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1、第二十八章第二十八章锐角三角函数锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形 新知新知1 1 解直角三角形的常见类型及解法解直角三角形的常见类型及解法图象图象已知条件已知条件解法步骤解法步骤两两边边两直角边两直角边( (如如a a, ,b b) )斜边和一斜边和一直角边直角边( (如如c c, ,a a) ) 续表续表已知条件已知条件解法步骤解法步骤一一边边一一角角一直角边一直角边和一锐角和一锐角锐角、邻锐角、邻边（如边（如A A, ,b b）锐角、对锐角、对边边( (如如A,aA,a) )斜边和一锐角（如斜边和一锐角（如c c,A A） 注意：注意：
2、 1. 1. 在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角，再已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角，再确定它的对边和邻边的顺序进行计算确定它的对边和邻边的顺序进行计算. . 2. 2. 若题中无特殊说明，若题中无特殊说明，“解直角三角形解直角三角形”即要求即要求出所有的未知元素，其中已知条件中至少有一个条件出所有的未知元素，其中已知条件中至少有一个条件为边为边. . 【例【例1 1】（20142014滨州）在滨州）在Rt
3、RtACBACB中，中，C C=90=90，ABAB=10=10，sinsinA A= = ，coscosA A= = ，tantanA=A= ，则，则BCBC的长为的长为（ ） A. 6 A. 6 B. 7.5 B. 7.5 C. 8 C. 8 D. 12.5D. 12.5 例题精讲例题精讲 1. 1. 如图如图28-2-628-2-6，在直角，在直角BADBAD中，延长斜边中，延长斜边BDBD到点到点C C，使使DCDC= = BDBD，连接，连接ACAC，若，若tantanB B= = ，则，则tantanCADCAD的值（的值（ ） 举一反三举一反三D D 2. 2. 如图如图28-2
4、-728-2-7，在，在ABCABC中，中，BACBAC=90=90，ABAB= =ACAC，点，点D D为边为边ACAC的中点，的中点，DEDEBCBC于点于点E E，连接，连接B BD D，则则tantanDBCDBC的值为（的值为（ ）A A 新知新知2 2 解直角三角形的常见解法解直角三角形的常见解法 解直角三角形问题，关键是正确运用直角三角形解直角三角形问题，关键是正确运用直角三角形中的边角关系，同时要注意运用勾股定理、代数式的中的边角关系，同时要注意运用勾股定理、代数式的变形及方程思想变形及方程思想. .解非直角三角形时，一定要通过作辅解非直角三角形时，一定要通过作辅助线构造出直角
5、三角形，将非直角三角形问题转换为助线构造出直角三角形，将非直角三角形问题转换为直角三角形问题直角三角形问题. . 注意：注意： 1. 1. 熟练掌握锐角三角函数的概念，灵活运用特殊熟练掌握锐角三角函数的概念，灵活运用特殊三角函数值来解决相关计算、求直角三角形的边和角三角函数值来解决相关计算、求直角三角形的边和角等问题，并能根据实际情况构造出直角三角形，从而等问题，并能根据实际情况构造出直角三角形，从而解决问题解决问题. . 2. 2. 解答有关斜角问题时，能灵活地将其转换为易解答有关斜角问题时，能灵活地将其转换为易解答的直角三角形问题求解解答的直角三角形问题求解. . 【例【例2 2】如图如图
6、28-2-828-2-8，已知，已知AOBAOB=60=60，点，点P P在边在边OAOA上，上，OPOP=12=12，点，点M M，N N在边在边OBOB上，上，PMPM= =PNPN，若，若MNMN=2=2，则，则OMOM= =（ ） A. 3 A. 3 B. 4 B. 4 C. 5 C. 5 D. 6D. 6 例题精讲例题精讲 解析解析 过点过点P P作作PDPDOBOB，交，交OBOB于点于点D D，在直角三角，在直角三角形形PODPOD中，利用锐角三角函数定义求出中，利用锐角三角函数定义求出ODOD的长，再由的长，再由PMPM=P=PN N，利用三线合一得到，利用三线合一得到D D为
7、为MNMN中点，根据中点，根据MNMN求出求出MDMD的长，由的长，由ODOD- -MDMD即可求出即可求出OMOM的长的长. . 过过P P作作PDPDOBOB，交，交OBOB于点于点D D，如图，如图28-2-928-2-9所示，所示， 在在RtRtOPDOPD中，中，cos60cos60= = ，OPOP=12=12，ODOD=6=6，PPM M= =PNPN，PDPDMNMN，MNMN=2=2，MDMD= =NDND= = MNMN=1=1，OMOM= =ODOD- -MDMD=6-1=5. =6-1=5. 答案答案 C C 1. 1. 如图如图28-2-1028-2-10，在，在Rt
8、RtABCABC中，中，ACBACB=90=90，CDCDABAB，垂足为点，垂足为点D D，ABAB= =c c，A A= =，则，则CDCD长为（长为（ ） A. A. c csinsin2 2 B. B. c ccoscos2 2 C.C. c csinsintantan D. D. c csinsincoscos 举一反三举一反三D D 2. 2. 如图如图28-2-1128-2-11，在，在ABCABC中，中，ABAB= =ACAC=13=13，BCBC=10=10，点，点D D为为BCBC的中点，的中点，DEDEABAB于点于点E E，则，则tantanBDEBDE的值等于（的值等
9、于（ ）C C 3. 3. 已知：如图已知：如图28-2-1228-2-12，ABCABC中，中，ACAC1010，sinsinC C= ,sin= ,sinB B= = , ,求求ABAB. . 1. 1. 解直角三角形问题，关键是正确运用直角三解直角三角形问题，关键是正确运用直角三角形中除直角外的五个元素（三条边和两个锐角）之角形中除直角外的五个元素（三条边和两个锐角）之间的关系，同时还要注意运用勾股定理，代数式的变间的关系，同时还要注意运用勾股定理，代数式的变形及方法思想形及方法思想. . 2. 2. 解非直角三角形时，一定要通过作辅助线构解非直角三角形时，一定要通过作辅助线构造出直角三
10、角形，将之转化为直角三角形问题造出直角三角形，将之转化为直角三角形问题. . 方法规律方法规律 7. (67. (6分分) )如图如图KT28-2-4,KT28-2-4,在在ABCABC中中,C C=90=90,A A，B B，C C的的对边分别为对边分别为a a，b b，c c, ,且且b b= ,= ,A A的平分线的平分线ADAD= ,= ,解这个直角三角形解这个直角三角形. . 8. 8. （6 6分）台风是一种自然灾害，分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力力. .如图
11、如图KT28-2-5KT28-2-5，据气象观测，距，据气象观测，距沿海某城市沿海某城市A A的正南方向的正南方向220 km220 kmB B处有处有一台风中心，其中心最大风力为一台风中心，其中心最大风力为1212级，级，每远离台风中心每远离台风中心20 km20 km，风力就会减，风力就会减弱一级，该台风中心现正以弱一级，该台风中心现正以15 km/h15 km/h的速度沿北偏东的速度沿北偏东3030方向往方向往C C移动，移动，且台风中心风力不变且台风中心风力不变. .若城市所受风若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影力达到或超过四级，则称为受台风影响响. . (1)(1)该城市是
12、否会受到这次台风的影响该城市是否会受到这次台风的影响? ?请说明请说明理由理由. . (2)(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长持续时间有多长? ? (3)(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级该城市受到台风影响的最大风力为几级? ? 解：（解：（1 1）该城市受到此次台风影响，理由）该城市受到此次台风影响，理由如下：如下： 如答图如答图28-2-228-2-2所示，作所示，作ADADBCBC于点于点D D，在直角三角形，在直角三角形ABDABD中，中，ADAD= =ABABsin30sin30= = ABAB= = 220=220
13、=110 km110 km，台风中心与城市，台风中心与城市A A的最近距离为的最近距离为110 km110 km，城，城市市A A恰好受台风影响时，城市所受风力为恰好受台风影响时，城市所受风力为4 4级，距离级，距离恰好为（恰好为（12-412-4）20=160 km20=160 km 因为因为160 km160 km110 km110 km，所以该城市受到此次，所以该城市受到此次台风影响台风影响 （3 3）当台风中心位于）当台风中心位于D D处时，处时，A A市所受这次市所受这次台风的风力最大，其最大风力为台风的风力最大，其最大风力为12- 12- 6 6. .5 5（级）（级） 7. (6
14、7. (6分分) )如图如图KT28-2-11KT28-2-11，建筑物建筑物ABAB后有一座假山，其坡后有一座假山，其坡度为度为i i=1 =1 ，山坡上，山坡上E E点处有点处有一一凉亭，测得假山坡脚凉亭，测得假山坡脚C C与建筑与建筑物水平距离物水平距离BC=BC=25 m25 m，与凉亭距，与凉亭距离离CECE=20 m=20 m，某人从建筑物顶端测得，某人从建筑物顶端测得E E点的俯角为点的俯角为4545，求建筑物，求建筑物ABAB的高（注：坡度的高（注：坡度i i是指坡面的铅直高度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）与水平宽度的比） 8. (68. (6分分) )如图如图KT28-K
15、T28-2-122-12所示，某数学活动小所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树组选定测量小河对岸大树BCBC的高度，他们在斜坡上的高度，他们在斜坡上D D处测得大树顶端处测得大树顶端B B的仰角是的仰角是3030，朝大树方向下坡走，朝大树方向下坡走6 6 m m到达坡底到达坡底A A处，在处，在A A处测得大树顶端处测得大树顶端B B的仰角是的仰角是4848，若坡角若坡角FAEFAE=30=30，求大树的高度，求大树的高度. .（结果保留整数，（结果保留整数，参考数据：参考数据：sin48sin480.740.74，cos48cos480.670.67，tan48tan481.111.11， 1.73 1.73）解：如答图解：如答图28-2-428-2-4所示，所示，过点过点D D作作DGDGBCBC于点于点G G, ,DHDHCECE于点于点H H，则四边形则四边形DHCGDHCG为矩形为矩形故故DGDG= =CHCH，CGCG= =DHDH，在在RtRtAHDAHD中，中，DAHDAH=30=30，ADAD=6=6，DH=DH=3 3，AHAH=3 =3 CGCG=3.=3.
