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1、无穷小的比较无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限利用等价无穷小替换求极限小结小结 思考题思考题 作业作业第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较第一章第一章 函数与极限函数与极限1如如, ,不可比不可比.观观察察各各极极限限是是无穷小无穷小.一、无穷小的比较一、无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较不存在不存在.极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.2定义定义记作记作记作记作 infinitesimal equivalenec无穷小的比较无穷小的比较是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小高阶的无穷小;低阶的无穷小低阶的无穷小;同阶
2、无穷小同阶无穷小;等价无穷小等价无穷小,3如如高阶无穷小高阶无穷小,同阶无穷小同阶无穷小.因为因为二阶无穷小二阶无穷小.无穷小的比较无穷小的比较 k 阶无穷小阶无穷小.4常用等价无穷小常用等价无穷小无穷小的比较无穷小的比较5例例解解例例解解无穷小的比较无穷小的比较6定理定理1 1证证因此因此设设则则因此因此设设则则无穷小的比较无穷小的比较二、利用等价无穷小替换求极限二、利用等价无穷小替换求极限7 两个等价无穷小的差两个等价无穷小的差, ,比它们中比它们中的任何一个都是高阶无穷小的任何一个都是高阶无穷小;此定理说明此定理说明: :或者说或者说, ,一个无穷小一个无穷小无穷小的比较无穷小的比较8例
3、例所以所以所以所以所以所以无穷小的比较无穷小的比较所以所以9定理定理2 2证证( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )无穷小的比较无穷小的比较10例例解解等价无穷小替换定理说明等价无穷小替换定理说明, ,两个无穷小之两个无穷小之比的极限比的极限, ,可由它们的等价无穷小之比的极限可由它们的等价无穷小之比的极限代替代替. .给给 型未定式的极限运算带来方便型未定式的极限运算带来方便. .无穷小的比较无穷小的比较11例例解解 加、减项加、减项的无穷小不要用等价无的无穷小不要用等价无穷小代换穷小代换.注注无穷小的比较无穷小的比较12例例解解解解错错无穷小的比较无穷小的比较13例例解解无穷小的
4、比较无穷小的比较14解解无穷小的比较无穷小的比较15解解故故以及以及无穷小的比较无穷小的比较161. 无穷小的比较无穷小的比较2. 等价无穷小的替换等价无穷小的替换 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 同阶同阶(等价等价)无穷小无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.无穷小的比较无穷小的比较三、小结三、小结 反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.快慢快慢,17思考题思考题任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？无穷小的比较无穷小的比较解答解答不能不能都是无穷小都是无穷小,但但例如例如不存在不存在.故故不能比较不能比较.18作业作业习题习题1-7 (591-7 (59页页) ) 1. 2. 3. 4. (2) (3) (4) 5.无穷小的比较无穷小的比较19
