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1、人教人教A A版高中数学必修四第一章版高中数学必修四第一章 1.6 1.6 三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用 学习目标学习目标1.1.通过对三角函数模型的简单应用的学习，通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；使学生初步学会由图象求解析式的方法；2.2.根据解析式作出图象并研究性质；根据解析式作出图象并研究性质；3.3.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；过程；4.4.体会三角函数是描述周期变化现象的重要体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型函数模型创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题在我们现实生活中有
2、很多现象在进行周而复始地变在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用就来探讨三角函数模型的简单应用. .正弦型函数正弦型函数1 1、物理情景、物理情景简谐运动简谐运动星体的环绕运动星体的环绕运动2 2、地理情景、地理情景 气温变化规律气温变化规律月圆与月缺月圆与月缺3 3、心理、
3、生理现象、心理、生理现象 情绪的波动情绪的波动智力变化状况智力变化状况体力变化状况体力变化状况4 4、日常生活现象、日常生活现象 涨潮与退潮涨潮与退潮股票变化股票变化互动交流互动交流 研讨新知研讨新知1.根据根据图象建立三角函数关系：象建立三角函数关系：例例1 1 如图，某地一天从如图，某地一天从6 61414时时的温度变化曲线近似满足函数的温度变化曲线近似满足函数: :T/102030ot/h6 10 14思考思考1 1：这一天这一天6 61414时的最大温差是多少？时的最大温差是多少？思考思考2 2：函数式中函数式中A A、b b的值分别是多少？的值分别是多少？3030-10-10=20=
4、20A=10,b=20.A=10,b=20.思考思考3 3：如何确定函数式中如何确定函数式中 和和 的值的值? ?思考思考4 4：这段曲线对应的函数是什么？这段曲线对应的函数是什么？思考思考5 5：这一天这一天1212时的温度大概是多少（时的温度大概是多少（）？）？ 27.07. 27.07. 一般的，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时刻一般的，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围. .方法小结：方法小结：2.根据解析式模型建立根据解析式模型建立图象模型象模型例例2 2 画出函数画出函数y
5、y|sin|sinx x| |的图象并观察其周期的图象并观察其周期. .y y|sinx|sinx|x xy y解：函数图象如图所示解：函数图象如图所示从图中可以看出，函数从图中可以看出，函数 是以是以为周期的波浪形为周期的波浪形曲线曲线. .由于由于所以，函数所以，函数 是以是以为周期的函数为周期的函数. .我们也可以这样进行验证：我们也可以这样进行验证： 利用函数图象的直观性利用函数图象的直观性, ,通过观察图象而获得对函数通过观察图象而获得对函数性质的认识性质的认识, ,这是研究数学问题的常用方法这是研究数学问题的常用方法. . 如图，设地球表面某地如图，设地球表面某地纬度值为纬度值为
6、，正午太阳，正午太阳高度角为高度角为，此时太阳，此时太阳直射纬度为直射纬度为 ，那么，那么这三个量之间的关系是这三个量之间的关系是 。当地夏半年。当地夏半年取正值，取正值，冬半年冬半年取负值。取负值。太阳太阳光光地心地心北半球北半球南半球南半球太阳高度角的定义太阳高度角的定义分析：分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南，北回归线之间的地带南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知画出图形如下，由画图易知A B CH 如果在北京地区（纬度数约为北纬如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一幢高为）的一幢高为H的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的
7、太阳全年不被的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于多少？前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于多少？例例3 3 如如图，设地球表面某地正午太阳高度角地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此此时太阳直射太阳直射纬度，度， 为该地的地的纬度度值，那么，那么这三个量之三个量之间的的关系是关系是 9090 | | |. |.当地夏半年当地夏半年 取正取正值，冬半年，冬半年 取取负值. .太阳光太阳光3.将将实际问题抽象抽象为与三角函数有关的函数模型与三角函数有关的函数模型解：如图，解：如图，A A、B B、C C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回分别为太阳直射北
8、回归线、赤道、南回归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为况考虑，此时的太阳直射纬度为-23-232626，依题意两楼的间，依题意两楼的间距应不小于距应不小于MC.MC.根据太阳高度角的定义，有根据太阳高度角的定义，有C=90C=90-|40-|40-(-23-(-2326)|=2626)|=263434所以，所以， 即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于
9、楼高两倍的间距楼高两倍的间距. .将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚: :理解题意理解题意建立三角建立三角函数模型函数模型求解求解还原解答还原解答例例4 4 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐潮汐，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. .在通常情况下，船在在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：时刻时
10、刻水深水深（米）（米）时刻时刻水深水深（米）（米）时刻时刻水深水深（米）（米）0:000:005.05.09:009:002.52.518:0018:005.05.03:003:007.57.512:0012:005.05.021:0021:002.52.56:006:005.05.015:0015:007.57.524:0024:005.05.0（1 1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值数关系，并给出整点时的水深的近似数值. .（精确到（精确到0.0010.001）（2 2）一条货船的吃水深度（
11、船底与水面的距离）为）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 4米，安米，安全条例规定至少要有全条例规定至少要有1.51.5米的安全间隙（船底与洋底的距离）米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3 3）若某船的吃水深度为）若某船的吃水深度为4 4米，安全间隙为米，安全间隙为1.51.5米，该船在米，该船在2:002:00开始卸货，吃水深度以每小时开始卸货，吃水深度以每小时0.30.3米的速度减少，那么米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？根据图
12、象，可以考虑用函数根据图象，可以考虑用函数来刻画水深与时间之间的对应关系来刻画水深与时间之间的对应关系. .从数据和图象可以得出：从数据和图象可以得出：解：解：（1 1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图系中画出散点图. .A=2.5,h=5,T=12, =0;A=2.5,h=5,T=12, =0;由由 ，得，得所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：时时刻刻0.00.00 01:01:00 0
13、2:02:00 03:03:00 04:04:00 05:05:00 06:06:00 07:07:00 08:08:00 09:09:00 010:10:000011:011:00 0水水深深5.05.000006.26.250507.17.165657.57.500007.17.165656.26.250505.05.000003.73.754542.82.835352.52.500002.82.835353.753.754 4时时刻刻12.12.000013:13:000014:14:000015:15:000016:16:000017:17:000018:18:000019:19:00
14、0020:20:000021:21:000022:22:000023:023:00 0水水深深5.05.000006.26.250507.17.165657.57.500007.17.165656.26.250505.05.000003.73.754542.82.835352.52.500002.82.835353.753.754 4（2 2）货船需要的安全水深为）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 4+1.5=5.5 （米），所以（米），所以当当y5.5y5.5时就可以进港时就可以进港. .令令化简得化简得由计算器计算可得由计算器计算可得x x x x3 36 69 91212 151
15、5 1818 21212424O Oy y2 24 46 6A AB BC CD D解得解得因为因为 ，所以有函数周期性易得，所以有函数周期性易得 因此，货船可以在凌晨零时因此，货船可以在凌晨零时3030分左右进港，早晨分左右进港，早晨5 5时时3030分左右出港；或在中午分左右出港；或在中午1212时时3030分左右进港，下午分左右进港，下午1717时时3030分左右出港，每次可以在港口停留分左右出港，每次可以在港口停留5 5小时左右小时左右. .（3 3）设在时刻）设在时刻x x船舶的安全水深为船舶的安全水深为y y，那么，那么y=5.5-0.3(x-y=5.5-0.3(x-2) (x2)
16、,2) (x2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在以看到在6 67 7时之间两个函数图象有一个交点时之间两个函数图象有一个交点. . 通过计算可得，在通过计算可得，在6 6时的水深约为时的水深约为5 5米，此时船舶的安米，此时船舶的安全水深约为全水深约为4.34.3米；米；6.56.5时的水深约为时的水深约为4.24.2米，此时船舶的安米，此时船舶的安全水深约为全水深约为4.14.1米；米；7 7时的水深约为时的水深约为3.83.8米，而船舶的安全水米，而船舶的安全水深约为深约为4 4米，因此为了安全，船舶最好在米，因此为了安全，船舶最好在6
17、.56.5时之前停止卸时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域货，将船舶驶向较深的水域. .巩固深化，反馈矫正巩固深化，反馈矫正 1.1.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O O的距离的距离s cms cm和时间和时间t st s的函数关系式为的函数关系式为:s=6sin(2t+ ),:s=6sin(2t+ ),那么单摆来回摆动一次所需的时间为（那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）(A)2 s (B) s(A)2 s (B) s(C)0.5 s (D)1 s(C)0.5 s (D)1 sD D2.2.已知某海滨浴场的海浪高度已知某海滨浴场的海浪高度y(y(米
18、米) )是时间是时间t t（其中（其中0t 0t 2424，单位：小时）的函数，记作，单位：小时）的函数，记作y=f(t)y=f(t)，下表是某日各，下表是某日各时的浪高数据：时的浪高数据： 经长期观测经长期观测,y=f(t),y=f(t)的曲线可近似地看成是函数的曲线可近似地看成是函数y=Acost+by=Acost+b，根据以上数据，函数的解析式为，根据以上数据，函数的解析式为_._.3.3.若函数若函数f(x)=sinx+2|sinx|f(x)=sinx+2|sinx|， xx0,20,2的图象与直的图象与直线线y=ky=k有且只有两个不同的交点，则有且只有两个不同的交点，则k k的取值
19、范围是的取值范围是_._.【解析解析】f(x)f(x)其图象如图所示，若有两个交点，则其图象如图所示，若有两个交点，则1 1k k3 3答案：答案：1 1k k3 3归纳整理，整体认识归纳整理，整体认识解决实际问题的步聚解决实际问题的步聚:实际问题实际问题读读懂懂问问题题抽抽象象慨慨括括数学建模数学建模推推理理演演算算数学模型的解数学模型的解还还原原说说明明实际问题的解实际问题的解读懂概念丶字母读懂概念丶字母读出相关制约读出相关制约.在抽象、简化、明确变量和在抽象、简化、明确变量和参数的基础上建立一个明确参数的基础上建立一个明确的数学关系的数学关系. 审题审题 关键关键实际问题实际问题函数模型函数模型函数拟合函数拟合“散点图散点图”数据数据解决解决布置作业：布置作业：P65 习题习题1.6 A组组 第第1、2、3、题、题
