《用MATLAB求解微分方程及微分方程组.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《用MATLAB求解微分方程及微分方程组.ppt(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1. 微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程(组)的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始条件初始条件, 自变量自变量) 运行结果:u = tan(t-c)用用MATLAB求解微分方程求解微分方程解解 输入命令:dsolve(Du=1+u2,t) 解解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)运行结果为 : y =3e-2xsin(5x)解解 输入命令 : x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t); x=simple(
2、x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z)运行结果为:x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 2. 用用Matlab求常微分方程的数值解求常微分方程的数值解t,x=solver(f,ts,x0,options)ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=t0,tf,t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23:组合的2/3阶龙格-库塔-
3、芬尔格算法ode45:运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6),命令为:options=odeset(reltol,rt,abstol,at), rt,at:分别为设定的相对误差和绝对误差. 1、在解n个未知函数的方程组时,x0和x均为n维向量,m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时,高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意注意:解解: 令 y1=x,y2=y11、建立m-文件vdp1000.m如下: function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros
4、(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0,tf=3000,输入命令: T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3、结果如图解解 1、建立m-文件rigid.m如下: function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0,tf=12,输入命令: T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,
5、Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、结果如图图中,y1的图形为实线,y2的图形为“*”线,y3的图形为“+”线.导弹追踪问题导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹,导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶,导弹的速度是5v0,求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时,导弹将它击中?解法一解法一(解析法)由(1),(2)消去t整理得模型:解法二解法二(数值解)1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=
6、1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2. 取x0=0,xf=0.9999,建立主程序ff6.m如下: x0=0,xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,b*) 结论结论: 导弹大致在(导弹大致在(1,0.2)处击中乙舰)处击中乙舰令y1=y,y2=y1,将方程(3)化为一阶微分方程组。解法三解法三(建立参数方程求数值解) 设时刻t乙舰的坐标为(X(t),Y(t),导弹的坐标为(x(t),y(t).3因乙舰以速度v0沿直线x=1运动,设v0=1,则w=5,
7、X=1,Y=t4. 解导弹运动轨迹的参数方程建立m-文件eq2.m如下: function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); 取t0=0,tf=2,建立主程序chase2.m如下: t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:0.01:2; plot(1,Y,-), hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)轨迹图如下例:例: 饮酒模型饮酒模型模型1:快速饮酒后,胃中酒精含量的变化率模型2
8、:快速饮酒后,体液中酒精含量的变化率即用Matlab求解模型2:syms x y k1 k2 M tx=dsolve(Dx+k2*x=k1*M*exp(-k1*t),x(0)=0,t)运行结果:M*k1/(-k1+k2)*exp(-k2*t+t*(-k1+k2)-exp(-k2*t)*M*k1/(-k1+k2)即:用以下一组数据拟合上述模型中的参数k1、k2:时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774M=64000/49
9、0 =130.6122 (毫克百毫升) 建立函数文件:function f=curvefun1(k,t)f=k(1)*64000/490*(exp(-k(2)*t)-exp(-k(1)*t)/(k(1)-k(2) 输入拟合数据: t=0 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16; c=0 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4;任取k1、k2的一组初始值:k0=2,1;输入命令:k=lsqcurvefit(curvefun1,k0,t,c) 运行结果为: k = 1.3240 0.2573作图表示求解结果:t1=0:0.1:18;f=curvefun1(k,t1);plot(t,c,ko,t1,f,r-)模型2:慢速饮酒时,体液中酒精含量的变化率则有;其中M为饮酒的总量,T为饮酒的时间