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1、第九章第九章 行波法与积分变换行波法与积分变换法法李莉李莉1n求解定解问题求解定解问题q分离变量法分离变量法求解有限区域内定解问题：解的区求解有限区域内定解问题：解的区域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示）干个只含有一个坐标变量的方程表示）q行波法行波法求解无界区域内波动方程的定解问题求解无界区域内波动方程的定解问题q积分变换法积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无不受方程类型的限制，主要用于无界区域，但对有界区域也能应用界区域，但对有界区域也能应用29.1 一维波动方程的一维波动方程的DAlember(达朗
2、达朗贝尔贝尔)公式公式n就一维波动方程建立通解公式就一维波动方程建立通解公式一维波动方程：一维波动方程：(6.1.1)作如下的变换：作如下的变换：(6.1.2)利用复合函数微分法则有：利用复合函数微分法则有：(9.1.3)(9.1.4)3(9.1.1)（9.1.1)化为：化为：（9.1.5）将式（将式（9.1.5）对）对 积分，得：积分，得： 再将此式对再将此式对 积分，得：积分，得： （9.1.6）其中其中 都是任意二次连续可微函数。都是任意二次连续可微函数。(9.1.3)(9.1.4)4（9.1.6）式（式（9.1.6）就是方程（）就是方程（9.1.1）的通解。）的通解。在具体问题中，我们
3、并不满足于求通解，还要确定函数在具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数 与与 的具体形式。的具体形式。为此，必须考虑定解条件。为此，必须考虑定解条件。下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。设弦的初始状态为已知。下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。设弦的初始状态为已知。（9.1.7）将式（将式（9.1.6）中的函数代入式（）中的函数代入式（9.1.7）中，得：）中，得：（9.1.8）（9.1.9）5（9.1.8）（9.1.9）式（式（9.1.9）两端对）两端对 积分一次，得：积分一次，得： （9.1.10）由式（由式（9.1.8）与式（）与式（9.1.10）解出）解出把确定出来的把确定出来
4、的 代回到式（代回到式（9.1.6）中，即得到方程（）中，即得到方程（9.1.1）在）在条件（条件（9.1.7）下的解：）下的解：（9.1.11）无限长弦自由振动的无限长弦自由振动的DAlembert（达朗贝尔）公式。（达朗贝尔）公式。6（9.1.11）DAlembert解的物理意义：解的物理意义：n先讨论初始条件只有初始位移情况下先讨论初始条件只有初始位移情况下DAlembert解的物理意义。解的物理意义。此时式（此时式（9.1.11）给出）给出先看第二项，设当先看第二项，设当t=0时，观察者在时，观察者在x=c处看到的波形为：处看到的波形为： 若观察者以速度若观察者以速度a沿沿x轴的正向运
5、动，则轴的正向运动，则t时刻在时刻在x=c+at处，他所看到处，他所看到的波形为：的波形为：由于由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波形，说明波形和观察者一样，以速度形，说明波形和观察者一样，以速度a沿沿x轴的正向传播。轴的正向传播。 7所以所以 代表以速度代表以速度a沿沿x轴的正向传播的波，称为轴的正向传播的波，称为正行正行波波。而第一项。而第一项 则代表以速度则代表以速度a沿沿x轴的负向传播的波，轴的负向传播的波，称为称为反行波反行波。正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦
6、的位移。n再讨论只有初速度的情况。此时式（再讨论只有初速度的情况。此时式（9.1.11）给出：）给出：设设 为为 的一个原函数，即的一个原函数，即则此时有则此时有由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的叠加（相减）给出弦的位移。叠加（相减）给出弦的位移。综上所述，综上所述，DAlembert解表示正行波和反行波的叠加解表示正行波和反行波的叠加。8n例例1 求解下列初值问题求解下列初值问题解：解： 本题中本题中直接应用直接应用DAlembert 公式，有：公式，有：9*9.2 三维波动方程的三维波动方程的Poisson公式公
7、式n三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题：三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题：这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直接利用接利用6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。10 9.2.1 三维波动方程的球对称解三维波动方程的球对称解n球对称：球对称：u与与 都无关。都无关。在球坐标系中，三维波动方程为：在球坐标系中，三维波动方程为：当当u不依赖于不依赖于 时，这个方程可简化为：时，这个方程可简化为：或写成或写成11这是关于这是关于ru的一维波动方程
8、，其通解为：的一维波动方程，其通解为：或或12 6.2.2 三维波动方程的三维波动方程的Possion公式公式n对于一般的非对称情况，我们不直接考虑函数对于一般的非对称情况，我们不直接考虑函数u本身，而本身，而是考虑是考虑u在以在以M(x,y,z)为球心、以为球心、以r为半径的球面上的平均为半径的球面上的平均值，则这个平均值当值，则这个平均值当x,y,z暂时固定之后就只与暂时固定之后就只与r,t有关了。有关了。这个平均值可以写成：这个平均值可以写成：其中其中 表示表示以点以点 为中心、以为中心、以r为半径的球面；为半径的球面；表示表示r=1的单位球面。的单位球面。13是球面是球面 上点的坐标，
9、上点的坐标， 是是 上的面积元素。上的面积元素。 是单位球面上的面是单位球面上的面积元素。积元素。在球坐标系中，在球坐标系中，显然有显然有由平均值由平均值 的定义和的定义和u的连续性可知，的连续性可知，14经过推导，可得经过推导，可得 满足的微分方程：满足的微分方程：这是一个关于这是一个关于 的一维波动方程，它的通解为：的一维波动方程，它的通解为： 其中其中 是两个二次连续可微的任意函数。是两个二次连续可微的任意函数。由初始条件定得：由初始条件定得：15于是于是将将 拓广到拓广到r0的范围内，并且使的范围内，并且使 。即即 是偶函数。是偶函数。同理，同理， 与与 也是偶函数。也是偶函数。 因此
10、，可将上式写成：因此，可将上式写成：16令令 利用利用LHospital（洛必塔）法则得到：（洛必塔）法则得到：或简记成或简记成上式称为三维波动方程的上式称为三维波动方程的Poisson公式。公式。17n例例2 求解定解问题求解定解问题解：这里解：这里将这些给定的初始条件代入到将这些给定的初始条件代入到Poisson公式并计算其中的积分，就可公式并计算其中的积分，就可以得到问题的解：以得到问题的解：189.3 Fourier积分变换法求定解问题积分变换法求定解问题所谓积分变换，就是把某函数类所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数中的函数f(x)经过某种可逆的积分运算经过某种可逆的积分运算变成另
11、一函数类变成另一函数类B中的函数中的函数F(p)。F(p)称为称为f(x)的像函数，而的像函数，而f(x)称为称为F(p)的像的像原原函数函数。k(x,p)是是x，p的已知函数，称为积分变换的核。在这种变换下，原来的的已知函数，称为积分变换的核。在这种变换下，原来的偏微分方程可以偏微分方程可以减少自变量的个数减少自变量的个数，直至变成常微分方程。，直至变成常微分方程。原来的常微分方程，可以变成代数方程，从而使在函数类原来的常微分方程，可以变成代数方程，从而使在函数类B中的运算简中的运算简化，找出在化，找出在B中的一个解，再经过逆变换，便得到原来要在中的一个解，再经过逆变换，便得到原来要在A中所
12、求的解。中所求的解。19 9.3.1 预备知识预备知识Fourier变换及性质变换及性质1.Fourier变换变换函数函数f(x)的的Fourier变换：变换：称为称为f(x)的像函数。的像函数。Fourier逆变换逆变换:f(x)称为称为 的像原函数。的像原函数。因此，当因此，当f(x)满足满足Fourier积分条件时，有积分条件时，有202.三维三维Fourier变换变换若记若记则三维则三维Fourier变换及反演公式分别：变换及反演公式分别：213.Fourier变换的性质变换的性质设设（1）线性性质线性性质为任意常数，则任意函数为任意常数，则任意函数 和和 有：有： （2）延迟性质延迟
13、性质为任意常数为任意常数22（3）位移性质位移性质 设设 为任意常数为任意常数（4）相似性质相似性质a为不为零的常数为不为零的常数（5）微分性质微分性质 若若 时，时，则则23（6）积分性质积分性质（7）卷积性质卷积性质卷积定义：卷积定义：已知函数已知函数 和和卷积定理为：卷积定理为：（8）象函数的卷积定理象函数的卷积定理24 9.3.2 Fourier变换法解定解问题变换法解定解问题n例例1 求解弦振动方程的初值问题求解弦振动方程的初值问题解：视解：视t为参数，将方程和相应的条件对为参数，将方程和相应的条件对x进行进行Fourier变换，并记变换，并记则则25这是带参数这是带参数 的常微分方
14、程的初值问题。的常微分方程的初值问题。解得：解得：再进行反演，得到原定解问题的解为：再进行反演，得到原定解问题的解为：26n例例2 求无界杆的热传导问题求无界杆的热传导问题解：对方程和定解条件两端关于解：对方程和定解条件两端关于x分别进行分别进行Fourier变换，并记变换，并记则：则：这是带参数这是带参数 关于变量关于变量t的常微分方程的初值问题，解得：的常微分方程的初值问题，解得：27应用反演公式，得原定解问题的解为：应用反演公式，得原定解问题的解为：再由卷积定理再由卷积定理而而28这里利用了积分公式这里利用了积分公式所以所以由此例看到，用由此例看到，用Fourier变换解方程时不必像分离
15、变量法那样区分齐次变换解方程时不必像分离变量法那样区分齐次方程和非齐次方程，都是按同样的步骤求解但是反演往往比较困难。方程和非齐次方程，都是按同样的步骤求解但是反演往往比较困难。 29 9.4 Laplace变换法解定解问题变换法解定解问题 9.4.1 Laplace变换及其性质变换及其性质1.Laplace变换变换定义：定义：逆变换（或称反演）：逆变换（或称反演）：302.Laplace变换的性质变换的性质（1）线性性质线性性质（2）延迟性质延迟性质其中其中（3）位移性质位移性质则则31若若 时，时，（4）相似性质相似性质则则（5）微分性质微分性质32（6）积分性质积分性质（7）卷积定理卷积
16、定理其中，定义其中，定义33 9.4.2 Laplace变换法变换法n例例1 求解半无界弦的振动问题求解半无界弦的振动问题解：对方程两边关于变量解：对方程两边关于变量t作作Laplace变换，并记：变换，并记：则则34代入初始条件，得：代入初始条件，得：再对边界条件关于变量再对边界条件关于变量t作作Laplace变换，并记：变换，并记：则有：则有：35上述常微分方程的通解：上述常微分方程的通解：代入到边界条件中，得：代入到边界条件中，得：故：故：由位移定理：由位移定理：所以：所以：36n例例2 求解长为求解长为l的均匀细杆的热传导问题的均匀细杆的热传导问题解：对方程和边界条件（关于变量解：对方
17、程和边界条件（关于变量t）进行）进行Laplace变换并考虑到初始变换并考虑到初始条件，则有：条件，则有：37其中方程的通解为：其中方程的通解为：由边界条件定由边界条件定 ，得：，得：38由变换公式由变换公式知知又有又有所以所以从上面的例题可以看出，用从上面的例题可以看出，用Laplace变换法求解定解问题时，无论方程与变换法求解定解问题时，无论方程与边界条件是齐次与否，都是采用相同的步骤。边界条件是齐次与否，都是采用相同的步骤。Laplace变换同样可以用来变换同样可以用来求解无界区域内的问题。求解无界区域内的问题。39n例例3 在传输线的一端输入电压信号在传输线的一端输入电压信号 ，初始条
18、件均为零，初始条件均为零，求解传输线上电压的变化求解传输线上电压的变化解：这是个半无界问题，定解条件如下：解：这是个半无界问题，定解条件如下：将方程和边界条件施以关于将方程和边界条件施以关于t的的Laplace变换，并考虑初始条件，得变换，并考虑初始条件，得到：到：40其中方程的通解为：其中方程的通解为：常数常数在实际问题中，一个很重要的情形在实际问题中，一个很重要的情形这时这时41其次，有自然条件其次，有自然条件取取 ，则：，则：再由边界条件得：再由边界条件得：通过反演通过反演 ，由延迟定理得：，由延迟定理得：42总结总结n积分变换方法不仅能求解无界问题，而且也能积分变换方法不仅能求解无界问
19、题，而且也能够用来求解有界问题，应用是相当广泛的。够用来求解有界问题，应用是相当广泛的。n求解的步骤求解的步骤q第一步，将方程和定解条件对指定变量进行积分变第一步，将方程和定解条件对指定变量进行积分变换；得到象空间的代数方程或常微分方程的边值问换；得到象空间的代数方程或常微分方程的边值问题或初值问题；题或初值问题；q第二步，求解象空间的代数方程或常微分方程的初第二步，求解象空间的代数方程或常微分方程的初值或边值问题，得到象空间中的解；值或边值问题，得到象空间中的解；q第三步，对像空间中的解进行反演，得到原象空间第三步，对像空间中的解进行反演，得到原象空间中的解。中的解。43n求积分变换的反演：求积分变换的反演：q（1）直接查表，常见函数的）直接查表，常见函数的Fourier和和Laplace等等积分变换和反变换已有列表；积分变换和反变换已有列表；q（2）利用积分变换的性质，象上面的例题那样求）利用积分变换的性质，象上面的例题那样求出象函数的反演；出象函数的反演；q（3）利用复变函数积分的性质和留数定理等知识，）利用复变函数积分的性质和留数定理等知识，计算反演中的无穷积分；计算反演中的无穷积分；q（4）数值反演，利用数值积分方法计算反演中的）数值反演，利用数值积分方法计算反演中的无穷积分，有时也能得到精确度很高的结果。无穷积分，有时也能得到精确度很高的结果。44
