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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布二、分布函数的概念二、分布函数的概念一、随机变量的概念一、随机变量的概念三、例题讲解三、例题讲解第第2.12.1节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 一、随机变量一、随机变量例例1 掷一枚骰子，观察其点数。掷一枚骰子，观察其点数。样本空间样本空间 =1，2，3，4，5，6 例例2 记录某交换台早上记录某交换台早上8点到点到9点接到的呼叫次数点接到的呼叫次数样本空间样本空间 =0，1，2，3， 例例3 抛一枚硬币抛一枚硬币,观察正面观察正面H,反面反面T出现的情况出现的情况:样本空间样本空间 =H, T 以上例子中，样本空间的类型各不相同，例以上例
2、子中，样本空间的类型各不相同，例1，2是数是数值型的，例值型的，例3是代码型的。但是我们可以通过引入定义在是代码型的。但是我们可以通过引入定义在样本空间上的函数，使它数值化。样本空间上的函数，使它数值化。例例3引入一个定义在引入一个定义在 上的函数上的函数 X : 由于试验结果的出现是随机的由于试验结果的出现是随机的,因此因此X( )的取值也是随机的的取值也是随机的 例例1，令，令X=X(i)=i(i=1,2,6),则则X就可以表示就可以表示实验结果实验结果例例2，令，令Y=Y(i)=i(i=0,1,2,),则则Y就可以表示就可以表示实验结果实验结果例例4 从包含两件次品从包含两件次品(a1,
3、a2)和三件正品和三件正品(b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件的五件产品中任意取出两件: 以以X表示抽取的两件产品中包含的表示抽取的两件产品中包含的次品个数次品个数,则则X是定义在是定义在 上的一个函数上的一个函数样本空间为样本空间为:即即 X=X( ), =a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1, a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b3具体写出这个函数如下具体写出这个函数如下: X取什么值依赖于试验结果取什么值依赖于试验结果,即即X的的取值带有随机性取值带有随机性R 设设E是随机试验是随机试验, 是其样本空间是其样本空间,如果对每个如果对每个
4、,总有唯一的一个实数总有唯一的一个实数X( )与之对应与之对应, 则称则称X( )为定义在为定义在 上上的一个的一个随机变量随机变量 定义定义:随机变量随机变量常用常用X、Y 或或 、 等表示等表示 X()随机变量随机变量 是上的映射, 此映射具有如下特点 定义域定义域 样本空间样本空间 随机性随机性 随机变量随机变量 X 的可能取值不止的可能取值不止一个一个, 试验前只能预知它的可能的取值，试验前只能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值但不能预知取哪个值 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某个值以一定的概率取某个值 定义了随机变量后定义了随机变量后,就可以用随机就可以用随机变量的取值情况
5、来变量的取值情况来刻划随机事件刻划随机事件在例在例4中中,事件事件“取出的两件产品中没有取出的两件产品中没有 次品次品” 用用X=0表示表示 且概率为且概率为: PX=0=0.3 事件事件“取出的两件产品中至少有一件次取出的两件产品中至少有一件次 品品” 用用X1表示表示 且概率为且概率为: PX1=0.7 1.分布函数的定义分布函数的定义2.2设设 X 是一个是一个 随机变量，称随机变量，称为为 X 的分布函数的分布函数. 记作记作 X F(x) 或或 FX(x). 如果将如果将X看作数轴上随机点的坐标看作数轴上随机点的坐标,则分布则分布函数函数F(x)的值就表示的值就表示X落在区间落在区间
6、(- , x的概率的概率. |x二、分布函数的概念 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，随机点落，随机点落在区间（在区间（ x1 , x2 的概率为：的概率为：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函的分布函数，数， 它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述.说明说明(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况的概率情况.(2) 分布函数是一个函数，正是通过它，我们可以分布函数是一个函数，正是通过它，我们可
7、以用高等数学的工具来研究用高等数学的工具来研究 随机变量随机变量.证明证明2.分布函数的性质分布函数的性质(单调不减性单调不减性)即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续. 反过来反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量某个随机变量 X 的分布函数的分布函数. 也就是说，性质也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件分必要条件.重要公式重要公式证明证明例例2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘米的圆盘,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率
8、与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解于是于是故故 X 的分布函数为的分布函数为其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线一一、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律二二、常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布2.2 离散型随机变量及其分布律1.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限多个无限多个(可列个可列个), 叫做离散
9、型随机变量叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是 :随机变量随机变量连续型连续型实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, 则则 X 的可能值是的可能值是: 实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, 则则 X 的所有可能取值为的所有可能取
10、值为:实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测误差测量某零件尺寸时的测误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) 内的任一值内的任一值.实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.(2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为 说明说明 一、离散型随机变量的分布律定义定义离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为或或 F( x) 是分段阶梯函数是分段阶梯函数, 在在 X 的可能取的可能取值
11、值 xk 处发生间断处发生间断, 间断点为第一类跳跃间间断点为第一类跳跃间断点断点,在间断点处有跃度在间断点处有跃度 pk .离散随机变量的分布函数其中 . 例例1 设袋中有设袋中有3个红球个红球,2个绿球个绿球,连续不连续不返回地从袋中取球返回地从袋中取球, 直到取到红球为止直到取到红球为止.设此时取出了设此时取出了X个绿球个绿球.试求试求:(1) X的分布律的分布律 (2) X的分布函数的分布函数 F(x)(3) 解解:(1) X可能的取值为可能的取值为0, 1, 2 且且 故故X的分布律为的分布律为:X 0 1 2P 0.6 0.3 0.1(2) 当当x0时时,Xx为不可能事件为不可能事
12、件 得得: F(x)=PXx=0 当当0x1时时,得得: F(x)=PXx=PX=0=0.6 Xx=X=0x 012Xx012X当当1x2时时,又又X=0与与X=1互不相容互不相容得得: F(x)=PXx=PX=0+PX=1 =0.6+0.3=0.9Xx=X=0X=1x012X当当x2时时, Xx为必然事件为必然事件 x012X0.90 1 2 x得得: F(x)=PXx=1 注注: 左闭右开左闭右开10.6(3) =0.3+F(2) F(1)=0.3+1 0.9=0.4P(1X2)=P(X=11X2)=P(X=1)+P(1X2)二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只可
13、能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的分它的分布律为布律为2.两点分布两点分布1.退化分布退化分布若随机变量若随机变量X取常数值取常数值C的概率为的概率为1,即即则称则称X服从服从退化分布退化分布.实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情况观察正、反两面情况. 随机变量随机变量 X 服从服从 (0-1) 分布分布.其分布律为其分布律为则称则称 X 服从服从 (0-1) 分布分布或或两点分布两点分布.记为记为Xb(1,p) 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴
14、儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明3.均匀分布均匀分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为实例实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,则有则有4.二项分布二项分布若若X的分布律为：的分布律为：称随机变量称随机变量X X服从参数为服从参数为n,pn,p的的二项分布二项分布。记为记为 , ,其中其中q q1 1p p二项分布二项分布两点分布两点分布分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大, 且抽查元件的数量相对于元件的总
15、数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例例2解解图示概率分布图示概率分布二项分布中最可能出现次数的定义与推导二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称 为最可能出现的次数 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p 1 处的概率取得最大值对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布趋于对称 当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值例例3 3 独立射击500
16、0次, 命中率为0.001,解解 (1) k = ( n + 1)p = ( 5000+ 1)0.001 =5求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；(2) 命中次数不少于1 次的概率. (2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001) 小概率事件虽不易发生，但重小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件复次数多了，就成大概率事件.泊松定理泊松定理证 记解解 令X 表示命中次数, 则 令 此结果也可直接查 附表2 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万万分之一.利用利用Poisson定理再求例例3 (2) X B( 5000,0.001 )5
17、. 泊松分布泊松分布 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中事业的排队等问题中 , , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的. .例如地例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数、震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数、交通事故次数、商场接待的顾客数等交通事故次数、商场接待的顾客数等, , 都服从泊松都服从泊松分布分布. .二项分布二项分布 泊松分泊松分布布n很大很大, p 很小很小上面我们提到上面我们提到 设设6000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算所求概率
18、为所求概率为解解例例4 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0. 001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有6000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?1 1 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人 (工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生配备少了又要影响生产产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的
19、,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于0.01?解解所需解决的问题所需解决的问题使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题由泊松定理得由泊松定理得故有故有即即个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备82 2 (人寿保险问题人
20、寿保险问题)在保险公司里在保险公司里 有有2500个同年龄个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每在每一年里每个人死亡的概率为个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在每个参加保险的人在1月月1日付日付12元保险费元保险费,而在死亡时而在死亡时,家属可在公司里领家属可在公司里领取取2000元元.问问 (1)保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少保险公司获利不少于一万元的概率是多少? 保险公司在保险公司在1月月1日的收入是日的收入是 2500 12=30000元元解解 设设X表示这一年内的死亡人数
21、表示这一年内的死亡人数,则则保险公司这一年里付出保险公司这一年里付出2000X元元.假定假定 2000X 30000,即即X 15人时公司亏本人时公司亏本.于是于是,P公司亏本公司亏本=P X 15=1-PX 14由泊松定理得由泊松定理得P公司亏本公司亏本(2) 获利不少于一万元获利不少于一万元,即即 30000 -2000X 10000即即X 10P获利不少于一万元获利不少于一万元=PX 106. 几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从服从几何分布几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有对该批产品做有放回的抽样检查放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品那么所抽到的产品数目数目 X 是一个随机变量是一个随机变量 , 求求X 的分布律的分布律.所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “ “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解解离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布三、小结退化分布退化分布
