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1、一、数学期望的概念一、数学期望的概念二、数学期望的性质二、数学期望的性质三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、小结四、小结第一节第一节 数学期望数学期望 设某射击手在同样的条设某射击手在同样的条件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中的环数是一个随机变量命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下射中次数记录如下引例引例 射击问题射击问题 试问试问:该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率一、数学期望的概念一、数学期望的概念 解解平均射中环数平均射中环数设射手命中的环数为随机变量设射手命中的环
2、数为随机变量 Y . 平均射中环数平均射中环数频率频率随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平均射中环数平均射中环数”等于等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环数的可能值与其概率之积的累加1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 2.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义例一：例一：将将 4 个可区分的球随机地放入个可区分的球随机地放入 4 个盒个盒子中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子子中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数的数学期望数的数学期望. . 解：引入解：引入 X i , i = 1,2,3,4.Xi P 1 01. 设设 C 是常数是常数, 则
3、有则有证明证明2. 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数, 则有则有证明证明二、数学期望的性质3. 设设 X, Y 是两个随机变量是两个随机变量, 则有则有4. 设设 X, Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, 则有则有证明证明说明说明 连续型随机变量连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似机变量数学期望的性质类似.数学期望在医学上的一个应用数学期望在医学上的一个应用An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每考虑用验血的方法
4、在人群中普查某种疾病。集体做法是每1010个人一组，把这个人一组，把这1010个人的血液样本混合起来进行化验。如果个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则结果为阴性，则1010个人只需化验个人只需化验1 1次；若结果为阳性，则需对次；若结果为阳性，则需对1010个人在逐个化验，总计化验个人在逐个化验，总计化验1111次。假定人群中这种病的患病次。假定人群中这种病的患病率是率是10%10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？
5、分析：分析：设随机抽取的设随机抽取的10人组所需的化验次数为人组所需的化验次数为X我们需要计算我们需要计算X的数学期望，然后与的数学期望，然后与10比较比较 化验次数化验次数X的可能取值为的可能取值为1，11先求出化验次数先求出化验次数X的分布律。的分布律。(X=1)=“10人都是阴性人都是阴性”（X=11)=“至少至少1人阳性人阳性”结论：结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数分组化验法的次数少于逐一化验法的次数注意求注意求 X期望值的期望值的步骤！步骤！四、小结1.数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均, 与一般的平均值不同与一般的平
6、均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 数学期望的性质数学期望的性质第二节第二节 随机变量的方差随机变量的方差前面我们介绍了随机变量的数学期望前面我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均它体现了随机变量取值的平均,是随机变量是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道随机变量但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的取值的平均是不够的.例如，甲、乙两门炮同时向一目标射击例如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发发炮弹，其落点距目标的位置如图：炮弹，其落点距目标的位置
7、如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好所以乙炮的射击效果好. 中心中心中心中心 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征, ,用它来度用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. .这个数字特征就是我们下面要介绍的这个数字特征就是我们下面要介绍的方差方差A. 方差的概念方差的概念设设随随机机变变量量X的的数数学学期期望望为为E(X), 若若E(X-E(X)2存存在在, 则则称称
8、它它为为X 的的方方差差（此此时时，也也称称X的的方方差差存在存在)，记为，记为Var(X) 或或D(X) , 即即定义定义称称Var(X) 的算术平方根的算术平方根 为为X的的标准差或均方差标准差或均方差，记为，记为 (X). Var (X)=E(X-E(X)2若若X的取值比较分散，则方差较大的取值比较分散，则方差较大. .刻划了随机变量的取值相对于其数学期望刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度的离散程度. .若若X的取值比较集中，则方差较小；的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=EX-E(X)2 方差方差注意：注意：1) Var(X) 0，即方差是一个非负实数即方差是一个非负
9、实数.2）当当X 服服从从某某分分布布时时，我我们们也也称称某某分分布布的的方差为方差为Var(X).3)方方差差是是刻刻划划随随机机变变量量取取值值的的分分散散程程度度的的一个一个 特征特征.方差的计算公式方差的计算公式(1)若若 X 为离散型，概率分布为为离散型，概率分布为(2)若若 X 为连续型，概率密度为为连续型，概率密度为 f (x), 则则则则计算方差的公式计算方差的公式证明证明: :即X*=（X-）的数学期望为0，方差为1，X*称为X的标准化变量. 上式称为上式称为切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）不等式不等式 定定理理：设设随随机机变变量量X具具有有数数学学期期望望E（X）=， 方差方差D（X）=2，则对于任意正数，则对于任意正数，不等式，不等式 P|X-| 22 成立成立是概率论中的一个基本不等式是概率论中的一个基本不等式. 例例6解：解：由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式令令
