3.1 李亚普诺夫第二法的概述李亚普诺夫第二法的概述3.2 李亚普诺夫意义下的稳定性李亚普诺夫意义下的稳定性3.3 李亚普诺夫稳定性定理李亚普诺夫稳定性定理3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析线性系统的李亚普诺夫稳定性分析 3.1 李亚普诺夫第二法的概述李亚普诺夫第二法的概述一、物理基础一、物理基础1、稳定性、稳定性：一个自动控制系统当受到外界干扰时，它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉后,它仍有能力自动地在平衡状态状态下继续工作，系统的这种性能，称为稳定性2、稳定系统：、稳定系统：具有稳定性的系统称为稳定系统反之为不稳定系统3、系统稳定性的数学表示法、系统稳定性的数学表示法 系统在受外界干扰后，系统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过渡过程的收敛性，用数学方法表示为： 为系统被调量偏离其平衡位置的大小， 为 任意小的规定量3、研究系统稳定性的方法、研究系统稳定性的方法 劳斯—胡尔维茨稳定性判据 古典控制论： 乃奎斯特稳定性判据 第一种方法 现代控制论：李亚普诺夫稳定性 第二种方法 第一种方法第一种方法：是解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，或根据特征方程根的情况来判据稳定性。
第二种方法：第二种方法：建立在一个直观的物理事实上，如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即 那么随着 系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值 由于实际系统很难找到一个统一的，简便的用于完全描述上述过程的所谓能量函数李氏认为在判断一个系统的稳定性时，不一定非要得到系统的真正能量函数，可以根据不同的系统虚 构一个广义的能量函数，称为李亚普诺夫函数（李氏函数）李氏函数能满足一定的条件，也就是根据它来判据系统的稳定性 李氏函数一般是状态分量 和时间 t 的标量函数，用 表示，若与t无关，可用 表示 在多数情况下， 常取二次型函数作为李氏函数 即： 式中 P为实对称阵二、二次型及其定号性二、二次型及其定号性1、二次型：、二次型：定义：n个变量 的二次齐次多项式为： 称为二次型。
式中 是二次的系数 设 —对称且均为实数用矩阵表示二次型2 2、定号性、定号性1）正定性：当且仅当 x=0时，才有 ；对任意 非零X，恒有 ，则 为正定 2）负定性）负定性：当仅当X=0时，才有 ；对任意非零X,恒有 ，则 为负定3）正半定性和负半定性）正半定性和负半定性 如果对任意 ，恒有 , 则V(X)为正半定或准正定 如果对任意 ，恒有 , 则V(X)为负半定或准负定4）不定性）不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正值也可为负值，则V(X)为不定3、赛尔维斯特准则、赛尔维斯特准则1）二次型 或对称矩阵P为正定的充分条件是P的主子行列式均为正，即 如果 则P为正定，即V(X)正定。
2））二次型二次型 或对称阵P为负定的充要条件 是P的主子行列式满足 ； （ i为偶数）i=1，2，3，…,n 3.2 李亚普诺夫意义下的稳定性李亚普诺夫意义下的稳定性一、平衡状态一、平衡状态系统一般描述： X为n维状态向量平衡状态：当在任意时间都能满足 时，称Xe为系统的平衡状态或平衡点对于线性定常系统 A为非奇异时，X=0是其唯一的平衡状态 A为奇异时，系统有无穷多个平衡状态对于非线性系统，有一个或多个平衡状态对任意 ，总可引入一个新状态，经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态） 孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态单个平衡状态也是孤立平衡状态稳定性问题：是指系统的状态解（常称“运动”）是否能趋于平衡状态解的问题，若系统的状态解能回复到平衡状态则称此系统是稳定的。
如果系统的状态解虽然不能最终回复到平衡状态，而是在平衡状态某个邻域内呈现自激震荡，而这种震荡又为实际系统所允许，那么也应把这种系统称为稳定的，反之为不稳定的二、李亚普诺夫意义下的稳定二、李亚普诺夫意义下的稳定 系统状态方程为 设u( t )=0，且系统的平衡状态为Xe， 有扰动使系统在 时的状态为 ，产生初始偏差 则 后，系统的运动状态从 开始随时间发生变化 表示初始偏差都在以 为半径，以平衡状态 Xe为中心的闭环域 里其中 表示平衡状态偏差都在以 为半径，以平衡状态 Xe为中心的闭环域 里 1、稳定性定义、稳定性定义： 1）稳定与一致稳定）稳定与一致稳定 设Xe为动力学系统 的一个孤立平衡状态。
如果对球域 或任意正实数 ，都可以找到另一个正实数 或球域 ，当初始状态 满足 时，对由此出发的X的运动轨迹有 ， 则此系统为李亚普诺夫意义下的稳定如果 与初始时刻 无关，则称平衡状态为一致稳定 2）渐近稳定和一致渐近稳定）渐近稳定和一致渐近稳定 设Xe为动力学系统 的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且从充分靠近Xe的任一初始状态 出发的运动轨迹 有 或 即收敛于平衡状态Xe，则称平衡状态Xe为渐近稳定如果 与初始时刻 无关，则称平衡状态Xe为一致渐近稳定。
3）大范围渐近稳定）大范围渐近稳定 如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性，即 对所有点都成立，称平衡状态Xe为大范围渐近稳定的，如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大 范围渐近稳定的4）不稳定）不稳定 如果平衡状态Xe即不是渐近稳定的，也不是稳定的，当 并无限增大时，从 出发的运动轨迹最终超越 域，则称平衡状态Xe是不稳定的 3.3 李亚普诺夫稳定性定理李亚普诺夫稳定性定理定理定理1：设系统的状态方程为 式中 ， 如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在，并且满足以下条件： 是正定的 是负定的 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的如果随着 ，有 ，则原点处 的平衡状态是大范围内渐近稳定的。
例例3.1设系统方程为 试确定其平衡状态的稳定性解解：1）平衡状态 求 解 ，得 是给定系统唯一的平衡状态 2）选取李氏函数 选 显然 正定的 所以系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的 又 即有有则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的 定理定理2：设系统的状态方程为 式中： ，如果存在一标量函数 ，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件： 是正定的； 是负半定的； 对任意 和任意 ，在 时不恒等于零。
则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的如果还有 时， 则为大范围渐近 稳定的 式中 ,表示 时，从 出发的解轨迹例例3.2 设系统方程为 确定系统平衡状态的稳定性解解：1）求平衡状态 原点（0,0）为给定系统唯一的平衡状态 2）选李氏函数，选 当 负半定讨论讨论： 的定号性，即是否恒为零.如果 恒为零，势必 时， 恒为零，而 恒为零又必要 恒为零。
而又 不可能恒为零 因此有 不可能恒为零 系统原点处的平衡状态是渐近稳定的 又由于 ，有 是大范围渐近稳定若选 正定 负定而 , 系统在平衡状态（0，0）是大范围渐近稳定定理定理3：设系统方程为式中 ，如果存在一个标量函数V(x,t),它 具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件 是正定的； 时负半定的，但在某一 x 值恒为零。
则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定 义下 稳定的，但非渐近稳定，这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上例例3.3 系统方程为 试确定系统平衡状态的稳定性解：解： 原点为平衡状态，选取李氏函数 在任意x 值上均可保持为零，则系统在原点处是李亚普诺夫意义下的稳定，但不是渐近稳定的定理定理4：设系统状态方程为式中 . 如果存在一个标量函数V(x,t),它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件 在原点的某一领域内是正定的， 在同样的领域内是正定的， 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的 一、线性定常系统的稳定性分析：一、线性定常系统的稳定性分析： 分析：设线性定常系统为 式中： x—n维状态向量， 常系数距阵，假设为非奇异，判定系统稳定性。
主要取决自 由响应 平衡状态，由方程知,x=0，(原点） 对（1）式确定的系统，若选如下正定无限大V函数 P—正定赫米特距阵（复空间内=次型，如A是一个实向量，则可取正定实对称距阵） 3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析线性系统的李亚普诺夫稳定性分析 的导数为如果系统为大范围渐进稳定则要求 负定即为负定式中2.问题问题：在已知P是正定条件下， 寻找满足(2)式条件的 赫米特矩阵（或实对称矩阵）Q是正定的，则 系统（1）在原点处的平衡点，是大范围渐近稳 定的 3.定理定理:设系统状态方程为 式中, x 是n 维状态向量，A是 常系数矩阵,且是非奇异若给定一个正定的赫米特矩阵(包括实对称矩阵) Q ，存在一个正定的赫米特矩阵(或实对称矩阵)P,使得满足如下矩阵方程 则系统在x=0处的平衡状态是大范围渐近稳定的.而标量函数 就是李氏函数.4.几点讨论几点讨论 1）如果 沿任意一条轨迹不恒等于零, 则 Q可 取做半正定数. 2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。
3）因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终 判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取 这样线性系统 平衡状态X=0为渐近的充分条件为：存在一个正定对称矩阵P，满足 矩阵方程5、特征值稳定性判据、特征值稳定性判据 对于线性定常系统有： （（1））系统的每一平衡状态是在李亚普诺夫意义下稳定 的充分必要条件为A的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根2））系统的唯一平衡状态Xe=0是渐近稳定的充分必要 条件为：A的所有特征值均具有负实部例例：设系统的状态方程为 显然，坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定系统在这一平衡状态下的渐近稳定性条件，并求出系统的李亚普诺夫函数 解：解：设系统李亚普诺夫函数为 P由下式决定 取 得： 展开得： 解上式： 渐近稳定条件：即： 满足此不等式，必须有故上述系统在原点处是渐近稳定的充分条件为又此系统为线性定常系统，若此系统为在原点处渐近稳定，必为大范围内渐近稳定。
例：例：已知线性定常系统 试用李亚普诺夫第二法分析系统的稳定性解：解：1）平衡状态 ：X=0是系统唯一的平衡状态 令 代入 由此导出： 故得 判据P的正定性故 P 是正定的 根据定理可知系统的平衡状态X=0是渐近稳定的李氏函数： 显然 系统在X=0平衡状态是渐近稳定的二、线性时变系统的稳定性分析二、线性时变系统的稳定性分析定理定理：若系统 的矩阵A是 t 的函数（即时变函数），则系统在平衡点Xe=0处是大范围内渐近 稳定的充要条件为：对于任意给定连续对称正定矩阵Q(t),存在一个连续对称正定矩阵P(t),使得 而系统的李亚普诺夫函数是证明证明：设李亚普诺夫函数是则P(t)必是正定且对称矩阵，其 式中由定理可知，当P是正定对称矩阵时，若Q也是一个正定对称矩阵，则 是负定的，系统便是渐近稳定的式（1）解为式中， 是系统 的状态转移矩阵， 是式（1）的初始条件，若取所以根据P(t)是否具有连续、对称和正定性来分析线性时变系统的稳定性。
三、线性定常离散系统稳定性分析三、线性定常离散系统稳定性分析定理：定理：线性定常离散系统的状态方程为 当系统在平衡点Xe=0是大范围内渐近稳定时，其充分必要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q都存在对称正定矩阵P，使得 而系统的李亚普诺夫函数是 当取 时，证：证：设李亚普诺夫函数为 式中P为正定的赫米特（实对称）矩阵 对于离散系统，用 和 之差代替 ,即 类似于连续系统中V(X)的导数项 因此： 式中， 显然要满足系统在Xe=0点是大范围内渐近稳定的条件： Q必须是正定对称矩阵 如果 沿任意一解的序列不恒等于零，Q也可取为半正定的。
例：例：设离散时间系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳定的条件解：解：根据稳定定理知 P为正定即 满足上述条件必有即只有当传递函数的极点位于单位圆内，系统在平衡点处才是大范围内渐近稳定的。