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1、命题与证明命题与证明本课内容本节内容2.2执教人：何澧洪执教人：何澧洪 前面我们学习了许多有关三角形的概念前面我们学习了许多有关三角形的概念 （如三角形、等腰三角形、等边三角形以如三角形、等腰三角形、等边三角形以及三角形的高、中线、角平分线等及三角形的高、中线、角平分线等）什么叫做什么叫做角平分线角平分线？ 把一个角平均分成两个相等的角的射线叫做角平分线。一、回顾知识一、回顾知识什么叫做什么叫做三角形的角平分线三角形的角平分线？ 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。注意：前者是射线，后者是线段ABCm 像这样，对一个概念的含义加以描述
2、说明或像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的作出明确规定的语句叫作这个概念的定义定义. 例如：例如： “同一平面内没有公共点的两条直线叫作平同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线行线”是是“平行线平行线”的定义的定义.说出下列概念的定义：说出下列概念的定义：（1）方程；方程； 说一说说一说 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分母中含有未知数的方程叫做分式方程。我们把含有未知数的等式叫做方程我们把含有未知数的等式叫做方程.（2）分式方程；分式方程； 在现实生活中，我们经常要对一件事在现实生活中，我们经常要对一件事情作出判断情作出判断. 数学中同样有许多问题需要
3、我们作出数学中同样有许多问题需要我们作出判断判断.下列叙述事情的语句中，哪些是对事情作出了判断下列叙述事情的语句中，哪些是对事情作出了判断？议一议议一议（1）三角形的内角和等于三角形的内角和等于180；（2）如果如果| a | = 3，那么那么a = 3；（3）1月份有月份有31天；天； （4）作一条线段等于已知线段；作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗一个锐角与一个钝角互补吗？ 一般地，对某一件事情作出判断的语句一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句陈述句）叫作叫作命题命题. 例如，上述语句例如，上述语句（1），（），（2），（），（3）都是都是命题；命题； 语句语句（
4、4），（），（5）没有对事情作出判断，没有对事情作出判断，就不是命题就不是命题. （1）三角形的内角和等于三角形的内角和等于180；（2）如果如果| a | = 3，那么那么a = 3；（3）1月份有月份有31天；天； （4）作一条线段等于已知线段；作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗一个锐角与一个钝角互补吗？ 注意：1.只要对一件事情做出了判断，不管正确与只要对一件事情做出了判断，不管正确与否，都是命题。否，都是命题。 如：相等的角是对顶角。2.如果一个句子没有对某一件事情做出任何如果一个句子没有对某一件事情做出任何判断，那么它就不是命题。判断，那么它就不是命题。 如：画线
5、段AB=a观察观察下列命题的表述形式有什么共同点下列命题的表述形式有什么共同点？（1）如果如果a = b且且b = c，那么，那么a = c；（2）如果两个角的和等于如果两个角的和等于90，那么这两个角，那么这两个角 互为余角互为余角. 它们的表述形式都是它们的表述形式都是“如果如果，那么，那么”. . 命题通常写成命题通常写成“如果如果，那么，那么”的形式，的形式，其中其中“如果如果”引出的部分就是引出的部分就是条件条件，“那么那么”引出引出的部分就是的部分就是结论结论. 例如，对于上述命题例如，对于上述命题（2）， “两个角的和等于两个角的和等于90”就是条件，就是条件， “这两个角互为余
6、角这两个角互为余角”就是结论就是结论.（2）如果两个角的和等于如果两个角的和等于90，那么，那么这两个角互为余角这两个角互为余角. 有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词词“如果如果”、“那么那么”. 如如：“如果两个角是对顶角，那么这两个角如果两个角是对顶角，那么这两个角相等相等”可以简写成可以简写成“对顶角相等对顶角相等”； “如果两个角是同一个角的余角，那么这两如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等个角相等” 可以简写成可以简写成“同角的余角相等同角的余角相等”. .做一做做一做（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成指出下列命题的条件和结论
7、，并改写成 “如果如果，那么，那么”的形式：的形式：命题命题条件条件结论结论能被能被2整除的数整除的数 是偶数是偶数.有公共顶点的两有公共顶点的两 个角是对顶角个角是对顶角.两直线平行，同两直线平行，同 位角相等位角相等.同位角相等，两同位角相等，两 直线平行直线平行.那么这个数是偶数那么这个数是偶数如果一个数能被如果一个数能被2整除整除那么这两个角是对顶角那么这两个角是对顶角如果两个角有公共顶点如果两个角有公共顶点那么它们的同位角相等那么它们的同位角相等如果两条直线平行如果两条直线平行那么这两条直线平行那么这两条直线平行如果两个同位角相等如果两个同位角相等（2）上述命题上述命题与与的条件与结
8、论之间有什么联系的条件与结论之间有什么联系？两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等.同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行. 命题命题与与的条件的条件与结论互换了位置与结论互换了位置. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为样的两个命题称为互逆命题互逆命题，其中一个叫作，其中一个叫作原原命题命题，另一个叫作，另一个叫作逆命题逆命题. 例如，上述命题例如，上述命题与与就是互逆命题就是互逆命题.两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等.同位角相等，两直线
9、平行同位角相等，两直线平行. 从上我们可以看出，只要将一个命题的条从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题个命题都有逆命题.练习练习1. 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？（2）两点之间线段最短；两点之间线段最短；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？（1）如果如果x=3，求，求 的值；的值；不是命题不是命题是命题是命题不是命题不是命题是命
10、题是命题2. 将下列命题改写成将下列命题改写成“如果如果，那么，那么” 的形式的形式.（1）两条直线相交，只有一个交点；两条直线相交，只有一个交点；（2）个位数字是个位数字是5的整数一定能被的整数一定能被5整除；整除；答：如果两条直线相交，那么这两条直线答：如果两条直线相交，那么这两条直线 只有一个交点只有一个交点.答：如果一个整数的个位数字是答：如果一个整数的个位数字是5，那么这，那么这 个数一定能被个数一定能被5整除整除.（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角三角形的一个外角大于它的任何一个内角.（3）互为相反数的两个数之和等于互为相反数的两个数之和等于0；答：如果两个数是互为相反数，
11、那么这答：如果两个数是互为相反数，那么这 两个数之和等于两个数之和等于0.答：如果某答：如果某角是角是三角形的外角，那么这个三角形的外角，那么这个角大于它的任何一个内角角大于它的任何一个内角.3. 写出下列命题的逆命题：写出下列命题的逆命题：（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；若两数相等，则它们的绝对值也相等；（2）如果如果m是整数，那么它也是有理数；是整数，那么它也是有理数；（3）两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；（4）两边相等的三角形是等腰三角形两边相等的三角形是等腰三角形.答：绝对值相等的两个数相等答：绝对值相等的两个数相等答：如果答：如果m是有理数，那么它也是整数是有理数，那么它也是整数答：内错角相等，两直线平行答：内错角相等，两直线平行答：等腰三角形的两边相等答：等腰三角形的两边相等
