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1、第四章第四章 弯曲强度弯曲强度材料力学材料力学* * 平面平面弯曲的概念弯曲的概念* * 梁的载荷及计算简图梁的载荷及计算简图* * 剪力与弯矩剪力与弯矩* * 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图* * 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系* * 纯弯曲梁的正应力纯弯曲梁的正应力* * 梁的切应力梁的切应力* * 梁梁弯曲时的强度计算弯曲时的强度计算材力讲稿弯曲强度平面弯曲的概念平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念二、工程实例二、工程实例第四章第四章 弯曲强度弯曲强度材力讲稿弯曲强度一、平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲的概念1定
2、义定义弯曲变形弯曲变形 直直线变成曲线线变成曲线的变形形式，简称的变形形式，简称弯曲弯曲。 梁梁外力外力垂直于垂直于杆的轴线，使得杆的杆的轴线，使得杆的轴线由轴线由以弯曲为主要变形的杆件以弯曲为主要变形的杆件材力讲稿弯曲强度一、平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念2平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲平面弯曲外力外力作用在梁的作用在梁的纵向对称平面纵向对称平面内，内，使梁的使梁的 轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形即：即：平面弯曲平面弯曲轴线的弯曲平面与外力的作用平面重合轴线的弯曲平面与外力的作用平面重合 的弯的弯曲形式曲形式平面弯曲的概念平面弯曲的概念梁有纵
3、向对称面；梁有纵向对称面；梁有纵向对称面；梁有纵向对称面；载荷均作用在纵向对称面内；载荷均作用在纵向对称面内；载荷均作用在纵向对称面内；载荷均作用在纵向对称面内；变形后梁的轴线仍在该平面内。变形后梁的轴线仍在该平面内。变形后梁的轴线仍在该平面内。变形后梁的轴线仍在该平面内。材力讲稿弯曲强度平面弯曲的概念平面弯曲的概念材力讲稿弯曲强度平面弯曲的概念平面弯曲的概念梁的横截面梁的横截面材力讲稿弯曲强度二、工程实例二、工程实例平面弯曲的概念平面弯曲的概念材力讲稿弯曲强度1. .吊车梁吊车梁材力讲稿弯曲强度2. .车削工件车削工件材力讲稿弯曲强度3. .摇臂钻的臂摇臂钻的臂材力讲稿弯曲强度4.4.火车轮
4、轴火车轮轴材力讲稿弯曲强度5. .桥梁桥梁材力讲稿弯曲强度6. .立交桥梁立交桥梁材力讲稿弯曲强度7. .跳板跳板材力讲稿弯曲强度梁的载荷及计算简图梁的载荷及计算简图一、梁的简化一、梁的简化二、梁的分类二、梁的分类第四章第四章 弯曲强度弯曲强度材力讲稿弯曲强度梁的载荷及计算简图梁的载荷及计算简图固固 定定 端端滑动铰支座滑动铰支座固定铰支座固定铰支座任何方向移动任何方向移动阻止阻止 竖向移动竖向移动任何移动任何移动和和转动转动一、梁的简化一、梁的简化2. .载荷载荷：分为集中力、分布力，集中力偶、分布力偶：分为集中力、分布力，集中力偶、分布力偶1. .梁梁 ：用轴线表示：用轴线表示3. .支座
5、支座：aaaaqqa2qaABCDE材力讲稿弯曲强度梁的载荷及计算简图梁的载荷及计算简图材力讲稿弯曲强度二、梁的分类二、梁的分类1. .按按支座情况支座情况分为：分为：2. .按按支座数目支座数目分为：分为：简支梁简支梁静定梁静定梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁超静定梁超静定梁梁的载荷及计算简图梁的载荷及计算简图材力讲稿弯曲强度跨跨 梁在两支座间的部分梁在两支座间的部分跨长跨长梁在两支座间的长度梁在两支座间的长度 3. .按按跨数跨数分为：分为：单跨梁单跨梁多跨梁多跨梁梁的载荷及计算简图梁的载荷及计算简图材力讲稿弯曲强度剪力与弯矩剪力与弯矩第四章第四章 弯曲强度弯曲强度一、求法一、求法二、符号规定二
6、、符号规定三、实用法则三、实用法则材力讲稿弯曲强度一、求法一、求法剪力与弯矩剪力与弯矩截面法截面法剪力剪力( (FS ) ) 与横截面的法向垂直的内力与横截面的法向垂直的内力材力讲稿弯曲强度一、求法一、求法截面法截面法任一横截面上的任一横截面上的剪力剪力 等于等于 该横截面任一侧所有外力该横截面任一侧所有外力的代数和的代数和剪力与弯矩剪力与弯矩材力讲稿弯曲强度 弯矩弯矩( (M ) )有有弯断弯断梁的趋势梁的趋势横截面上的内力偶矩横截面上的内力偶矩剪力与弯矩剪力与弯矩材力讲稿弯曲强度任一横截面上的任一横截面上的弯矩弯矩 等于等于对横截面形心力矩的代数和对横截面形心力矩的代数和该横截面任一侧所有
7、外力该横截面任一侧所有外力剪力与弯矩剪力与弯矩材力讲稿弯曲强度二、符号规定二、符号规定绕研究体绕研究体顺时针转顺时针转为为正正由由下转向上下转向上为为正正微段向上凹微段向上凹剪力剪力：弯矩弯矩：剪力与弯矩剪力与弯矩材力讲稿弯曲强度三、实用法则三、实用法则剪力剪力：考虑横截面考虑横截面左左侧梁段时，向侧梁段时，向上上（下下）的外力产生的外力产生 + +（- -）剪力，剪力，（右右侧相反侧相反），），代数和结果为代数和结果为 + + ( (- -) )时，剪力为时，剪力为 + + ( (- -) )剪力与弯矩剪力与弯矩 左上右下，左上右下，FS为正。为正。材力讲稿弯曲强度三、实用法则三、实用法则弯
8、矩弯矩：考虑横截面考虑横截面左左侧梁段时，顺（侧梁段时，顺（逆逆）针旋转的外力针旋转的外力矩产生矩产生 + +（- -）弯矩，弯矩，（右右侧相反侧相反），），代数和结果为代数和结果为 + + ( (- -) )时，弯矩为时，弯矩为 + + ( (- -) )注：注：对任一对任一侧梁段，向侧梁段，向上上（下下）的外力产生的外力产生 + +（- -）弯矩弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩 左顺右逆，左顺右逆，M为正。为正。材力讲稿弯曲强度例例 1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的左与右邻截面上的FS和和M。解：解：1. .求支反力求支反力材力讲稿弯曲强度解：解：2. .求内力求内力A左邻截
9、面：左邻截面：例例 1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的左与右邻截面上的FS和和M。材力讲稿弯曲强度解：解：2. .求内力求内力A左邻截面：左邻截面：A右邻截面：右邻截面：例例 1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的左与右邻截面上的FS和和M。材力讲稿弯曲强度解：解：2. .求内力求内力D左邻截面：左邻截面：例例 1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的左与右邻截面上的FS和和M。材力讲稿弯曲强度解：解：2. .求内力求内力D左邻截面：左邻截面：D右邻截面：右邻截面：例例 1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的左与右邻截面上的FS
10、和和M。材力讲稿弯曲强度剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图第四章第四章 弯曲强度弯曲强度三、列方程法作剪力图和弯矩图三、列方程法作剪力图和弯矩图四、叠加法作弯矩图四、叠加法作弯矩图材力讲稿弯曲强度剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力方程剪力方程一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程弯矩方程弯矩方程剪力随横截面变化的函数表达式剪力随横截面变化的函数表达式弯矩随横截面变化的函数表达式弯矩随横截面变化的函数表达式材力讲稿弯曲强度剪力图剪力图二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图弯矩图弯矩图2. .剪力剪力正正值画在值画在上上方
11、，方，负负值画在值画在下下方。方。做法：做法：1. .横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩；横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩；剪力随横截面的变化曲线剪力随横截面的变化曲线弯矩随横截面的变化曲线弯矩随横截面的变化曲线剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图3. .弯矩弯矩正正值画在值画在下下方，方，负负值画在值画在上上方。方。正值弯矩在受拉边正值弯矩在受拉边材力讲稿弯曲强度作作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图的方法：的方法：二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图 1. .列方程法列方程法 2. .叠加法叠加法 3. .控制点法控制点法剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材力讲稿弯曲强度三、列方程法作剪力图和弯矩图
12、三、列方程法作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材力讲稿弯曲强度2. .列内力方程列内力方程例例 2 作图示梁的内力图。作图示梁的内力图。解：解：Mx_ql823. 作内力图作内力图1. .求支反力求支反力材力讲稿弯曲强度例例 3 作图示梁的内力图。作图示梁的内力图。FalFblFxSMxFabl内力图特点：内力图特点：解：解：2. .列内力方程列内力方程3. 作内力图作内力图1. .求支反力求支反力FS 图突变，突变值等于集中力大小，图突变，突变值等于集中力大小， M图图转折。转折。集中力作用截面，集中力作用截面，材力讲稿弯曲强度例例4 作图示梁的内力图。作图示梁的内力图。lM eF
13、xS集中力偶作用集中力偶作用截面，截面，M图突变，突变值等图突变，突变值等MxlM belM ae内力图特点：内力图特点：解：解：2. .列内力方程列内力方程3. 作内力图作内力图1. .求支反力求支反力于集中力偶大小，于集中力偶大小，FS图图不变。不变。材力讲稿弯曲强度作梁的内力图的一般步骤作梁的内力图的一般步骤求约求约求约求约束反束反束反束反力力力力截取截取截取截取研究研究研究研究对象对象对象对象受受受受力力力力图图图图列平列平列平列平衡方衡方衡方衡方程程程程求解求解求解求解内力内力内力内力画内画内画内画内力图力图力图力图静力静力静力静力平衡平衡平衡平衡方程方程方程方程载荷载荷载荷载荷突变
14、突变突变突变处分处分处分处分段段段段内力内力内力内力按正按正按正按正向假向假向假向假设设设设矩心矩心矩心矩心取截取截取截取截面形面形面形面形心心心心内内内内力力力力方方方方程程程程图形图形图形图形应封应封应封应封闭闭闭闭材力讲稿弯曲强度例例例例3 3 已知已知已知已知q q =9kN/m=9kN/m，F F =45kN=45kN，MM0 0=48kN=48kN mm， 求梁的内力。求梁的内力。求梁的内力。求梁的内力。 解：解：1）求约束反力：）求约束反力： MA(F )=12FE+M0-8F-24q=0 FAy=49kN；FE=32kNBAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyFAx=0F
15、 FE E Fx=FAx=0 Fy=FAy+FE-F-4q=0 2)截面法求内力截面法求内力截面法求内力截面法求内力3) ABAB段段段段: 0: 0 x x1 14m4mx1FAy0q F Fy y= =F FA Ay y- -qxqx1 1- -F FS1S1=0 =0 F FS1S1=49-9=49-9x x1 1 MM1 1FS1c c2 22 2 MMc c( (F F )= )=MM1 1+ +qxqx1 1 /2-/2-F FAyAyx x1 1=0 =0 MM1 1=49=49x x1 1-4.5-4.5x x1 1材力讲稿弯曲强度例例例例3 3 已知已知已知已知q q =9k
16、N/m=9kN/m，F F =45kN=45kN，MM0 0=48kN=48kN mm， 求梁的内力。求梁的内力。求梁的内力。求梁的内力。 2) 2) 截面法求内力截面法求内力截面法求内力截面法求内力 BCBC段段段段: 4m: 4m x x2 26m6m F Fy y= =F FA Ay y-4-4q q- -F FS2S2=0 =0 F FS2S2=13kN=13kNBAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyF FE Ex2FAy0BqMM2 2FS2c c MMc c( (F F )= )=MM2 2+4+4q q( (x x2 2-2)-2)-F FA Ay yx x2 2=0 =
17、0 MM2 2=13=13x x2 2+72(kN+72(kN m)m) CDCD段段段段: 6m: 6m x x3 38m8mx3FAy0BqCM0MM3 3FS3c c DEDE段段段段: 8m: 8m x x4 412m12mx4FAy0BqCM0FDMM4 4FS4c cF FS3S3=13kN; =13kN; MM3 3=13=13x x3 3+24(kN+24(kN m)m)F FS4S4=-32kN; =-32kN; MM4 4=384-32=384-32x x4 4(kN(kN m)m)材力讲稿弯曲强度 取右边部分如何取右边部分如何取右边部分如何取右边部分如何? ?DEDE段段
18、段段: 8m: 8m x x4 412m12mBAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyF FE Ex4FAy0BqCM0FDF FS4S4=-=-F FE E=-32kN=-32kNMM4 4= =F FE E(12-(12-x x4 4) ) =384-32 =384-32x x4 4 DE DE段段段段: 8m: 8m x x4 412m12mF FS4S4=-32kN; =-32kN; MM4 4=384-32=384-32x x4 4(kN(kN m)m)F FE EMM4 4FS4c c0x4MM4 4FS4c c内力同样要按正向假设内力同样要按正向假设内力同样要按正向假设内力
19、同样要按正向假设! !结果应当相同。结果应当相同。结果应当相同。结果应当相同。可以用于验算。可以用于验算。可以用于验算。可以用于验算。材力讲稿弯曲强度BAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyF FE E分段处的剪力弯矩值：分段处的剪力弯矩值：分段处的剪力弯矩值：分段处的剪力弯矩值：x x1 1=0: =0: F FSASA=49=49；MMA A=0=0内力方程内力方程内力方程内力方程: :ABAB段段段段: 0: 0 x x4m4mF FS1S1=49-9=49-9x x1 1; ; MM1 1=49=49x x1 1-4.5-4.5x x1 1BCBC段段段段: 4m: 4m x x
20、6m6mF FS2S2=13; =13; MM2 2=13=13x x2 2+72+72F FS3S3=13; =13; MM3 3=13=13x x3 3+24+24F FS4S4=-32; =-32; MM4 4=384-32=384-32x x4 42 2 CD CD段段段段: 6m: 6m x x8m8m DE DE段段段段: : 8m8m x x12m12mx x4 4=8: =8: F FSDSD=-32=-32；MMD D=128=128x x2 2=4: =4: F FSBSB=13=13；MMB B=124=124x x3 3=6: =6: F FSCSC=13=13；MMC
21、 C=102=102x x3 36: 6: MMC C150150x x4 48: 8: F FSDSD1313注意：集中力注意：集中力注意：集中力注意：集中力 ( (力偶力偶力偶力偶) ) 作用处左右二侧作用处左右二侧作用处左右二侧作用处左右二侧F FS S ( (MM) ) 不同。不同。不同。不同。材力讲稿弯曲强度BAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyF FE EF FS S/kN/kNx-+491332+M/kNmBACDEx124128150剪力、弯矩图：剪力、弯矩图：分段处的剪力弯矩值：分段处的剪力弯矩值：分段处的剪力弯矩值：分段处的剪力弯矩值：x x1 1=0: =0: F
22、 FSASA=49=49；MMA A=0=0x x4 4=8: =8: F FSDSD=-32=-32；MMD D=128=128x x2 2=4: =4: F FSBSB=13=13；MMB B=124=124x x3 3=6: =6: F FSCSC=13=13；MMC C=102=102x x3 36: 6: MMC C150150x x4 48: 8: F FSDSD1313注意：注意：注意：注意：C C、D D处左右二侧处左右二侧处左右二侧处左右二侧MM、F FS S 之差等于该处的集中之差等于该处的集中之差等于该处的集中之差等于该处的集中力偶、集中力。力偶、集中力。力偶、集中力。力
23、偶、集中力。材力讲稿弯曲强度四、四、 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图可见：可见： 剪力方程和弯矩方程都是剪力方程和弯矩方程都是载荷载荷F、q和和Me的的线性函数线性函数剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材力讲稿弯曲强度四、四、 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图叠加原理：叠加原理： 由由几个几个外力外力同时同时作用时所引起的构件内的某一参数作用时所引起的构件内的某一参数 （内力、应力或位移等）（内力、应力或位移等） 由由各个各个外力外力单独单独作用时所引起的构件内的该一参数作用时所引起的构件内的该一参数 的的矢量和矢量和或或代数和代数和适用条件：适用条件：小变形情况小变形情况剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材力
24、讲稿弯曲强度例例 5 试用叠加法作图示简支梁的弯矩图试用叠加法作图示简支梁的弯矩图解：解： 1. .作出作出F单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 2. .作出作出Me单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 3. .叠加上述两图，得到叠加上述两图，得到F和和Me同时作用时的弯矩图同时作用时的弯矩图Fl14Fl14Fl14Fl18材力讲稿弯曲强度例例 6 试用叠加法作图示简支梁的弯矩图试用叠加法作图示简支梁的弯矩图解：解： 1. .作出作出q单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 2. .作出作出Me单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 3. .叠加上述两图叠加上述两图ql182ql182ql182ql 91282材力讲稿弯曲强度
