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1、四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院定义：矩阵 AR nn，若有数和非零向量x R n 使得A x x，则 称 为A的特征值， x称为对应的特征向量。在线性代数中的求法：解特征多项式| E- A |=0.利用线性代数中的上述方法计算特征值和特征向量是十分困难的; 我们的目的是寻求一种适合计算机运行的近似解法,且简单、可行、有效。复习相关理论复习相关理论计算方法与数值计算University of
2、 Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院计算方法与数值计算University of Shanghai for S
3、cience and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and Tech
4、nologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院1乘幂法乘幂法定理定理6设设A Rn n有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量，若若 1, 2, n为为A的的n个特征值且满足个特征值且满足对任取初始向量对任取初始向量x(0) Rn，(x(0) 0)对乘幂公式对乘幂公式确定的迭代序列确定的迭代序列x(k)，有下述结论有下述结论：乘幂法与反幂法乘幂法与反幂法乘幂法是一种求矩阵的按模最大的特征值及其特征向量的乘幂法是一种求矩阵的按模最大的特征值及其特征向量的方法。方法。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science
5、 and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院（1）当当时时，对对i=1,2,n收敛速度取决于收敛速度取决于的程度的程度，r 1收敛快收敛快，r 1收敛慢收敛慢，且且x(k)（当当k充分大时充分大时）为相应于为相应于 1的特征向量的近似值的特征向量的近似值。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院（2）当当时时a）若若 1= 2，则主特征值则主特征值 1及相应特征向量的求法同及相应特征向量
6、的求法同（1）；）；收敛速度取决于收敛速度取决于 程度程度。向量向量 , ,分别为主特征值分别为主特征值 1、 2相应的特征向量的近似值相应的特征向量的近似值。b）若若 1= 2，对，对i=1,2,n计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院c）若）若，则连续迭代两次则连续迭代两次，计算出计算出x(k+1)，x(k+2)，然后对然后对j=1,2,n 解方程解方程求出求出、后后，由公式由公式计算方法与数值计算University of Shangha
7、i for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院解出主特征值解出主特征值 1、 2。此时收敛速度取决于此时收敛速度取决于的程度的程度。向量向量、分别为相应于分别为相应于 1， 2的特征向量的近似值的特征向量的近似值。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院乘幂法方法步骤乘幂法方法步骤设为设为n 维向量，令维向量，令r=max(x)表示向量表示向量x分量中绝对值最大者
8、。分量中绝对值最大者。1.任意给定初始向量(非零) v (0) =u (0) 0 ，取r0= max(v (0) );2.产生迭代序列：为求为求A矩阵的按模最大的特征值矩阵的按模最大的特征值1和其相应的特征向量和其相应的特征向量 1，v(1)=Au (0) ，取r1= max(v (1) , v (2) =Au (1) ，取r2= max(v (2) ) , v (k) =Au (k -1 ) ，取rk= max(v (k) ) , 3.循环次数控制：当|rk-rk-1| 时,结束循环，输出rk 1 ，u (k) 1计算方法与数值计算University of Shanghai for Sci
9、ence and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院定理定理7设设A Rn n有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 1 1， 2 2 n n ， 1, 2, n为为A的的n个特征值个特征值，且满足且满足则对任初始向量则对任初始向量v (0) =u (0) 0 ，由规范化的乘幂法公式确由规范化的乘幂法公式确定的向量序列定的向量序列v(k)，u(k)满足满足(1)（2）u(k) 1 1为相应于主特征值为相应于主特征值 1的特征向量的特征向量.计算方法与数值计算University of Shanghai for Science
10、and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院例例用乘幂法求矩阵A的按模最大的特征值及其相应的特征向量，其中解：解：取初始向量v (0) =u (0) （0，0，1）T,则 v(1)=Au (0) = (2，4，1）T; r1= max(v (1) =4; u (1) = 1/4 (2，4，1）T = (0.5，1，0.25）T; v(2)=Au (1) = (4.5，9，7.75）T; r2= max(v (2) =9;结果如下：结果如下：计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and T
11、echnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院r1=4.000000,u(1)=(0.500000,1.000000,0.250000)T|r1-r0|=4.000000,r2=9.000000,u(2)=(0.500000,1.000000,0.861111)T|r2-r1|=5.000000,r3=11.444445,u(3)=(0.500000,1.000000,0.730582)T|r3-r2|=2.444445,r4=10.922330,u(4)=(0.500000,1.000000,0.753556)T|r4-r3|=0.522115,
12、r5=11.014222,u(5)=(0.500000,1.000000,0.749354)T|r5-r4|=0.091892,r6=10.997417,u(6)=(0.500000,1.000000,0.750117)T|r6-r5|=0.016805,r7=11.000469,u(7)=(0.500000,1.000000,0.749979)T|r7-r6|=0.003052,r8=10.999914,u(8)=(0.500000,1.000000,0.750004)T|r8-r7|=0.000555,r9=11.000015,u(9)=(0.500000,1.000000,0.74999
13、9)T|r9-r8|=0.000101,r10=10.999997,u(10)=(0.500000,1.000000,0.750000)T|r10-r9|=0.0000180使得因此从上式解出1得该值能比rk更快接近于1计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院1.任意给定初始向量(非零) v (0) =u (0)0 ，取r0= max(v (0) );2.产生迭代序列：v(1)=Au (0) ，取r1= max(v (1) , v (2) =Au
14、 (1) ，取r2= max(v (2) ) , Aitken加速法得方法步骤加速法得方法步骤取计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院v (k) =Au (k 1 ) ，取rk= max(v (k) ) , 3.循环次数控制：当|rk-rk-1| | 2| |n |,为A的n个特征值，则对任初始向量v (0) =u (0) 0 ，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列v(k)，u(k): v(k)=Au(k-1)，u(k)=v(k)/max(v(k
15、)（2）u(k) 1 1为相应于主特征值为相应于主特征值 1的特征向量的特征向量.取那么那么(1)rk 1计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院若若 A 有有| 1| | 2| | n|，则，则A 1有有11111 nn设设A Rn n可逆，则无零特征值，由可逆，则无零特征值，由反幂法反幂法反幂法是一种求矩阵的按模最小的特征值及其特征向量的方法。反幂法是一种求矩阵的按模最小的特征值及其特征向量的方法。Ax= x , (x 0 ),则有计算方法与
16、数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院A 1的主特征值的主特征值A的绝对值最小的特征值的绝对值最小的特征值如何计算如何计算x(k+1)=A 1x(k ) ? 解线性方程组解线性方程组Ax(k+1)=x(k ) 对应同样一组特征向量。对应同样一组特征向量。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院规范化反幂法公
17、式为规范化反幂法公式为每次需要解方程组求每次需要解方程组求v (k+1)由于每次需要解方程组，而方程组的系数矩阵是相同的，所不由于每次需要解方程组，而方程组的系数矩阵是相同的，所不同的是右端的常数项，为此考虑运用同的是右端的常数项，为此考虑运用Doolitel三角分解法。三角分解法。如果考虑到原点移位加速的反幂法，则记如果考虑到原点移位加速的反幂法，则记B = A 0I，对任取初始向量对任取初始向量( (非零非零) ) v(0) Rn， 计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上
18、海海理理工工大大学学理理学学院院反幂法反幂法方法步骤方法步骤(1)将矩阵A作Doolitel 三角分解 ALU；(2)任意给定非零初始向量v (0) =u (0) 0 ，取r0= max(v (0) );(4)循环次数控制：当|rk-rk-1| 时,结束循环，输出rk n ，u (k) n n(3)产生迭代序列：I）解方程组：Ly= u (0) ;U v(1) =y ,取r1= max(v (1) 1 , 并取 u (1) = r1 v(1) ;II）解方程组：Ly= u (1) ;U v(2) =y ,取r2= max(v (2) 1 , 并取 u (2) = r2 v(2) ;计算方法与数
19、值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院例：例：用反幂法求矩阵A的按模最小的特征值及其相应的特征向量，其中解：解：计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院r1=3.600000,|v1=(0.200000,-0.400000,1.000000)|r1-r0|=3.600000r2=3.000000,|v2=(0
20、.800000,-1.000000,1.000000)|r2-r1|=0.600000r3=1.304348,|v3=(1.000000,-0.956522,0.565217)|r3-r2|=1.695652r4=1.169492,|v4=(1.000000,-0.830508,0.372881)|r4-r3|=0.134856r5=1.224913,|v5=(1.000000,-0.775086,0.307958)|r5-r4|=0.055422r6=1.249279,|v6=(1.000000,-0.750720,0.283862)|r6-r5|=0.024366取取v (0) =u (0
21、) =(0，0，1)TLy=u (0) , y=(0，0，1)T，U v (1) =y，v (1) = (0.0555，-0.1111，0.27777)T, r1= max(v (1) 1 =3.6 , u (1) = r1 v (1) = 3.6(0.0555，-0.1111，0.27777)T = (0.2,-0.4,1.0)T, 计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院r7=1.259909,|v7=(1.000000,-0.740091,
22、0.274433)|r7-r6|=0.010630r8=1.264507,|v8=(1.000000,-0.735493,0.270629)|r8-r7|=0.004598r9=1.266482,|v9=(1.000000,-0.733518,0.269066)|r9-r8|=0.001975,r10=1.267326,|v10=(1.000000,-0.732675,0.268417)|r10-r9|=0.000844,r11=1.267685,|v11=(1.000000,-0.732315,0.268146)|r11-r10|=0.000359,r12=1.267837,|v12=(1.
23、000000,-0.732163,0.268032)|r12-r11|=0.000153,r13=1.267902,|v13=(1.000000,-0.732098,0.267984)|r13-r12|=0.000065对应的特征向量为 3 v (k) =(1.000000,-0.732098,0.267984)于是按模最小的特征值于是按模最小的特征值 3 r13 =1.267902 ，真值为3 =1.26794919243112270647255365849计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of
24、 Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院练习：练习：用反幂法求矩阵A的按模最小的特征值及其相应的特征向量，其中解：解：取取v (0) =u (0) =(0，0，1)T计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院r1=-0.500000,|v1=(-0.500000,1.000000,-0.500000)|r1-r0|=0.500000,r2=-0.200000,|v2=(1.000000,-0.900000,0.300000)|r2-r
25、1|=0.300000,r3=0.166667,|v3=(1.000000,-0.716667,0.200000)|r3-r2|=0.366667,r4=0.186916,|v4=(1.000000,-0.663551,0.171340)|r4-r3|=0.020249,r5=0.193724,|v5=(1.000000,-0.645745,0.161738)|r5-r4|=0.006808,r6=0.196118,|v6=(1.000000,-0.639484,0.158362)|r6-r5|=0.002394,r7=0.196974,|v7=(1.000000,-0.637245,0.15
26、7155)|r7-r6|=0.000856,r8=0.197282,|v8=(1.000000,-0.636440,0.156721)|r8-r7|=0.000308,r9=0.197393,|v9=(1.000000,-0.636150,0.156564)|r9-r8|=0.000111,r10=0.197433,v10=(1.000000,-0.636045,0.156508)|r10-r9|=0.000040计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理
27、学学院院1预备知识预备知识1）若若A是上（或下）三角阵或对角阵，是上（或下）三角阵或对角阵，则则A的主对角元素即是的主对角元素即是A的特征值的特征值。2）若矩阵若矩阵P满足满足PTP = E，则称则称P为正交矩阵为正交矩阵。显然显然PT = P 1，且且P1,P2,是正交阵是正交阵时时，其乘积其乘积P = P1P2Pk仍为正交矩阵仍为正交矩阵。对称矩阵的雅可比对称矩阵的雅可比(Jacobi)旋转法旋转法计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院2雅
28、克比方法雅克比方法引例引例：考虑矩阵当适当选取当适当选取 让让时，有时，有其中其中 1=a11cos2a12sin2 +a22sin2 ， 2=a11sin2 +a11sin2 +a22cos2 计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院定义：定义：称矩阵称矩阵为平面旋转矩阵为平面旋转矩阵第第i行行第第i列列第第j列列第第j行行计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCol
29、lege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院平面旋转矩阵平面旋转矩阵P 的性质：的性质：1)P是正交矩阵，即是正交矩阵，即PPT=E;2) A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则B=PTAP仍是实对称矩阵，且仍是实对称矩阵，且A与与B具有相同的特征值；具有相同的特征值；3) 若若B=PTAP ，则，则|A |F=|B |F，其中，其中即经旋转变换后，对角线上元素的平方和将增加即经旋转变换后，对角线上元素的平方和将增加.4)取取时，有时，有计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of
30、Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院雅可比雅可比(Jacobi)旋转法的方法步旋转法的方法步1.选取矩阵A的非对角线元素中绝对值最大的元素 aij= aji (ij ) ；2.确定平面旋转矩阵P1=Pij( ),其中与 aij 同号。作变换A1= P1TAP1=(aij(1)3.重复2的工作：作变换Ak= PkTAPk=(aij(k),Pk=Pij( ),计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院则有如下关系：则有如下关系：计算方法
31、与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院将 限制在下列范围内如果 这样得到的矩阵序列Ak是收敛的，且Ak （k ）aii(k) i （ k ）;在迭代过程中在迭代过程中，若若max|aij(k)|2|n|0;2) A有标准形A=PP-1，且有P-1 =LU 三角分解.则由QR算法产生的序列Ak本质上收敛于上三角矩阵RA计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of
32、Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院子空间迭代法子空间迭代法斯密特斯密特（Schmidt）正交化过程：正交化过程： 设设 1， 2， 3为为R3上的三个线性无关的向量，上的三个线性无关的向量，令令 ，则，则 1为单位长度的向量，再令为单位长度的向量，再令可以验证可以验证（ 1, 2）=0，即，即 1与与 2正交。若令正交。若令则则计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院即与即与 1, 2正交，将其单位化为正交，将其单位化为于是向量
33、组于是向量组 1, 2, 3构成构成R3上一组标准正交基，且上一组标准正交基，且其中其中Q = 1, 2, 3为正交矩阵，为正交矩阵，R是上三角阵。是上三角阵。计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院对对n维向量空间，设维向量空间，设 1, n为为Rn上上n个线性无关的向量，个线性无关的向量，类似有类似有计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Sci
34、ence 上上海海理理工工大大学学理理学学院院即即Q为正交阵为正交阵，R 为上三角阵为上三角阵计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院将将n个线性无关向量变换为个线性无关向量变换为n个两两正交向量的方法称为个两两正交向量的方法称为斯密特正交化方法。斯密特正交化方法。斯密特正交化过程将可逆阵斯密特正交化过程将可逆阵A分解为正交阵与上三角阵的乘积。分解为正交阵与上三角阵的乘积。计算方法与数值计算University of Shanghai for S
35、cience and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院希望希望| 2/ 1| 越小越好。越小越好。不妨设不妨设 1 2 n，且，且| 2| n|。取取 0（常数），用矩阵（常数），用矩阵B = A - - 0E 来代替来代替A进行乘幂迭代。进行乘幂迭代。 (i=1,2,n)设设 i (i=1,2,n)为矩阵为矩阵B B 的特征值，则的特征值，则B 与与A 特征值之间特征值之间应有关系式：应有关系式： 原点位移法原点位移法计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院关于矩阵关于矩阵B的乘幂公式为的乘幂公式为 为加快收敛速度，适当选择参数为加快收敛速度，适当选择参数 0，使使达到最小值。达到最小值。 计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上海海理理工工大大学学理理学学院院当当 i(i=1,2,n)为实数，且为实数，且 1 2 n时，取时，取则为则为 ( 0)的极小值点。这时的极小值点。这时结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！59
