如：摩擦生电荷如：摩擦生电荷; 感应带电荷感应带电荷; 电子对的产生和湮灭等。电子对的产生和湮灭等。1. 电荷是带电基本粒子的一种属性电荷是带电基本

10、粒子的一种属性。2. 自然界只存在两种电荷，存在所谓自然界只存在两种电荷，存在所谓“电荷对称性电荷对称性”。8二、库仑定律二、库仑定律(1785年年) 受牛顿力学的深刻影响，寻找电力遵循的规律成为引人瞩受牛顿力学的深刻影响，寻找电力遵循的规律成为引人瞩目的研究课题，它的发现迎来了电学历史上第一个重要突破。目的研究课题，它的发现迎来了电学历史上第一个重要突破。 真真空空中中, 两两个个静静止止的的点点电电荷荷之之间间相相互互作作用用力力的的大大小小, 与与它它们们的的电电量量的的乘乘积积成成正正比比, 与与它它们们之之间间距距离离的的平平方方成成反反比比, 作作用用力的方向沿着它们的联线力的方向

11、沿着它们的联线. 同号电荷相斥同号电荷相斥, 异号电荷相吸异号电荷相吸.数学表述：数学表述：q1q2rK的量纲为的量纲为9真空介电常数真空介电常数 0 =8.854 187 817 10 12 C2/m2N在在SI制和有理化方程系中制和有理化方程系中说明：说明： 1.库仑定律是直接由实验总结出来的规律库仑定律是直接由实验总结出来的规律。是整个静电学的基。是整个静电学的基 础础,具有丰富的物理内涵。具有丰富的物理内涵。2厍仑力与电量的乘积成正比，这是电量（电荷）的定义厍仑力与电量的乘积成正比，这是电量（电荷）的定义。 即引入定量描述两即引入定量描述两点电荷点电荷带电多少的物理量电量。规定库带电多

12、少的物理量电量。规定库 仑力大小与两点电荷电量乘积成正比，既表明是电力，又能仑力大小与两点电荷电量乘积成正比，既表明是电力，又能 通过通过 的大小、正负区分电力的大小以及吸引还是排斥。的大小、正负区分电力的大小以及吸引还是排斥。104.关注库仑力平方反比律的精确程度和适用范围关注库仑力平方反比律的精确程度和适用范围。 库仑力平方反比律的精度不仅直接影响电磁场理论的精度库仑力平方反比律的精度不仅直接影响电磁场理论的精度，而且与光子静止质量是否为零密切相关，涉及物理学一系，而且与光子静止质量是否为零密切相关，涉及物理学一系列根本问题，关系重大。列根本问题，关系重大。（2）适用范围：）适用范围：5氢

13、原子的电子、质子间的库仑力与万有引力相比氢原子的电子、质子间的库仑力与万有引力相比3.库仑定律成立的条件是静止库仑定律成立的条件是静止。即两点电荷相对静止，且。即两点电荷相对静止，且 相对于观察者静止。两个静止电荷之间的作用力符合牛相对于观察者静止。两个静止电荷之间的作用力符合牛 顿第三定律顿第三定律.1971年实验值：年实验值：（1）精确程度：）精确程度：11三、静电力叠加原理三、静电力叠加原理qiqriq1q2qn 试验指出，两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力试验指出，两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力,等等于各个电荷单独存在时对该电荷作用力的矢量和于各个电荷单独存在时对该电荷作用力的

14、矢量和.连续带电体对点电荷的作用力则为连续带电体对点电荷的作用力则为（1）体电荷分布的带电体）体电荷分布的带电体12其中体电荷密度其中体电荷密度（2）面电荷分布的带电体）面电荷分布的带电体面密度面密度（3）线电荷分布的带电体）线电荷分布的带电体线密度线密度13例题例题1-1-1 电荷量电荷量q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的金属圆环上，的金属圆环上，在环的轴线上有一条均匀带电的直线，单位长度的电在环的轴线上有一条均匀带电的直线，单位长度的电荷量为荷量为 ，直线的一端在环心，另一端趋向无穷远。，直线的一端在环心，另一端趋向无穷远。试求它们之间的相互作用力。试求它们之间的相互作用力。0x【解】

15、如图，环上电荷元【解】如图，环上电荷元 作用在直线上作用在直线上p处电处电荷元荷元 上的库仑力为上的库仑力为q14根据对称性，整个圆环的电荷作用在根据对称性，整个圆环的电荷作用在 上的力为上的力为故故力的力的方向沿轴线向外（当方向沿轴线向外（当 时）或向内（当时）或向内（当 时）时）15（二）（二） 电场电场 电场强度电场强度一、电场一、电场静电场静电场: 相对于观察者是静止的电荷周围存在的电场相对于观察者是静止的电荷周围存在的电场.是是电磁场的一种特殊形式。电磁场的一种特殊形式。2. 电场电场 近代研究表明，任何电荷都在自已周围的空间激发电近代研究表明，任何电荷都在自已周围的空间激发电场，电

16、荷与电荷之间是通过电场发生相互作用的。场，电荷与电荷之间是通过电场发生相互作用的。电电 场场电荷电荷电荷电荷1. 电力如何传递的？历史上两种观点电力如何传递的？历史上两种观点（1）超距作用电荷）超距作用电荷 电荷；电荷；（2）近距作用）近距作用 “电磁以太电磁以太”。16二、电场强度二、电场强度 电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力.1. 试验点电荷试验点电荷电量要充分地小电量要充分地小, 线度足够小线度足够小.描述电场中各点电场强弱的物理量描述电场中各点电场强弱的物理量.2. 电场强度电场强度定义式定义式q0q0q0q0AB

17、C173. 电场强度的性质电场强度的性质（1）由库仑定律知，电场强度的大小和方向仅由场源电荷）由库仑定律知，电场强度的大小和方向仅由场源电荷的分布决定的分布决定,与试验电荷的引入和大小无关与试验电荷的引入和大小无关.点电荷点电荷Q所产生电场的电场强度所产生电场的电场强度 是由源电荷是由源电荷Q 指向场点指向场点. 场强方向是正电荷受力方向场强方向是正电荷受力方向.电荷电荷q 在电场中受力在电场中受力是矢量场是矢量场, 位置的函数位置的函数.（2）18（3） 量纲量纲: 在国际单位制中在国际单位制中 单位：单位：N/C 或或 V/m（4） 电场强度电场强度的可的可叠加叠加性性（5） 电场强度电场

18、强度与与电场力的关系电场力的关系三、电场强度的计算三、电场强度的计算1、 点电荷系所产生的电场的电场强度点电荷系所产生的电场的电场强度192. 电荷连续分布的带电体所产生的电场强度电荷连续分布的带电体所产生的电场强度 电荷连续分布电荷连续分布, 在带电体上取微元电荷在带电体上取微元电荷 dq, 由点电荷的场由点电荷的场强公式写出场强强公式写出场强, 根据场强叠加原理求矢量和根据场强叠加原理求矢量和(即求积分即求积分)其中其中体电荷体电荷面电荷面电荷线电荷线电荷直角坐标系下分量形式直角坐标系下分量形式:20（电偶极子（电偶极子: 一对靠得很近的等量异号的点电荷组成的系统一对靠得很近的等量异号的点

19、电荷组成的系统. 电偶极矩电偶极矩: ,其中其中 由由 q 指向指向+q ）例题例题1-2 -1 求电偶极子产生的电场强度求电偶极子产生的电场强度.+q q o（1） 电偶极子轴线延长线上任一点电偶极子轴线延长线上任一点P 的场强的场强【解】【解】P21（2）电偶极子轴线的中垂线上任一点的场强电偶极子轴线的中垂线上任一点的场强P+q qo 223. 空间任一点空间任一点PP+q qo如图如图23当当P 点在连线上正电荷右侧点在连线上正电荷右侧当当P 点在连线的中垂线上点在连线的中垂线上24例题例题1-2-2 求均匀带电直线外任一点的场强求均匀带电直线外任一点的场强x0apyL2L1dq 【解】

20、【解】1) 建立坐标系建立坐标系2) 选积分元选积分元元电荷的电场强度则为元电荷的电场强度则为3) 分量式分量式25同理同理:4) 统一积分变量，分别积分统一积分变量，分别积分26讨论讨论:1) 在导线的中垂线上在导线的中垂线上a0xdlPx 例题例题1-2-3 求均匀带电圆环轴线上任一点的场强求均匀带电圆环轴线上任一点的场强2）3）【解】【解】如图，取如图，取则则27由于对称性可知由于对称性可知:,故电场沿故电场沿x 方向方向1) 2)3) 讨论讨论:28例题例题1-2-4 求半径为求半径为R , 面电荷密度为面电荷密度为 的均匀带的均匀带电圆盘轴线上任一点的场强电圆盘轴线上任一点的场强0x

21、PdrrxR【解】【解】由对称性可知电场只沿由对称性可知电场只沿x 轴方向轴方向1) 成为无限大带电平板成为无限大带电平板成为点电荷的电场成为点电荷的电场2)29（三）（三） 电通量电通量 高斯定理高斯定理 1. 规定规定:曲线上每一点的切线方向为电场强度方向。大小为曲线上每一点的切线方向为电场强度方向。大小为 在垂直于场强方向上单位面积上的电在垂直于场强方向上单位面积上的电力力线数目。线数目。2. 电电力力线性质线性质1)静电场电静电场电力力线始于正电荷线始于正电荷(或无穷远或无穷远)终止于负电荷终止于负电荷, 不不会在没有电荷处中断会在没有电荷处中断;2) 两条电两条电力力线不会相交线不会

22、相交;3) 静电场的电静电场的电力力线不会形成闭合曲线线不会形成闭合曲线.一、电一、电力力线线-用一簇空间曲线形象地描述场强的分布。用一簇空间曲线形象地描述场强的分布。 为了定量、具体地描述电场中场强空间的分布，法拉第天为了定量、具体地描述电场中场强空间的分布，法拉第天才地提出了场是由力线或力管组成的思想。几十年后才地提出了场是由力线或力管组成的思想。几十年后J。J汤汤姆孙评论说：姆孙评论说：“在法拉第的许多伟大贡献中，最伟大的一个就在法拉第的许多伟大贡献中，最伟大的一个就是力线概念了是力线概念了“。303. 典型的电典型的电力力线图形线图形 利用利用“源源”和和“旋旋”的概念，可以把纷繁各异

23、的力场从总体上加的概念，可以把纷繁各异的力场从总体上加以区分和比较。以区分和比较。31二、电通量二、电通量 受流速场中引入流量的启迪，研究矢量场需要引入一个通受流速场中引入流量的启迪，研究矢量场需要引入一个通量物理量。对电场而言，量物理量。对电场而言，电通量电通量即为面元即为面元 处的电场强度处的电场强度E与该面元矢量与该面元矢量 的标积。的标积。S 通过整个曲面通量则为通过整个曲面通量则为单位单位: N.m2.C 1根据场强叠加原理，电通量同样满足叠加原理根据场强叠加原理，电通量同样满足叠加原理32通过封闭曲面的通量通过封闭曲面的通量S 约定约定: 面元矢量面元矢量dS的方向约定为面元的方向

24、约定为面元dS的法线指向曲面凸的法线指向曲面凸 侧一方的方向。侧一方的方向。电电力力线穿出，如线穿出，如 处处电电力力线穿入，如线穿入，如 处处33三、静电场的高斯定理三、静电场的高斯定理 在真空中的静电场中，任一闭合曲面的电通量等于这闭合在真空中的静电场中，任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电量的代数和除以曲面所包围的电量的代数和除以 0。离散场源离散场源连续场源连续场源q1q2q3qiqm1) 通过包围一个点电荷的任意球面的电通量通过包围一个点电荷的任意球面的电通量q证明证明:通过球面的电通量通过球面的电通量 e 与球面半径与球面半径r 无关无关.34352) 通过包围一个点电荷的

25、任意闭合曲面的电通量通过包围一个点电荷的任意闭合曲面的电通量0 q 通过曲面的电通量通过曲面的电通量 e 只与曲面包围的电荷的电量有关只与曲面包围的电荷的电量有关.立体角立体角如如图，包围点电荷图，包围点电荷q的任意闭合曲面的任意闭合曲面S1的电通量为的电通量为363) 通过不包围点电荷的任意闭合曲面的电通量通过不包围点电荷的任意闭合曲面的电通量 单个点电荷的电力线在周围空间产单个点电荷的电力线在周围空间产生的是连续不断的辐射直线。如图，当生的是连续不断的辐射直线。如图，当点电荷在闭合面之外时，从某个面元点电荷在闭合面之外时，从某个面元 进入的电力线，必然从另一面元进入的电力线，必然从另一面元

26、 穿穿出。它们对应的立体角相同，电通量数出。它们对应的立体角相同，电通量数值相等，符号相反，故净通量为零。值相等，符号相反，故净通量为零。q4) 通过包围几个点电荷的任意闭合曲面的电通量通过包围几个点电荷的任意闭合曲面的电通量37说明：说明：1. 电通量只与曲面包围的电荷有关电通量只与曲面包围的电荷有关, 与外部电荷及内部电荷与外部电荷及内部电荷分布无关分布无关;不含电荷正好在曲面上的情况。不含电荷正好在曲面上的情况。4.高斯定理反映静电场是有源场。正电荷称为高斯定理反映静电场是有源场。正电荷称为“源头源头”，负电，负电 荷称为荷称为“尾闾尾闾”.当当时时,若若,高斯定理也就不能成立了高斯定理

27、也就不能成立了.3. 高斯定理与库仑定律的关系高斯定理与库仑定律的关系故故通过检验高斯定理的正确性，可证明库仑定律平方反比的精通过检验高斯定理的正确性，可证明库仑定律平方反比的精确度。确度。2. 通量为零不等于高斯面内无电荷通量为零不等于高斯面内无电荷, 也不说明高斯面内场强也不说明高斯面内场强 处处为零处处为零;曲面上的场强是曲面内外所有电荷产生的场强。曲面上的场强是曲面内外所有电荷产生的场强。38求电场分布的步骤求电场分布的步骤:1) 对称性分析对称性分析;2) 选合适的高斯面选合适的高斯面;3) 用高斯定理计算用高斯定理计算.三、高斯定理的应用三、高斯定理的应用利用对称性求场强利用对称性

28、求场强 用对称性不能解决时用对称性不能解决时, 将研究对象分解为若干个部分将研究对象分解为若干个部分, 再再对每一部分应用对称性求解对每一部分应用对称性求解, 最后用场强叠加原理求合场强最后用场强叠加原理求合场强.39例题例题1-3-1 均匀带电球体内外的电场均匀带电球体内外的电场 (设半径设半径R, 电荷体密度电荷体密度 , 带电量带电量Q) Qdq2dq1dE1dE2P1o对称性分析对称性分析, 场强沿半径向外场强沿半径向外【解】【解】高斯面：过高斯面：过P1以以oP1为半径的球。为半径的球。由此得在球内由此得在球内40rR如图，均匀带电球体场强分布曲线。如图，均匀带电球体场强分布曲线。例

29、题例题1-3-2 无限大均匀带电平面产生的场强无限大均匀带电平面产生的场强E 的方向的方向: 垂直板面向外，垂直板面向外，大小大小: 距板同远处距板同远处E 大小相同。大小相同。1) 对称性分析对称性分析【解】【解】在球外在球外41由由3) 计算计算S侧侧S底底P P点点场场强强大大小小与与它它到到平平面面的的距距离离无无关关. 因因此此, 无无限限大大均均匀匀带带电电平平面面两两侧侧的的电电场场为为均均匀匀场场, 场场强强的的方方向向垂垂直直于于平平面面指向两侧指向两侧.2) 高斯面高斯面: 取圆柱体取圆柱体而而42例题例题1-3-3 求无限长均匀带电圆柱的电场分布求无限长均匀带电圆柱的电场

30、分布2) 高斯面：选过高斯面：选过P 点半径为点半径为oP，高为高为h 的的同轴圆柱面同轴圆柱面1) 对称性分析对称性分析 圆柱内任一点的场强沿径向。距中心同远圆柱内任一点的场强沿径向。距中心同远处场强相同处场强相同1. 柱面内一点柱面内一点【解】【解】3) 计算：计算：Poh43所包围的电荷：所包围的电荷：由高斯定理由高斯定理2. 柱面外一点，根据类似分析，可得柱面外一点，根据类似分析，可得PohrRE思考思考: 均匀带电圆柱面均匀带电圆柱面柱内一点柱内一点 E=?柱外一点柱外一点 E=? 柱上一点柱上一点 E=?44利用场强叠加原理利用场强叠加原理, 求如下带电体的电场分布求如下带电体的电

31、场分布1. 两平行的无限大带电平板内外的电场两平行的无限大带电平板内外的电场;2. 带小缺口的细圆环带小缺口的细圆环;3. 带圆孔的无限大平板带圆孔的无限大平板;4. 带有空腔的圆柱体带有空腔的圆柱体O 处处;5. 带有空腔的球体带有空腔的球体O 处处. 1 2 思考思考: xRa oo o o45 例题例题134 电荷电荷q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的球面上，的球面上，试求：试求：1、球面上电荷所在处的电场强度。、球面上电荷所在处的电场强度。2、球面上、球面上由于电荷而产生的张力系数。由于电荷而产生的张力系数。【解】【解】1、如图，、如图，p为球面上任为球面上任一点，取过一点，取过p

32、、o的直径，把球的直径，把球面分成许多环带，使它们的轴面分成许多环带，使它们的轴线都与线都与op直径重合。环带上的直径重合。环带上的电荷量则为电荷量则为因因半径为半径为R的圆环电荷在其轴线上离环心为的圆环电荷在其轴线上离环心为r处产生的场强为处产生的场强为46故环带上的故环带上的电荷电荷dq在在p点产生的场强为点产生的场强为 式式中中n为为op方向上（即球面外法线方向上）的单位矢量。方向上（即球面外法线方向上）的单位矢量。积分便得积分便得472、由于环带上各处的、由于环带上各处的E都在该处球都在该处球面的外法线面的外法线n的方向上，故整个环带的方向上，故整个环带各处所受的力都在一个圆锥面上。各

33、处所受的力都在一个圆锥面上。整个环带受力大小则为整个环带受力大小则为半个球面所受的力的大小为半个球面所受的力的大小为48 根据对称性，知这力的方向沿根据对称性，知这力的方向沿 的方向，这个力是使球的方向，这个力是使球面张开的力，即张力。且这个力必定均匀分布在两半球长为面张开的力，即张力。且这个力必定均匀分布在两半球长为的边界上。于是张力系数为的边界上。于是张力系数为讨论讨论由前面讨论知，电荷由前面讨论知，电荷q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的球面的球面 上时，球内的场强为上时，球内的场强为球外的场强则为球外的场强则为49当从球外趋近球面，当从球外趋近球面， 的极限值则为的极限值则为 由本题

34、第由本题第1小题的结果可知，球面上电荷所在处的场强小题的结果可知，球面上电荷所在处的场强E等等于球面内外两边趋于球面的场强于球面内外两边趋于球面的场强 的平均。即的平均。即 一般地，设在面分布电荷上某一点的面电荷密度为一般地，设在面分布电荷上某一点的面电荷密度为 ，从该面两边趋于该点时，场强的极限分别为从该面两边趋于该点时，场强的极限分别为 ，则该点，则该点的场强为的场强为 50（四）（四） 静电场的环路定理静电场的环路定理一、静电场力作功的特点一、静电场力作功的特点1.单个点电荷产生的电场单个点电荷产生的电场 在点电荷在点电荷q 的电场中移动的电场中移动试验电荷试验电荷q0, 由由a 点移至

35、点移至b 点点过程中电场力作功过程中电场力作功静电场力作功只与始末位置有关静电场力作功只与始末位置有关, 与路径无关与路径无关.brarbaq dr512.任何带电体系产生的电场任何带电体系产生的电场 任何带电体总可以划分为许多带电元，每一带电元看作是任何带电体总可以划分为许多带电元，每一带电元看作是一个点电荷。这样就可把任何带电体系视为点电荷组。则一个点电荷。这样就可把任何带电体系视为点电荷组。则故静电场力作功只与始末位置有关故静电场力作功只与始末位置有关, 与路径无关与路径无关.v 静电场力是保守力静电场力是保守力;v 静电场是保守力场。静电场是保守力场。结论结论:试验电荷试验电荷q0 电

36、场中移动电场中移动, 电场力作功为电场力作功为52二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理 静电场中电场强度沿任意闭合路径线积分为零静电场中电场强度沿任意闭合路径线积分为零, 即静电场即静电场是无旋场是无旋场.静电场静电场中的环路定理中的环路定理 沿闭合路径移动沿闭合路径移动 q0, 电场力作功电场力作功为零，即为零，即L1L2ab在在电场中沿回路电场中沿回路L移动移动 q0, 电场力作功为电场力作功为53一、电势能一、电势能1. 静电力是保守力静电力是保守力, 可引入电势能的概念可引入电势能的概念.（五）（五） 电势能电势能 电势电势 注意注意v 电势能本身只有相对意义电势能本身只有相对意义

37、, 增量才有绝对意义增量才有绝对意义;v 电势能属于一定的系统电势能属于一定的系统.2. 静电力静电力(保守力保守力)作功和电势能作功和电势能(势能势能)增量的关系为增量的关系为ab 保保守守力力的的功功在在量量值值上上等等于于相相应应的的保保守守场场势能的减少势能的减少, 或等于势能增量的负值或等于势能增量的负值.在电场中的微小位移将导致其电势能的微小减少在电场中的微小位移将导致其电势能的微小减少，即，即54选取势能零点选取势能零点W标标=0 当电场源分布在有限范围内时，标准点一般选在无穷远。当电场源分布在有限范围内时，标准点一般选在无穷远。3. 电势能的计算电势能的计算 电场中某点的电势等

38、于把单位正电荷自该点移到电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“ 标准点标准点”过程中电场力作的功过程中电场力作的功二、电势二、电势1. 电势电势电势单位电势单位: J.C11=V55 静电场中任意两点静电场中任意两点a, b的电势差的电势差在量值上等于把单位正在量值上等于把单位正电荷从电荷从a点移至点移至b点电场力所做的功点电场力所做的功.2. 电势差电势差(电压电压)注意：注意：(1)电势的引入是静电场无旋的必然结果，它提供了除场强外电势的引入是静电场无旋的必然结果，它提供了除场强外 描绘静电场的新手段描绘静电场的新手段;(2) 电势只具有相对意义电势只具有相对意义, 决定于电势零点的

39、选择决定于电势零点的选择;(3) 一般在同一个问题中电势能零点和电势零点总是取一致一般在同一个问题中电势能零点和电势零点总是取一致;(4) 有限区域带电体有限区域带电体,一般取无穷远处为零点一般取无穷远处为零点; 无限大带电体无限大带电体,只只 能取有限范围内某点为零点。能取有限范围内某点为零点。对于相距无限小对于相距无限小dl的两点，电势改变量为的两点，电势改变量为56三、电势的计算三、电势的计算1. 点电荷的电势点电荷的电势(选无穷远处为势能零点选无穷远处为势能零点)2. 点电荷系的电势点电荷系的电势(选无穷远处为势能零点选无穷远处为势能零点)特征：特征：57 由此有电势叠加原理由此有电势

40、叠加原理 在点电荷系的电场中在点电荷系的电场中, 任一点的电势等于每个点电荷单独任一点的电势等于每个点电荷单独存在时存在时在该点产生的电势的代数和或标量和在该点产生的电势的代数和或标量和.3. 连续分布电荷的电势连续分布电荷的电势(选无穷远处为势能零点选无穷远处为势能零点)4. 计算电势的方法计算电势的方法1)2) 应用电势叠加原理。应用电势叠加原理。或或58例题例题1-5-1 求均匀带电圆环和圆盘中轴线上一点求均匀带电圆环和圆盘中轴线上一点的电势的电势(电量电量q , 半径半径R) R0xdqPx Qr【解】【解】0xPdrrxR （2）均匀带电圆盘轴线上一点的电势均匀带电圆盘轴线上一点的电

41、势 （1）均匀带电圆环轴线上一点的电势）均匀带电圆环轴线上一点的电势 59例题例题1-5-2 平行板电容器两极板间的电势差平行板电容器两极板间的电势差 d两板间电势差：两板间电势差：内部场强内部场强【解】【解】外外部场强部场强60例题例题1-5-3 计算均匀带电球面电场中的电势分布计算均匀带电球面电场中的电势分布.【解】【解】解法解法1: 用电势与场强的积分关系式求解用电势与场强的积分关系式求解. 均匀带电球均匀带电球 面在空间激发的场强沿半径方向，其大小为面在空间激发的场强沿半径方向，其大小为并沿半径方向积分，则并沿半径方向积分，则P点的电势为点的电势为当当rR时时o61由此可见由此可见:

42、v一一个个均均匀匀带带电电球球面面在在球球外外任任一一点点的的电电势势和和把把全全部部电电荷荷看看作作集集中中于于球球心心的的一一个个点电荷在该点的电势相同点电荷在该点的电势相同; RroVo 当当r re , 所以所以P点的电势可写为点的电势可写为在球坐标系中在球坐标系中其中其中70三、关于静电场高斯定理和环路定理的几点说明三、关于静电场高斯定理和环路定理的几点说明1、静电场高斯定理和环路定理，两者结合，完整地描述了、静电场高斯定理和环路定理，两者结合，完整地描述了 静电场作为一个矢量场的性质：静电场作为一个矢量场的性质：有源无旋有源无旋。2、库仑定律和叠加定律是实验规律，着眼于静电力的特征

43、。、库仑定律和叠加定律是实验规律，着眼于静电力的特征。 而高斯定理和环路定理则着眼于静电场矢量场的性质。高斯而高斯定理和环路定理则着眼于静电场矢量场的性质。高斯 定理和环路定理是由库仑定律和叠加定律证明的，定理和环路定理是由库仑定律和叠加定律证明的，两者等价两者等价。3、静电场的高斯定理和环路定理是、静电场的高斯定理和环路定理是两个独立的定理两个独立的定理，不能，不能 彼此取代，不能互推，合起来才能全面地描绘静电场。彼此取代，不能互推，合起来才能全面地描绘静电场。 为什么要用电场强度和电势两个物理量来描述电场的性质为什么要用电场强度和电势两个物理量来描述电场的性质?思考题思考题71（七）七）

44、静电场的基本微分方程静电场的基本微分方程 利用矢量分析中的高斯定理和斯托克斯定理，可将静电场的利用矢量分析中的高斯定理和斯托克斯定理，可将静电场的高斯定理和环路定理表为高斯定理和环路定理表为即即上式是上式是静电场基本方程的微分形式，表明静电场有源无旋。静电场基本方程的微分形式，表明静电场有源无旋。72利用静电场场强利用静电场场强E与电势与电势U的微分关系的微分关系代代入入 式，得式，得即即上式上式称为泊松方程。若称为泊松方程。若 ，则简化为，则简化为 上上式式称为拉普拉斯方程。称为拉普拉斯方程。泊松方程或拉普拉斯方程是静电场泊松方程或拉普拉斯方程是静电场的基本方程，都是偏微分方程。的基本方程，

45、都是偏微分方程。73本章基本要求本章基本要求1、理解电荷的基本特征和电荷守恒的意义。、理解电荷的基本特征和电荷守恒的意义。2、理解库仑定律和电力叠加原理的意义，能计算静电场、理解库仑定律和电力叠加原理的意义，能计算静电场 对静止电荷的作用力。对静止电荷的作用力。3、理解电场的概念、电场强度的定义和电场叠加原理的、理解电场的概念、电场强度的定义和电场叠加原理的 意义，能计算简单电荷分布的电场。意义，能计算简单电荷分布的电场。4、理解电通量的概念和高斯定理的意义，它与库仑定律、理解电通量的概念和高斯定理的意义，它与库仑定律 的关系，掌握用高斯定理计算场强的条件和方法。的关系，掌握用高斯定理计算场强的条件和方法。5、理解并能证明静电场的保守性。理解电势概念引入的、理解并能证明静电场的保守性。理解电势概念引入的 条件和它的意义，掌握利用场强线积分和电势叠加求条件和它的意义，掌握利用场强线积分和电势叠加求 已知电荷分布的电势的方法。已知电荷分布的电势的方法。6、理解等势面的意义及它和电力线的关系。、理解等势面的意义及它和电力线的关系。7、 理解电势梯度的意义，并能利用它由电势求电场强度。理解电势梯度的意义，并能利用它由电势求电场强度。74