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1、第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度亥姆霍兹定理电磁场的特殊形式第0章 矢量分析下 页返 回Vector Analysis第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 场场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。例如，在直角坐标下：0.1 标量场和矢量场标量场矢量场如温度场、电位场、高度场等；如流速场、电场、涡流场等。Scalar Field and Vector Field下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析其方程为:图0.1.1 等高线(1) 标量场-等值线(面)形象描绘场分布的工
2、具场线下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析三维场二维场图0.1.2 矢量线(2) 矢量场-矢量线其方程为：在直角坐标下：下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.2 标量场的梯度 Gradient of Scalar Field 设一个标量函数 (x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向 的方向导数为设 式中 , , 分别是任一方向 与 x, y, z 轴的夹角则有： 当 最大下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析梯度(gradient)哈密顿算子式中图0.1.3 等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的大
3、小为该点标量函数 的最大变化率，即最大方向导数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的意义下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.2.1 三维高度场的梯度图0.2.1 三维高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.2.2 电位场的梯度图0.2.2 电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3 矢量场的通量与散度0.3.1 通量 (
4、Flux ) 矢量E 沿有向曲面 S 的面积分若 S 为闭合曲面 根据通量的大小判断闭合面中源的性质：Flux and Divergence of Vector 0 (有正源) 0 (有负源) = 0 (无源)图0.3.2 矢量场通量的性质 下 页上 页返 回图0.3.1 矢量场的通量 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3.2 散度 ( Divergence ) 如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任意方式缩小到点 P 时,通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场 A A 在P点的散度：散度 (divergence)下 页上 页返 回（证明见教材326页）第第 零零 章章
5、矢矢 量量 分分 析析散度的意义 在矢量场中，若A = 0，称之为有源场， 称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 A = 0 ，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。 (无源） (正源) (负源)图0.3.3 通量的物理意义 下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem )图0.3.4 散度定理 通量元密度 高斯公式矢量函数的面积分与体积分的相互转换。下 页上 页返 回n1=-n2n1n2第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4 矢量场的环量与旋度0.4.1
6、环量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空间有向闭合曲线 L 的线积分环量 环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。Circulation and Rotation of Vector Field下 页上 页返 回图0.4.1 环量的计算第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析水流沿平行于水管轴线方向流动，= 0，无涡旋运动。例：流速场图0.4.2 流速场流体做涡旋运动， 0，有产生涡旋的源。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4.2 旋度 ( Rotation )1. 环量密度 过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为 L，面的法线方向与曲线
7、绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限环量密度环量密度是单位面积上的环量。下 页上 页返 回 环流的计算 该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有关。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2. 旋度 旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向旋度(curl) S 的法线方向它与环量密度的关系为在直角坐标下:下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3. 旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡
8、旋源）。若矢量场处处 A= 0 ，称之为无旋场。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析4. 斯托克斯定理 ( Stockes Theorem )矢量函数的线积分与面积分的相互转化。斯托克斯定理下 页上 页 在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是两个非常重要的公式。返 回图图 0.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 0.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件（矢量 A 惟一地确定）电荷密度电流密度J 场域边界条件在电磁场中Hymh
9、erze Theorem下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.5.1 试判断下列各图中矢量场的性质。000000下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.6 特殊形式的电磁场 如果在经过某一轴线( 设为 z 轴）的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F= f（x，y），则称这个场为平行平面场。1. 平行平面场Special Forms of Electromagnetic Field如无限长直导线产生的电场。下 页上 页返 回0第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 如果在经过某一轴线 ( 设为 z 轴 )的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f（r,），则称这个场为轴对称场。2. 轴对称场 如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带电导线产生的电场。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3. 球面对称场 如果在一族同心球面上（设球心在原点），场 F 的分布都相同 ，即 F= f（r），则称这个场为球面对称场。 如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。上 页0返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析一维拉普拉斯方程：直角坐标系：圆柱坐标系：平行板电容器圆柱、同轴电缆第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析球坐标系：球体扇形平面的电容器
