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1、内装订线外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_人教版2024-2025学年度第一学期第一次月考测试卷高三 数学（满分：150分 时间：120分钟）题号一二三四总分分数一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一-项是符合题目要求的.1. 已知集合,则( )A B. C. D. 2. 若复数z满足,则( )A. B.1C.D. 23. 已知两条不同的直线,和平面满足,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 甲单位有3名男性志愿者,2名女性志愿者;乙单位有4名男性志愿者,1名女性志愿者,从
2、两个单位任抽一个单位,然后从所抽到的单位中任取2名志愿者,则取到两名男性志愿者的概率为( )A. B. C. D. 5. 已知,则( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 在数列中,如果存在非零的常数T,使得对于任意正整数n均成立,那么就称数列为周期数列,其中T叫做数列的周期.已知数列满足,若,(且),当数列的周期为3时,则数列的前2024项的和为( )A. 676B. 675C. 1350D. 13497. 设,分别是双曲线左、右焦点,为坐标原点,过左焦点作直线与圆切于点E,与双曲线右支交于点P,且满足,则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2D. 8. 已知,则( )A. B. C
3、D. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知函数的图像为曲线C,下列说法正确的有( )A. ,都有两个极值点B. ,都有零点C. ,曲线C都有对称中心D. ,使得曲线C有对称轴10. 如图,正方体的棱长为2,若点M在线段上运动,则下列结论正确的是( ) A. 直线平面B. 三棱锥与三棱锥的体积之和为C. 的周长的最小值为D. 当点M是的中点时,CM与平面所成角最大11. 已知函数,若关于x的方程有四个不等实根、(),则下列结论正确的是( )A. B. C D. 的最小值为1
4、2. 已知函数的定义域为,其导函数为,且,则( )A. B. C. 在上是增函数D. 存在最小值三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量, 满足: =,则 =_14 已知,则_.15. 已知函数,现将该函数图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,且在区间上单调递增,则的取值范围为_.16. 已知抛物线C:的焦点F到其准线的距离为2,圆M;,过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点,则的最小值为_.四、解答题:本题共6小题,第17小题10分，其它每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在等比数列中,成等差数列.(1)求
5、数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.18. 在;这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, .(1)求角A;(2)若,求周长的范围.19. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间,我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩防护服消毒水等防疫物品,保障抗疫一线医疗物资供应,在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时,狠抓质量管理,不定时抽查口罩质量,该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个,将其质量指标值分成以下五组:,得到如图所示的频率分布直方图.(1)规定:口罩的质量指标值越高,说明该口罩质量越好,其中质量指标值低于130
6、的为二级口罩,质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩,再从抽取的8个口罩中随机抽取3个,记其中一级口罩的个数为,求的分布列及均值.(2)甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购,乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购,其中每个订单均由个该型号口罩构成.假定甲乙两人在,两店订单“秒杀”成功的概率均为,记甲乙两人抢购成功的订单总数量口罩总数量分别为,.求的分布列及均值;求的均值取最大值时,正整数的值.20. 如图,在四棱锥中,底面,直线与平面所成的角为. (1)证明:;(2)求二面角的余弦值.21.
7、 已知函数.(1)当时,求证:;(2)若对恒成立,求实数a的取值范围.22. 已知椭圆,离心率,且过点,(1)求椭圆方程;(2)以为直角顶点,边与椭圆交于两点,求面积的最大值.参考答案与试题解析一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一-项是符合题目要求的.1. B【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法,结合集合并集的定义进行运算即可.【详解】由,而,所以.故选:B2. A【解析】【分析】根据复数除法运算法则和减法运算法则,给合复数模的运算公式进行运算即可.【详解】,因此,故选:A3. C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性
8、质进行判断即可.【详解】解:若,则由,可得,充分性成立;反之,若,则由,可得,必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选:C.4. D【解析】【分析】运用古典概型运算公式进行求解即可.【详解】从所抽到的单位中任取2名志愿者,则取到两名男性志愿者的概率为:,故选:D5. A【解析】【分析】根据对数运算律计算即可.【详解】故选:A.6. C【解析】【分析】根据题意,求得,得到,求得,进而得到,结合周期性,即可求解.【详解】因为且,满足所以,因为数列的周期为,可得,所以,所以,所以,同理可得,所以, ,所以.故选:C.7. D【解析】【分析】由题意,再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得,再根据勾股
9、定理列式求解决即可.【详解】为圆上的点,是的中点,又是的中点,且,又,是圆的切线,又,故,离心率.故选:D8. B【解析】【分析】根据二项式展开式,得到,设,利用导数得到在上单调递增,根据,得到,令,得到,即可求解.【详解】由,设,可得恒成立,函数在上单调递增,所以,所以在在上恒成立,所以,所以,设,可得,所以,所以设,可得,所以在上单调递增,所以,可得,即,所以.故选:B.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. ABC【解析】【分析】根据函数极值的定义、零点的定义,结合函数的对
10、称性的性质逐一判断即可.【详解】A:,当时,单调递增,当时,单调递减,当时,单调递增,因此是函数的极大值点,是函数的极小值点,因此本选项正确;B:当时,当时,而函数是连续不断的曲线,所以一定存在,使得,因此本选项正确;C:假设曲线C的对称中心为,则有化简,得,因为,所以有,因此给定一个实数,一定存在唯一的一个实数与之对应,因此假设成立,所以本选项说法正确;D:由上可知当时,当时,所以该函数不可能是关于直线对称,因此本选项说法不正确,故选:ABC10. ABD【解析】【分析】根据面面平行、线面平行的判定定理和性质,结合三棱锥的体积公式、线面角的定义、正方体展开图逐一判断即可.【详解】A: 如下图
11、所示:因为是正方体,所以,而平面,平面,所以平面,同理由是正方体可得,同理可证明平面,而平面,所以平面平面,而平面,所以直线平面,因此本选项正确; B:如下图所示:过作,交、于、,过作,交于,因为是正方形,所以可得,因此本选项正确; C:将平面与平面展成同一平面,如下图所示: 当三点共线时,最小,作,交延长线于,则,所以的周长的最小值为,因此本选项不正确;D:当点M是的中点时,因为平面,平面,所以,而平面,所以平面,CM与平面所成角为,因此本选项正确,故选:ABD11. BC【解析】【分析】画图象判断m和的取值范围,可得A错误,B正确;将方程变形,用m表示、,代入原式化简,利用导数求函数最值判
12、断C正确,利用基本不等式计算判断D错误.【详解】 如图,由函数的图像可知,A错误;当时,当时,故,B正确;,则,所以令,则,原式,显然在时,即y在上单调递增,即,C正确;由图像可知,则,所以,当且仅当,即时取得等号,D错误.故选:BC.12. ABC【解析】【分析】AB选项,构造,求导得到其单调性,从而判断AB选项,CD选项,构造,二次求导,得到其单调性,判断CD.详解】设,则,当时,当时,在上单调递增,在上单调递减,A选项,因为,所以,即,A正确;B选项,因为,所以,即,B正确;C选项,则,令,则,当时,当时,故在上单调递减,在单调递增,又,故恒成立,所以在上恒成立,故在上是增函数,C正确;
13、D选项,由C选项可知,函数在上单调递增,故无最小值.故选:ABC【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数,然后利用所构造的函数的单调性解不等式,是高考常考题目,以下是构造函数的常见思路:比如:若,则构造,若,则构造,若,则构造,若,则构造.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. #【解析】【分析】由向量垂直即可得数量积为0,代入模长即可求解.【详解】由可得,故答案为:14. 24【解析】【分析】利用赋值法进行求解即可.【详解】在中,令,得,令,得,令,得,得,故答案为:15. 【解析】【分析】根据给定条件,化简函数,结合图象平移求出函数,进而求出单调递增区间,再列出不等式求解作答.【详解】函数,因此,由,解得,即函数在上单调递增,于是,即,解得,由,得,而,即或,当时,当时,所以的取值范围为.故答案为:16. 12【解析】【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程,然后将问题转化为计算“”的最小值,通过抛物线的焦半径公式将表示为坐标的形式,采用直线与抛物线联立的思想,根据韦达定理和基本不等式求解出
