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1、1.1 数系的扩充数系的扩充“数系数系”的历史扩展与逻辑扩展过程不同的历史扩展与逻辑扩展过程不同 “数学史上这一系列事件的发生顺序是耐数学史上这一系列事件的发生顺序是耐人寻味的，数学家们并不是按照先整数、人寻味的，数学家们并不是按照先整数、分数，然后无理数、复数、代数学和微积分数，然后无理数、复数、代数学和微积分的顺序，而是按照相反的顺序与它们打分的顺序，而是按照相反的顺序与它们打交道的看来，他们进行逻辑化的工作是交道的看来，他们进行逻辑化的工作是极不情愿的极不情愿的” M.Kline 数学数学确定性的丧失确定性的丧失数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无理数要容易些但是，历史有独特的自身发
2、展逻辑 事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数时，人们就已经在研究正的有理数与无理数，甚至已经开始使用复数了 “数系”的历史扩展途径 “数系”的逻辑扩展途径新数产生的原因新数产生的原因数是抽象思维的产物真正与实体直接相关的、用日常生活经验可以获得的数，只有自然数其他的数，都需要进行理性思考才能获得数的概念产生于对实物的计量在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数随着人类文明的进步，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数”接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了负数、无理数和复数到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追求运算的
3、无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等等“新数新数”为何最初不被承认？为何最初不被承认？不能够测量并非非有不可不能够理解逻辑基础不清楚“新数新数”为何最终获得承认？为何最终获得承认？ “因为在数学中和在其他场合一样，成功因为在数学中和在其他场合一样，成功是最高法庭，任何人都得服从它的裁决是最高法庭，任何人都得服从它的裁决. .” D.Hilbert论无限论无限算法合理性是“新数”获得承认的主要原因算术到代数的演进加速了数系的形成广泛的应用促进广泛的承认“理想数” 的思想1.2 数系的构造理论数系的构造理论 1.2.1自然数的定义自然数的定义自然数严格的抽象定义是由peano公
4、理给出的，它刻画了自然数的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。Peano公理陈述如下：（1）0是自然数；（2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+ ；（3）没有自然数的后继为0；（4）不同的自然数有不同的后继，即若a+= b+，则a= b；（5）（归纳公理）如果0有某个属性，而且若自然数a有该属性则a+也有该属性，那么所有自然数都有该属性。例 设m N, m0, 那么，必有n N使得 n+=m 证明 设集合A由所有这样的自然数组成：它是某个自然数的后继. 设S=0A. 显然, 0 S. 若x S, 由A的定义有x+ A, 因而x+ S . 由归纳公理知, S=N. 因此，若m N
5、, m0, 就必有m A, 即存在n N, 使得 n+=m.该例题表明：每个不为0的自然数必为某个自然数的后继。加法加法定义1 自然数集N上的二元运算“+”称为加法，满足条件：(1)对任何aN ， a+0=a(2)对任何a, bN a+b+=(a+b)+ 例 证明 2+3=5证明： 2+0=22+1=2+0+=(2+0)+=2+=32+2=2+1+=(2+1)+=3+=42+3=2+2+=(2+2)+=4+=5例 对任何aN ，证明0+a=a+0.证明：利用数学归纳法证明当a=0时，结论显然成立。假使a=n时，结论成立，即0+n=n+0 ，则当a=n+时 0+n+=(0+n)+=(n+0)+=
6、n+= n+0 结论亦成立。乘法乘法定义2 自然数集N上的二元运算“”称为乘法，满足条件：(1)对任何aN ， a0=0(2)对任何a, bN ab+=(ab)+a 例 证明 a3=a+a+a证明:a0=0a1=a0+=(a0)+a=0+a=a+0=aa2=a1+=(a1)+a=a+aa3=a2+=(a2)+a=a+a+a运算律运算律定理2 对任何a, b, cN 有加法交换律 a+b=b+a加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 则 b=c. 若 b+a=c+a, 则 b=c.乘法交换律 ab=ba乘法结合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a0,
7、ab=ac, 则 b=c. 若 a0, ba=ca, 则 b=c.乘法对加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc代数结构代数结构定理3 自然数集关于加法和乘法都是一个可交换的半群，0是其零元，1是其单位元。 0的负元是0，1的逆元是1，除此之外其他自然数都没有负元和逆元。减法减法加法的相消律保证我们可以定义加法的逆运算减法。定义3 设a，bN，若存在xN，使x+b=a，则称x=a-b.根据定义，有 (a-b)+b=a; 除零元之外其他自然数都没有负元，这说明在整数集上减法不具有封闭性。例 证明不存在xN，使得x+2=1成立.证明：反证法 假使存在xN, 满足x+2=1,
8、则 (x+1)+=0+ x+1=0 (x+0)+=0 x+=0 这与0不是任何自然数的后继相矛盾。除法除法乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算除法。定义4 设a，bN, b0, 若存在xN，使xb=a，则称x= .根据定义，有 除单位元之外其他自然数都没有逆元，这说明在自然数集上除法不具有封闭性。例 证明不存在xN，使得x2=1成立.证明：反证法 假使存在xN, 满足x2=1, 则 x+x=1 显然x0, 可设x=y+, 所以 y+y+=1 (y+y)+)+=0+ (y+y)+=0 这与0不是任何自然数的后继相矛盾。自然数的序关系自然数的序关系定义5 对给定的a, bN, 若存在xN，使得
9、b=a+x, 则称ab, 或 ba. 定理5 关系“”()是自然数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。定理6 （最小自然数原理） (N, )是良序集，即N的每一个非空子集都有最小数。定理7 对任何aN, a0 定理8 若a, b, cN, 则 当ab时，a+cb+c 当ab时，acbc所以，“”() 是自然数集上的大小关系。定义6 若ab, 且ab, 则称aa.定理9 “) 也是自然数集上的大小关系。定理10（阿基米德性质） 对于任意a，bN，a0，总存在nN，使nab.1.2.2从自然数到整数从自然数到整数定义1 NN上的关系“”规定如下：对于任意(a, b), (c,
10、 d) NN, 如果a+db+c, 则称(a, b)(c, d). 定理1：关系“” 是NN上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。定义2： NN按等价关系“”划分的等价类（以(a,b)表示(a,b)所属的等价类）叫做整数，一切整数组成的集合叫做整数集，记为Z.定理2 设Z+=(a,0)|aN-0 Z- =(0,a)|aN-0 则Z= Z+(0,0)Z-, 且Z+, (0,0), Z-两两不相交.定义3 称Z+为正整数集，称Z-为负整数集。整数集上的运算整数集上的运算定义4（整数加法） 整数集Z上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意(a,b),(c,d) Z, (a, b)+(c,
11、d)=(a+c, b+d)上述定义是合理的，可以证明Z中的加法运算与等价类代表的选取无关。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 则(a1+c1, b1+d1)(a2+c2, b2+d2).定义5 （整数乘法） 整数集Z上的二元运算加法“”规定如下：对于任意(a,b),(c,d) Z, (a, b)(c, d)=(ac+bd, ad+bc)上述定义是合理的，可以证明Z中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 则(a1c1+b1d1, a1d1+b1c1)(a2c2+b2d2, a2d2
12、+b2c2).定理3 对任何a, b, cZ 有加法交换律 a+b=b+a加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 则 b=c. 若 b+a=c+a, 则 b=c.乘法交换律 ab=ba乘法结合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a0,0, ab=ac, 则 b=c. 若 a0,0, ba=ca, 则 b=c.乘法对加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc定理4 整数集是一个交换环， (a,a)是其零元， (a+1,a)是其单位元。 (a,b)的负元是(b,a),单位元的逆元是自身，除此之外其他整数都没有逆元。减法减法加法的消去律保
13、证我们可以定义加法的逆运算减法。定义6 设a，bZ，若存在xZ，使x+b=a，则称x=a-b.整数都有负元保证了整数集上减法的封闭性。除法除法乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算除法。定义7 设a，bZ, b(0,0), 若存在xZ，使xb=a，则称x= .除单位元之外其他整数都没有逆元，这说明在整数集上除法不具有封闭性。整数集上的序关系整数集上的序关系定义8 对于任意(a, b), (c, d) Z, 如果a+db+c, 则称(a, b)(c, d)定理5 关系“” 是整数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。定理6 若a, b, cZ, 则 当ab时，a+cb+c
14、当ab, (0,0)c时，acbc所以，“” 是整数集上的大小关系。整数集是自然数集的扩张整数集是自然数集的扩张定理7 整数集Z是自然数集N的一个扩张，即存在一个N到Z上的一个一一映射f，使得（1）对于任意a, b N, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b) f(ab)=f(a)f(b)（2）对于任意a, b N, 若ab, 则f(a)f(b).证明：构造f: NZ如下 f(a)=(a,0) 即可满足定理要求。因此，以后我们可以对a与(a,0)不加区别地使用，从而有Z+=N-0. 因为(0,a)是(a,0)的负元，所以我们也用-a表示(0,a).1.2.3从整数到有理数从整数到有理数 记Z0
15、= Z+Z-.定义1 ZZ0上的关系“”规定如下：对于任意(a, b), (c, d) ZZ0, 如果adbc, 则称(a, b)(c, d). 定理1：关系“” 是ZZ上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。定义2： ZZ按等价关系“”划分的等价类（以(a,b)表示(a,b)所属的等价类）叫做有理数，一切有理数组成的集合叫做有理数集，记为Q.有理数集上的运算有理数集上的运算定义3（有理数加法）有理数集Q上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意(a,b),(c,d) Q, (a, b)+(c, d)=(ad+bc, bd)上述定义是合理的，可以证明Q中的加法运算与等价类代表的选取无关。
16、即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 则(a1d1+b1c1, b1d1)(a2d2+b2c2, b2d2).定义4 （有理数乘法）有理数集Q上的二元运算加法“”规定如下：对于任意(a,b),(c,d) Q, (a, b)(c, d)=(ac, bd)上述定义是合理的，可以证明Q中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 则(a1c1, b1d1)(a2c2, b2d2).定理2 对任何a, b, c Q 有加法交换律 a+b=b+a加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律
17、 若 a+b=a+c, 则 b=c. 若 b+a=c+a, 则 b=c.乘法交换律 ab=ba乘法结合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a(0,1), ab=ac, 则 b=c. 若 a(0,1), ba=ca, 则 b=c.乘法对加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc定理3 有理数集是一个域， (0,a)是其零元， (a,a)是其单位元。(a,b)的负元是(-a, b), (a,b)的逆元是(b,a).减法减法加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算减法。定义5 设a，bQ ，若存在xQ ，使x+b=a，则称x=a-b.有理数都有负元保证了有理数集上减法的封闭
18、性。除法除法乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算除法。定义6 设a，bQ, b(0,1), 若存在xQ，使xb=a，则称x= .有理数都有逆元保证了有理数集上除法的封闭性。 有理数集上的序关系有理数集上的序关系定义7 对于任意(a, b), (c, d)Q, 如果abd2cdb2, 则称(a, b)(c, d).定理4 关系“” 是有理数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。定理5 若a, b, cQ, 则 当ab时，a+cb+c 当ab, (0,1)c时，acbc所以，“” 是有理数集上的大小关系。有理数集是整数集的扩张有理数集是整数集的扩张定理6 有理数Q是整数集Z
19、的一个扩张，即存在一个Z到Q上的一个一一映射f，使得（1）对于任意a, b Z, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b) f(ab)=f(a)f(b)（2）对于任意a, b Z, 若ab, 则f(a)f(b).证明：构造f: ZQ如下 f(a)=(a,1) 即可满足定理要求。因此，以后我们可以对a与(a,1)不加区别地使用. 因为(a,b)= , 所以我们也用 表示(a,b).1.2.4实数的构造实数的构造有理数集的缺陷有理数域缺乏连续性有理数域缺乏连续性有理数域虽是稠密的，但它未铺满数轴，中间还有空隙。它不能与直线等量齐观，因为直线是连续的。有理数域缺乏完备性有理数域缺乏完备性尽管有理数集是
20、一个域，在加减乘除运算下都封闭，但它在极限运算下并不是一个封闭的数域。因为尽管某些有理序列本身收敛（cauchy序列意义下），但在有理数范围内找不到一个极限值。正是对有理数域的缺陷两方面的思考，康托尔从完备性要求出发，戴德金从连续性要求（完备性的几何性质）出发，同时洞悉了无理数的本质，并得到了表示它们的两种形式，奠定了实数的构造理论。Cantor构造构造定义1 记所有有理数Cauchy序列的集合为. 实际上， 2NQ定义2 上的关系“”规定如下：对于任意 (rn), (Sn) , 如果 , 则称(rn)(Sn). 定理1：关系“” 是上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。定义3： 按
21、等价关系“”划分的等价类（以(rn)表示(rn)所属的等价类）叫做实数，一切实数组成的集合叫做实数集，记为R.实数集上的运算实数集上的运算定义4（实数加法）实数集R上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意(rn),(sn) R, (rn)+(sn)=(rn+sn)上述定义是合理的，这需要证明若(rn), (sn)是有理数Cauchy序列, 则(rn+sn)也是有理数Cauchy序列.R中的加法运算与等价类代表的选取无关。即 若(rn)(xn), (sn)(yn), 则(rn+sn)(xn+yn).定义5（实数乘法）实数集R上的二元运算乘法“”规定如下：对于任意(rn),(sn) R, (rn)
22、(sn)=(rnsn)上述定义是合理的，这需要证明若(rn), (sn)是有理数Cauchy序列, 则(rnsn)也是有理数Cauchy序列.R中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即 若(rn)(xn), (sn)(yn), 则(rnsn)(xnyn).定理2 对任何a, b, cR 有加法交换律 a+b=b+a加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 则 b=c. 若 b+a=c+a, 则 b=c.乘法交换律 ab=ba乘法结合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a(0), ab=ac, 则 b=c. 若 a(0), ba=ca, 则 b=c.乘法对加
23、法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc定理3 实数集是一个域， (0)是其零元， (1)是其单位元。(rn)的负元是(-rn), (rn)(rn0)的逆元是(1/rn).实数集上的序关系实数集上的序关系定义6 对于任意(rn),(sn) R, 如果存在有理数0和自然数N，使得当nN时，恒有rn+0, 都存在自然数N，当nN时，恒有|rn- r|0, 都存在自然数N，使得当n,mN时，恒有|rn- rm|成立， 那么就称(rn)为一个实数Cauchy序列。定理7 实数序列极限存在的充要条件是它是实数Cauchy序列。Dedekind构造构造定义1 设A, B Q, 二元组(
24、A,B)称为Dedekind分割, 当且仅当满足：1) AB=Q2) AB=3) 对于任意aA, bB, 有a0，b0，c0，都有 ， 当 时等号成立。 60obac60o解不等式解不等式解不等式基本思路是，将超越不等式转化为代数不等式；将无理不等式转化为有理不等式，将高次不等式转化为低次不等式等解不等式需要注意同解变形。若要解决的问题不能统一处理（如含有参数）时，要按各种情况进行分类讨论，然后解相应的不等式组。如果不等式的结构可以通过某种方式与图形建立起联系，则可设法构造图形，将不等式所表达的抽象的数量关系转化为图形加以解决3 方程方程方程的价值方程的价值数学有“好”数学和“不太好”数学之分
25、。方程，是“好”的数学的代表。（陈省身）方程的思想无所不在，方程的概念不断发展。从经典的代数方程到微分方程、积分方程，方程无疑是数学中最重要的内容之一。许多数学的进步是随着方程研究发展而发展的。科学的基本任务是由已知的数量计算未知的数量，由已知的前提推证未知的结论这种计算或推理的问题，也是方程的基本内容一个方程的例子一个方程的例子化学方程式配平，相当于是解方程的过程。方程的定义方程的定义含有未知数的等式叫做方程(目前中学数学教科书中通用的方程定义)这个定义用的是“种属差”的逻辑定义方式，即“它首先是等式”，再指出它是“含有未知数的”等式由于它比较直观、形象、简洁明了，便于初学者理解和掌握，能为
26、大家所认同和接受外延很大，可包括一切形式的方程(组)甚至微分(积分)方程(只要把未知数、已知数扩展为未知函数、已知函数)缺憾：无法从中获得方程的思想实质通过已知与未知的关系，认识和研究未知。方程定义教学中的问题分歧的焦点是：究竟是看重方程的逻辑定义，还是看重方程的思想方法没有哪一个学生是因为“记不住这一定义”而不会解方程的。方程的逻辑定义，简单交代，不需深究方程的思想需要特别关注一个真实的例子一个真实的例子20 世纪 70 年代，上海 51 中学的一位毕业生到和平饭店担任电工工作中，他发现 12 楼客房的室温，和地下室设定的温度有差异他怀疑是地下室到12楼空调器的三根导线不一样长，造成电阻不同
27、所致。但距离如此远，如何测知它们的电阻？于是这位电工想到了数学，想到了方程尽管单根电线的电阻很难测知，但是 12 楼上两根电线连接起来，在地下室测量两根电线的电阻却是轻而易举的xyz于是，他列出了以下的方程：可贵之处：测量电阻时能想到运用方程思想求未知数形式化定义形式化定义定义 l 形如 f(xl, x2, , xn)=g(xl, x2, , xn)的等式叫做方程，变元xl, x2, , xn称为未知数，解析式f与g的定义域的交集叫做方程的定义域多个n元方程的集合，叫做n元方程组方程组中所有方程的定义域的交集叫做该方程组的定义域定义 2 如果用定义域中有序数组(al, a2, , an) 取代
28、n元方程(组)中相应的未知数能使方程(组)中(每一个)等式都成立，则该有序数组称为方程(组)的一个解.方程(组)的所有解的集合叫做方程(组)的解集上述定义的一个好处是确定了未知数的取值范围一次方程可以有整数解和有理数解的区别高次方程的解有实数解和复数解的区别方程的同解变形方程的同解变形定义 如果方程(1)的任何一个解都是方程(2)的解，并且方程(2)的任何一个解也是方程(1)的解，则方程(1)与(2)称为同解方程如果方程(1) 的每一个解都是方程(2)的解，那么方程(2)称为方程(1)的结果约定: 对于整式方程，仅当它们相同的根还具有相同的次数时，才认为它们是同解方程如方程 x-1=0与方程(
29、x-1)2=0不被认为是同解方程为了求出方程或方程组的解，需要将方程不断地变形，在保持它的解不变前提下的变形，称为同解变形判断：是否为同解变形？增根还是失根？判断：是否为同解变形？增根还是失根？总结：总结：一般来说，当在方程两端施行某一运算，而这种运算的逆运算的运算结果不是唯一确定的时候，便将得到与原方程不同解的方程。由于方程变形后，改变了（扩大或缩小）原方程的定义域，变形后的方程往往是不同解的。一个变形有可能既产生增根又产生失根（如：合分比变形虽可互逆，但对定义域既可能扩大又可能缩小）。应根据变形对方程不同的影响判断是否有增根和失根剔除增根剔除增根在方程变形过程中，把由原方程的结果得到的解代
30、入原方程检验满足与否，以判断是不是增解在方程变形过程中，把原方程的定义域的扩大部分中的数代入原方程检验满足与否，以判断是不是增解找回失根找回失根在方程变形过程中，把原方程的定义域的缩小部分中的数代入原方程检验满足与否，以判断是不是原方程的解注：合分比变形虽可互逆，但对定义域既可能扩大又可能缩小。解决思路是化为缺项的三次方程，再作变换转换为二次方程来求解。三次方程的解法三次方程的解法三次方程的判别式三次方程的判别式 四次方程的解法四次方程的解法方法一：用待定系数的方法设法将其化为二个二次因式的形式，再解二次方程方法二：转换为缺项的四次方程，再将缺项的四次方程转换为三次方程，解出三次方程后，再求出
31、四次方程的根4.1 函数函数函数的价值函数的价值18 世纪以来，分析学一直占据着数学的核心地位，是数学的核心学科，从而把函数概念和方法置于整个数学的中心地位许多现实问题都可以归因于研究数量的变化过程，几乎所有领域都有函数应用的实例。日常生活的语言也引入了函数的许多词汇。20 世纪以来，世界各国的中学数学内容从以解方程为中心转到以研究函数为中心函数的观念已经成为对公民素质的基本要求，成为人们在现代社会交往中必备的能力初等函数的重要性初等函数的重要性初等函数的研究是与微积学的研究结合在一起的。初等函数的使用面相当广泛，在建立描摹大自然的数学模型时，初等函数能够基本上满足需要旧函数，新意义旧函数，新
32、意义对数的发明在于简化计算20世纪中叶以后，计算机和计算器的普遍使用使得对数的这种计算功能几乎完全废弃对数函数的现代意义是：作为一种数学模型，对数函数提供了缓增的类型最初引入三角函数是几何学的需要，是为了处理三角形，其基本思想是使用比例手段定量地表示三角形边角之间的关系三角函数的重要，在于它的周期性三角函数提供了周期现象的一种数学模型。三角函数的重要，还在于傅里叶发现：相当广阔的一类函数(许多实用的周期函数)都可以展开为三角级数。函数的定义函数的定义变量说：如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一些变量的函数。 (欧拉， 1755)对应(
33、或映射)说：我们假定 Z 是一个变量如果对它的每一个值，都有未知量 W 的一个值与之对应，则称 W 是 Z 的函数。 (黎曼，1851 )关系说：若X,Y是两个集合，XY的任何子集 S 称为 它们之间的一种关系如果关系 F 满足：对于每一个xX，都存在唯一的一个 y ，使得(x,y)F ，则称关系 F 是一个函数 (布尔巴基学派，1939 )谁更重要？谁更重要？“变量说”建立在变量的基础上，描述和强调了函数最重要的特性变化，其优点是形象、直观、自然，通俗易懂。任何人理解函数，建立函数关系，都是从观察两个变量之间的依赖关系入手的因此“变量说”是最朴素、最根本的，对于初学者也最容易接受。这种描述性
34、的定义没有突出函数的本质对应关系。“对应说”突出地反映了变量之间的对应关系，它能够微观地、明确地指出因变量是如何随着自变量的变化而变化的。“对应说”抓住了函数的本质。函数的本质是变量之间的关系，而描述这种关系的正是“对应”。“对应说”建立在集合论的基础上，更接近现代数学的语言，普适性强。但它没能对“对应”进行严格刻画，对对应关系的界定也不够清楚。“关系说”没有使用其他未经定义的日常语言，完全用集合论的语言叙述。它通过外延定义彻底解决了对应关系的界定问题，是完全数学形式化的表述，便于更深入地理解函数本质，也便于计算机接受，广泛用于计算机科学中。但正是由于它过于形式化，抽去了函数关系的生动直观变量
35、变化及相互依赖关系的特征，看不见对应关系的形式和规律（解析式），对初学者来说不易理解和掌握。“关系说”虽不适合放在中学教材中，但中学教师应该掌握。函数的三种表示形式函数的三种表示形式函数的表达方法很多，列表法，图像法和解析式法，都可以表示函数数学所要研究的函数，一般是需要解析式的建立函数模型，主要是找到解析式表示，才能通过论证和计算解决问题离散的数字表格，可以插值形成连续函数，图像则可以用解析式逼近或数字近似但并非所有的函数都能够用算式表示也存在一些变量之间的变化关系我们可能能够感觉得到，却无法用简单的数学方法描摹出来如统计报表，股票走势图等要寻求算式，但又不限于算式，是掌握函数概念的一部分函
36、数与曲线、方程函数与曲线、方程函数的图象是曲线，曲线又可以看作是坐标适合二元方程的点的轨迹，在上述意义下函数、曲线、方程没有区别。这种统一性是中学数学的核心思想，这样几何中的形与代数中的数就统一起来了，初中数学知识与高中数学知识也统一起来了。中学阶段不必过分强调函数的图象与方程的曲线之间的差异，而更应该强调统一性。复合函数中的定义域问题复合函数中的定义域问题门德荣. 关于复合函数的教学. 数学通报,1995 , (9) :12.本题目的实质是“已知fg(x)的定义域求f(x)的定义域.问题1谁对谁错？类似的病题函数单调性与单调区间函数单调性与单调区间单调区间要求极大吗？排他？例 已知函数f(x
37、)=x2-2ax+1的增区间为1,+)，求a的取值范围解 f(x)=x2-2ax+1=(x-a)2 +1-a2 其增区间为a,+) 所以，a=1对吗？为什么要引入单调区间的概念？不过是为了比较函数值的方便而已。与极大无关，当然单调区间越大越有利。函数单调性的几个结论函数单调性的几个结论约定：两个函数在所讨论的区间里都是递增的（或递减的），就称这两个函数依同向变化；若其中一增一减，就称这两个函数依反向变化则单调函数f(x)与函数f(x)c(c是常数)依同向变化单调函数 f(x)与函数cf(x)(c是常数)，当 c 0时，依同向变化；当c1，解关于x的不等式：2.解关于x的不等式 解下列方程解下列
38、方程1.求方程 的实数解，其中a是实参数2.求方程 的实数解，其中a, b是实参数1.解：解：原方程等价于 或即 或即 或即 或所以，当 时，原方程的解为全体非负实数当 时，原方程的解为当 时，原方程无解2.解：解：原方程等价于即即即即 或即 或即 或即 或所以，当 时，原方程的解为当 时，原方程的解为当 时，原方程无解数学归纳法数学归纳法 课堂练习题课堂练习题1.已知f(1)=f(2)=1,f (n+2) = f (n+1)+f (n) ，n1 , 2 , 3 ， ，求证: f (n) f (n)， 求证f (x)=x恒成立第第1题解法（第二数学归纳法）题解法（第二数学归纳法）第第2题解法一
39、题解法一第第3题解法一题解法一用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1. 2. 3.4. 跳跃式数学归纳法跳跃式数学归纳法如果(l)P(1),P(2)，P(m)真；(2)P(k)真P(k+m)真那么，P(n)对一切自然数n真 第第2题解法二（跳跃式数学归纳法）题解法二（跳跃式数学归纳法）逆向数学归纳法（逆向数学归纳法（Cauchy）如果(1)有无穷多个自然数使P(n)真；(2)P(k)真P(k-1)真 那么，P(n)对一切自然数n真另一表述:如果 (1)对任一自然数n，总有nn使P(n)真；(2)P(k)真 P(k-l)真 那么，P(n)对一切自然数n真这个方法可以形象地称为“留空回填”,这里的
40、逆向倒推暗藏着正向推进的一面.第一步证明了有无穷个自然数xn使P(xn)真(n=1, 2,），剩下来的就是(xn-1,xn)上的自然数尚未证明再由第二步，有P(xn)真P(xn-1)真P(xn-1+l)真这就把“空”填上了 这个命题用有限项数学归纳法或反证法来证比较方便其中的“有无穷多个自然数使P(n)真”常取P(2k)真，或P(2k),P(2k-1)真第第3题解法二（逆向数学归纳法）题解法二（逆向数学归纳法）“f ( n) A(常数常数) ”的命题的命题误用误用问题出在哪里？a-1与b-1不一定是正整数，它们有可能是0，从而不能够利用归纳假设。下证下证A An n对于任意自然数对于任意自然数n n都成立。都成立。因为因为所以所以利用归纳假设知，利用归纳假设知，a-1=b-1, a-1=b-1, 从而从而a=b. a=b. 即即A Ak+1k+1成立。成立。
